浅谈度量空间

1、度量空间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间,并且它是理解拓扑空间的一个重要过程.因此,本文通过度量空间的根本概念,力图给出度量空间的一些重要性质.并且引入一些度量空间的其它性质.关键词：度量空间导集闭集正文：度量空间是现代数学中一种根本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶,德国数学家G.康托尔创立了集合论,为各种抽象空间的建立奠定了根底.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间,它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此,研究度量空间的一

2、些性质是必要的.为了证实这些性质,首先介绍以下定义.定义1.1设X是一个集合,假设对于X中任意两个元素x,y都有唯一确定的实数p(x,y)与之对应,而且这一对应关系满足以下条件：(1)正定性p(x,y)之0,并且p(x,y)=0当且仅当x=y；(2)对称性p(x,y)=px,y);(3)三角不等式p(x,zAp(x,y)+p(y,z)那么称p是集合X的一个度量,同时将(X,p豚为度量空间或距离空间.X中的元素称为点,条件(3)称为三点不等式.定义1.2设(X,p混一个度量空间,xwX.对于任意给定的实数名A0,集合yWXp(x,y)<记作B(x,一称为一个以x为中央,以名为半径的球形邻域

3、,简称为x的一个球形邻域2度量空间的一些例子例2.1离散的度量空间设X是任意的非空集合,对X中的任意两点x,ywX,令d(x,y)=qfl当x-二y当x=y容易验证dx,y剂足关于距离的定义中的条件.我们称X,d为离散的度量空问.由此可见,在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2序列空间S令S表示实数列或复数列的全体,对S中任意两点x=m宝,时,及y=P产2,Jn,令2i1；i-i易知dx,y泄足距离条件d(x,y)之0,d(x,y)=0的充要条件为x=y.(2.1)下验证dx,y脚足距离条件d(x,y)d(x,z)+d(y,z)对任意z都成立.(2.2)为此我们首先证实对任

4、意两个复数a和b,成立不等式a+b<a+Jbj1+|a+b|1+|a|1+|b|事实上,考察0产上的函数由于在0产止,f't=1o>0.所以ft在b,g上单调增加,由不等式1ta+bWa+b|,我们得到a+b1-.-|ab<1+|a|+|ba上引1+|a|+|b|1+同+|b;二ab1+|a|1+|b令z=(.,g,二,),a=«£,b=.一,那么a+b=-,代入上面不等式,行£.11.£._11.IJiJii<+.1+|易一"i1+18,-111+|-i-ni|由此立即可知d(x,y泗足距离条件(2.2),即S

5、按d(x,y)或一度量空间.例2.3有界函数空间B(A)设A是一给定的集合,令B(A底示A上的有界实值(或复值)函数全体,对B(A)中任意两点x,y,定义dx,y=supxt-yt.teA下面验证d(x,y)满足条件(2.1)和(2.2).d(x,y)显然是非负的.又d(x,y)=0等价于对一切twA,成立x(t)=y(t),所以x=y,即d(x,y并两足(2.1),止匕外,对所有的twA成立xt-yt_xt-zth-|zt-yt_supxt-ztsupzt-yt.t.AtzA所以supx(t)-y(tj<supx(t)-z(t)十supz(ty(t).t三At三At三A即d(x,y闸足

6、条件(2.2).特别地,当A=hb】时,记B(A)为Bb.bl例2.4可测函数空间M(X)设M(X)为X上的实值(或复值)的Lebesgue可测函数全体,m为Lebesgue测度,假设m(X)<8,对任意两个可测函数f(t)及g(t),由于f(t)-g(t)1+f(t)g(t)：二1所以这是X上的可积函数,令d(f,g)=Lf(t)-g(t)_dtX1+f(t)-g(t)ab1-|a1b如果把M(X)中的两个几乎处处相等的函数视为M(X)中的同一个元,那么利用,正-a+b|不等式_L1ab及积分性质很容易验证d(f,g)是距离.因此M(X)按上述距离d(f,g)成为度量间.例2.5Cb,

7、bl空间令Ca,b1表示闭区间b,bl上的实值(或复值)连续函数全体,对Cb,bl中任意两点x,y,定义d(x,y)=maxx(t)-y(t)容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6l2记l2=/x=Qx2<0°l.设x=Lkl2,y=yjwl2定义,k工,1二2ad(x,y)='、(yk-xk).,k4那么d是l2的距离.距离条件(2.1)是容易得出的,现检验条件(2.2).对任何正整数n,x(n)=(xi,xn)和y(n)=(y1,yn)都R中的元素,由Cauchy不等式£xkYk££x：、kT)kT再令右端nt8,即得Z

