高考数学圆锥曲线重难点专题训练专题13抛物线中的参数问题（含答案）

1、专题13 抛物线中的参数问题一、单选题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）A(6，)B6，)C(3，)D3，)2在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数且）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）ABCD3已知点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若，则的最小值为（ ）ABCD4已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ）ABCD5已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）A12B24C16D326已知抛物线，点，为坐标原点，若抛物线上存在一点

2、，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD7抛物线上任意一点到顶点的距离与到焦点的距离之比是，则的取值范围是（ ）ABCD8已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 ABCD二、多选题9已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）A点P的坐标为BC的面积的最大值为D的取值范围是10如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点则下列说法正确的（ ）A，两点的纵坐标之积为B点在定直线上C点与抛物线上各点的连线中，最短D无论旋转到什么位置，始终有11已知抛物线

3、：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则（ ）A若，则B以为直径的圆与准线相切C设，则 D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条12已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（ ）A1B2C3D4三、填空题13直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围_14已知点P在抛物线上，直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PAPB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是_15设分别是抛物线和圆上的点.若存在实数使得，则的最小值为_.16抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是_.四、解答题17已知抛物线的焦点为，若过点且

4、倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.18已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.19已知抛物线：的焦点为，点在上，直线：与相离若到直线的距离为，且的最小值为过上两点分别作的两条切线，若这两条切线的交点恰好在直线上（1）求的方程；（2）设线段中点的纵坐标为，求证：当取得最小值时，20已知抛物线：的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，

5、且恰为等边三角形.（1）求的方程；（2）若直线：与交于，两点，(其中为坐标原点)，求实数的取值范围.21已知抛物线，圆，过点引圆的两条切线，与抛物线分别交于两点，与圆的切点分别为（1）当时，求所在直线的方程；（2）记线段的中点的横坐标为，求的取值范围22已知抛物线的焦点为，经过点作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长（1）求抛物线的方程；（2）设直线的方程为，且与相交于，两点，若是关于原点的对称点，记直线，的斜率分别为，求的取值范围专题13 抛物线中的参数问题一、单选题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）A(6，)B6，)C(3，)D3，)【解析】抛物线

6、的焦点到顶点的距离为3，即，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，抛物线上的点到准线的距离的取值范围为故选：D.2在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数且）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】曲线（为参数）的普通方程为，由可得即，因为直线与曲线在第一象限有两个不同的交点，而直线过定点， 故且，故，故选：A.3已知点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若，则的最小值为（ ）ABCD【解析】由题可得，则直线的方程为，设，设，则，由可得，则，两式相减得则可得，则当时，取得最小值为.故选：A.4已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率

7、为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，抛物线是，设直线方程为，由消去，化简整理得，因此，由得，.因为，所以，即.，即，解得.代入得到，或.故选：A5已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）A12B24C16D32【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为，由得，所以当直线的斜率存在时，设其方程为，由得，所以，所以，综上，所以的最小值为32故选:D6已知抛物线，点，为坐标原点，若抛物线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】设，则，因为，所以，所以，所以实数的取值范围是，故选：C7抛物线上任意一点

8、到顶点的距离与到焦点的距离之比是，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】设，由抛物线定义知：，又，（当且仅当，即时取等号），又，.故选：.8已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 ABCD【解析】由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|PM|x1，记KPF的平分线与轴交于根据角平分线定理可得，当时，当时，综上：故选A二、多选题9已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）A点P的坐标为BC的面积的最大值为D的取值范围是【解析

9、】由题意，设，由，可得，所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确；由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且 ，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；由，所以，由，可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或，即的取值范围是，所以D不正确.故选：AC.10如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点则下列说法正确的（ ）A，两点的纵坐标之积为B点在定直线上C

10、点与抛物线上各点的连线中，最短D无论旋转到什么位置，始终有【解析】设点，将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确；由题得，则，直线的方程为，直线的方程为，消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确；因为，但，所以D错误.故选：ABC.11已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则（ ）A若，则B以为直径的圆与准线相切C设，则 D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，

11、则由梯形性质可得，故选项B正确；对于选项C：因为，所以，故选项C正确；对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故选项D错误；故选：ABC12已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（ ）A1B2C3D4【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：与抛物线交于点，与圆交于点，显然满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为，由得，设，由韦达定理可得，由，设，有，当时，即，又因为，所以(舍)，当时，即，因为，由此，解得，显然，当，有两解，对应直线有两条.，

12、此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所以当时，对应直线有三条.故选：BCD三、填空题13直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围_【解析】把代入得 (1) 若，则，方程只有一解，符合题意.(2) 若，直线与抛物线至多有一个公共点，解得所以 或14已知点P在抛物线上，直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PAPB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是_【解析】因为直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PAPB，所以四边形QAPB为正方形，所以，所以问题转化为圆与抛物线有四个公共点，将抛物线方程代人圆的方程消去，得，由题意，此方程有两个不等正根，故，解得15设分别是抛物线和圆上的点.若存在实数使

13、得，则的最小值为_.【解析】设，圆心坐标，是圆上任意一点，的最小值为，由可得，的最小值即为最小值为16抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是_.【解析】设抛物线上两点，关于直线对称，中点，则当时，有直线，显然存在点关于它对称.当时，所以，所以的坐标为，因为在抛物线内，则有，得且，综上所述，.四、解答题17已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.【解析】（1）抛物线的焦点为，则过点的倾斜角为的直线方程为，联立，得，设，则，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为

14、（2）设直线的方程为，代入，得，由，得，设，得，又，所以，因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，得，得，所以，得，解得，又，所以的取值范围为18已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由得，即，设点是抛物线上任意一点，则，而的最小值为，则，解得或(舍去)，所以抛物线的方程为；（2）设，把直线与联立得，由题意可得，则，而M为线段PQ中点，于是得，从而有时，是定值，与k的取值无关，所以轴上存在

15、点，使得为定值.19已知抛物线：的焦点为，点在上，直线：与相离若到直线的距离为，且的最小值为过上两点分别作的两条切线，若这两条切线的交点恰好在直线上（1）求的方程；（2）设线段中点的纵坐标为，求证：当取得最小值时，【解析】（1）由题意，得，且的最小值等于点到直线的距离，即，解得（负值舍去），抛物线的方程为（2）由，得，故，设，则切线方程分别为，设两切线的交点为，代入切线方程并整理可得：，即，是方程的实数根则，则线段中点纵坐标为，当时，取最小值此时，则解法二：（同解法一）当时，取最小值此时，由得，故，20已知抛物线：的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且恰为等边三角形.（1）求的

16、方程；（2）若直线：与交于，两点，(其中为坐标原点)，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意知：，由抛物线的定义知：，由，得，抛物线的方程为.（2）设，由，得，而，又，即，且，得，即的取值范围为.21已知抛物线，圆，过点引圆的两条切线，与抛物线分别交于两点，与圆的切点分别为（1）当时，求所在直线的方程；（2）记线段的中点的横坐标为，求的取值范围【解析】（1）由条件知，以线段为直径的圆的方程为，而，两圆相减得：，即为所在直线的方程；（2）由题意知切线、的斜率存在，分别设，于是切线、的方程分别为，设，则点到切线的距离为，两边平方整理得：，同理可得，于是可知是方程的两个实根，则又，所以，联立消，整理得，显然，韦达定理可知，所以同理：于是的取值范围22已知抛物线的焦点为，经过点作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长（1）求抛物线的方程；（2）设直线的方程