8、xkyk|WZxk<k=1kk=i再令左端的nt笛,即得,oc工XkYk<kJ2-1oO2二'X2kJoO.2-、yk:二二k1由此可得2、(Xkyk)-Xkcd2XXkykk4cO'y；k1二二1二二m、x2-20x2y2)2-、y2k=1kz4k=4k=4£Xk+£yk)1k4)j令取x=<4=*,=<.以Xk='-4,yk"k-,k代入上式,即可得的三点不等式d(,)<d(,)d(,)由上述例子可见,度量空间除了有限维的欧几里德空间Rn之外,还包括其他的空间.3度量空间的一些简单性质定理3.1设(X,p促

9、一个度量空间,那么拓扑空间X是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证充分性假设p是一个离散的度量,那么对于任意的X-X,存在实数6x>0,使得对于任意的ywX,y#X,有p(X,y)>6X.于是x的球形邻域B(x,6x)=x,所以,&为开集.由x的任意性以及开集的性质,故X为离散空间.必要性假设X为离散空间,那么对于任意的xwX,单点集&为开集,于是存在x的球形邻域B(x,&)=x,令Sx=:,那么对于任意的yWX并且y#x,有p(x,y)>dx,所以,P为离散的度量.定理3.2度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证设(X,P)为一个度量空间,A是

10、X的任意一个子集.欲证A的导集d(A)为闭集,只需证ddAdA.如果d(d(A)=%显然d(d(A)户d(A).如果d(d(A)#%由于d(d(A)户AUd(A),所以对于任意xwd(d(A),有xeA或xwd(A).假设xwA,那么对于x的任意一个球形邻域B(x,名),有Bx,；dA-"二.于是,对于任意的yBx,；dA-lx),那么y#x,取、=min*px,y,-px,y:那么By,Bx,；,并且By,6iA-ly；k*=又由于B(y,3P(Ay)B(y(A仁B(x.(A&),所以b(x,®)n(A-x)#*,因此综上,对于任意xwd(d(A),有xwd(A)

11、.所以,d(d(A)户d(A)定理3.3度量空间中的每一个单点集都是闭集.证(X,P讷一个度量空间,xwX,对于任意ywX,y=x,令名=见罗,于是名下0,并且B(y,8&=©,所以,y仅,于是“=仅,因此,单点集黑为闭集.由x的任意性,度量空间X中的每一个单点集都是闭集.定理3.4X是一个度量空间,如果X有一个基只含有有限个元素,那么X必为只含有有限多个点的离散空间.证假设X是无限集.由于X是一个度量空间,由定理3.1可知,X中的每一个单点集都是闭集,于是,对于任意xwX,集合X-x都是开集.因此,拓扑空间X中有无穷多个不同的开集.又由X有一个基只含有有限个元素,它们中的任

12、意多个元素之并只能组成有限个开集,所以X中的开集只有有限个,这与上述矛盾！因此假设错误,X只能是有限集.最后,由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间,故由定理1可知,X是一个离散空间.定理3.5度量空间X中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证设(X,P诞一个度量空间,?匕十是X中的一个收敛序列.假假设序列X电不少有两个极限x和y.由于y=x,那么p(x,y)A0.设；=px,y0,于是对于x的球形邻域B(x,&),存在MiCZ+,使得当iaMi时,有xiwB(x,名);对于y的球形邻域B(y,8),存在M2CZ+,使得当jaM2时,有x产B(y,w).那么一方面B(x,B(y

13、,£)=®.(3.1)另一方面,令M=maxM1,M2,于是当i>M时,有xiwB(x,w)nB(y,W),这与(3.1)式矛盾！所以假设错误.因此,度量空间X只有一个极限.定理3.6设X是一个度量空间,AcX,xcX有一个序列为*在X&中并且U敛于x当且当x是集合X的一个凝聚点.证必要性设序列小乜+在X-板中并且敛于x.如果U是x的一个邻域,那么存在MwZ+使xM1,xM2,一U,因此xM1,xM2,UA-'X),从而UA-ix)=.所以x是A的一个凝聚点.充分性如果x是A的一个凝聚点,那么对于x任意一个或形邻域B(x,z)有Bx,；A-X二,于是对

14、于任给的正实数名有亍0,其中iwZ卡.并且Bx,：门(A-&)#4.<2i)所以对于每一个iZ+,任取xiwBx,A-'：x)=,那么序列xjiz.Ax,中并且收敛于x.4度量空间的紧致性和完备性4.1度量空间的紧致性定义4.1.1设A是度量空间(X,p)中的一个非空子集.集合A的直径如果A是有界的如果A是有界的diam(A淀义为diam(A)=>UpP(X,y)X,yA定义4.1.2设(X,p显一个度量空间,A是X的一个开覆盖.实数儿：>0成为开覆盖A的一个Lebesgue数,如果对于X中的任何一个子集A,只要diam(A)<九,那么A包含于开覆盖A的

15、某一个元素之中.Lebesgue数不一定存在.例如考虑实数空间重的开覆盖(-«,1)U?(n-,n+1+1)nwZ+>lnn,那么任何一个实数都不是它的Lebesgue数.定理4.1.1(Lebesgue数定理)序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有个Lebesgue数.证设X是一个序列紧致的度量空间,A是X的一个开覆盖.假假设开覆盖A1一没有Lebesgue数,那么对于任何iwZ+,实数-不是A的Lebesgue数,所以X有一i1个子集Ei使彳Sdiam(Ei)<并且Ei不包含于A的任何兀素之中.i在每一个Ei之中任意选取一个点X,由于X是一个序列紧致空间,所以序列Xi,X

16、2,有一个收敛的子序列Xn0,XN1,设这个子序列收敛于ywX.由于A是X的一个开覆盖,故存在AwA使得y亡X,并且存在实数&>0使得球形邻域B(y,w/A.由于序列XN0,XN1,收敛于y,所以存在整数M>0使得当>M时2XNiuB(y,).令k为任意一个整数,使得k>M+公,那么对于任何z-ENk有：(z,y)<：(z,XnJ：(xNk,y)：二；这证实ENkBy,；AA与ENk的选取矛盾.定理4.1.2每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间证设X是一个序列紧致的度量空间,A是X的一个开覆盖.根据Lebesgue数定理,X的开覆盖A有一个Lebes

17、gue数,设为九下0.,它是X的开覆盖,我们先来证实B有一个有限覆盖假设B没有有限覆盖,任意选取一点XiwX,对于i>1,假定点Xi,X2,x已经取定,由于BXi二IB%二,Bx二!不是X的覆盖,选取xwx使得3八3)<3力Xi正Jj；BXj,根据归纳原那么,序列Xi,X2已经取定,易见对于任意j3Ji,jWZ+,i#j,有P(Xi,Xj巨土,序列Xi,X2,没有任何收敛的子序列,(由于3任彳ywX的球形邻域By,-j中最多只能包含这个序列中的一个点.)这与X是<6J序列紧致空间相矛盾.r(九、(九现在设BBXi,BX2,.,BXn,I是开覆盖B的一个有限子覆盖.由L13八3

18、)13力于其中每一个元素的直径都小于九,所以对于每一个i=i,2,n存在A亡A似f,、的BXj,I匚A.于是,1A,A2,.An是A的一个子覆盖.<3；定理4.i.3设X是一个度量空间,那么以下条件等价(1) X是一个紧致空间；(2) X是一个列紧空间；(3) X是一个序列紧致空间；(4) X是一个可数紧致空间.4.2度量空间的完备性定理4.2.1设X,P班一个度量空间.那么X,P是紧致的当且仅当X,P是一个完全有界的完备度量空间.证设度量空间X,P显紧致的.任意给定实数8>0,由球形邻域构成的集族Bx,wjxwX是X的开覆盖,它有一个有限子覆盖,设为IteXi,£X2,

19、名,BXn®上易见有限集合&1,X2,Xn是X的一个Z网.这证实X是完全有界的.为证实X,P屈完备的,设序列Gn%以+是X中的一个Cauchy序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的,所以序列Xnnez+有一个收敛的子序列,设这个子序列收敛于X这时序列国门,三+也必收敛于X.这证实X中的每一个Cauchy序列都收敛.另一方面,设X,P届一个完全有界白完备度量空间.为证实X是紧致的.只需证实它是序列紧致的.由于X是一个完备度量空间,这又只要证实X中的每一个序列有一个子序列是Cauchy序列.设&n>ne+是X中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个iWZ+定义一个序列%=媪+如下：首先,令%=XnLz+.其次对于i>1,假定内已经定义设Q,Z2,Zm是X的一个2<却网,因此