第4章材料力学基础

1、轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩4.1剪切和挤压剪切和挤压4.2圆轴扭转圆轴扭转4.3【学习目标】【学习目标】1掌握受拉压杆件的强度及变形量的计掌握受拉压杆件的强度及变形量的计算方法算方法2理解剪切与挤压的特点和实用计算理解剪切与挤压的特点和实用计算3理解受扭转杆件的应力特点理解受扭转杆件的应力特点4理解受纯弯曲梁的内力及应力特点，理解受纯弯曲梁的内力及应力特点，掌握弯矩图的作法掌握弯矩图的作法5理解组合变形的类型及特点，了解强理解组合变形的类型及特点，了解强度理论的涵义及应用特点度理论的涵义及应用特点图图4-1 拉伸或压缩的杆件拉伸或压缩的杆件图图4-2 拉压杆件计算简图拉压杆件计算简图1横截面

2、上的内力横截面上的内力 图图4-3（a）所示为一受拉伸的等截面直）所示为一受拉伸的等截面直杆，简称等直杆。杆，简称等直杆。 用截面法可求得其横截面上的内力。用截面法可求得其横截面上的内力。 沿横截面沿横截面mm上相互作用的内力是一个上相互作用的内力是一个分布力系，其合力为分布力系，其合力为 ，如图，如图4-3（b）、（）、（c）所示。所示。图图4-3 拉压杆件的轴力拉压杆件的轴力由左段的平衡方程由左段的平衡方程 ，得，得0X N0FFNFF 因为外力因为外力F的作用线与杆件轴线重合，的作用线与杆件轴线重合，内力的合力内力的合力 的作用线也必然与杆件的轴的作用线也必然与杆件的轴线重合，所以线重合

3、，所以 称为轴力。称为轴力。 一般把拉伸时的轴力规定为正，压缩一般把拉伸时的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。时的轴力规定为负。 NFNF 只根据轴力并不能判断杆件是否具有只根据轴力并不能判断杆件是否具有足够的强度。足够的强度。 在拉（压）杆的横截面上，与轴力在拉（压）杆的横截面上，与轴力 对应的应力是正应力对应的应力是正应力 。根据连续性假设，。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力横截面上到处都存在着内力 。NF 若以若以A表示横截面面积，则微面积表示横截面面积，则微面积 dA上的微内力上的微内力 组成一个垂直于横截面组成一个垂直于横截面的平行力系，其合力就是轴力的平行力系，其合力就是

4、轴力 。于是得静力关系于是得静力关系（4-1）d ANFNAdFA 一般假设杆件横截面上的内力是均一般假设杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等，即力都相等，即 等于常量。于是得出等于常量。于是得出（4-2）NFA 对于脆性材料，当应力达到其强度对于脆性材料，当应力达到其强度极限极限 时，构件会断裂而破坏；对于塑时，构件会断裂而破坏；对于塑性材料，当应力达到屈服极限性材料，当应力达到屈服极限 时，将时，将产生显著的塑性变形，常会使构件不能产生显著的塑性变形，常会使构件不能正常工作。正常工作。 工程中，把构件断裂或出现显著的工程中，把构

5、件断裂或出现显著的塑性变形统称为破坏。塑性变形统称为破坏。bs 材料破坏时的应力称为极限应力，材料破坏时的应力称为极限应力，用用 表示。表示。 为保证有足够的安全程度，将极限为保证有足够的安全程度，将极限应力除以大于应力除以大于1的系数的系数 n作为材料的许用作为材料的许用应力应力（4-4）0 0n 脆性材料取强度极限脆性材料取强度极限 作为极限应力，作为极限应力，塑性材料一般取屈服极限塑性材料一般取屈服极限 （或（或 ）作为）作为极限应力。极限应力。 两类材料的许用应力分别为两类材料的许用应力分别为脆性材料脆性材料 （4-5）塑性材料塑性材料 （4-6）bs0.2 bbn ssn 直杆在轴向

6、拉力作用下，将引起轴直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的伸长和横向尺寸的缩小。向尺寸的伸长和横向尺寸的缩小。 反之，在轴向压力作用下，将引起反之，在轴向压力作用下，将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。 设等直杆的长度为设等直杆的长度为l，横截面面积为，横截面面积为A。在轴向拉力。在轴向拉力F作用下，等直杆长度由作用下，等直杆长度由l变为变为l1，如图，如图4-9所示。杆件在轴线方向所示。杆件在轴线方向的伸长为的伸长为1lll 图图4-9 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形用用 除以除以l，得杆件轴线方向的线应变，得杆件轴线方向的线应变（4-8）ll

7、l 称为杆件的纵向线应变，是轴向称为杆件的纵向线应变，是轴向的相对变形。的相对变形。 它是一个无量纲的量，其正负号与它是一个无量纲的量，其正负号与 相同，即正值表示拉应变，负值表相同，即正值表示拉应变，负值表示压应变。此外，杆件横截面上的应力示压应变。此外，杆件横截面上的应力（4-9）lNFA 由胡克定律可知：当应力不超过材由胡克定律可知：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。料的比例极限时，应力与应变成正比。即即（4-10）E综合各式得轴线变形量综合各式得轴线变形量（4-11）NF llEA 等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。

8、截面上的应力是均匀分布的。 但由于实际需要，有些零件必须有切但由于实际需要，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。这些部位上截面尺寸发生突然变化。图图4-11 应力集中现象应力集中现象4.2.1 剪切与剪应力剪切与剪应力 在工程实际中，经常遇到剪切和挤压在工程实际中，经常遇到剪切和挤压的问题。的问题。 剪切变形的主要受力特点是构件受到剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用，如图作用线相距很近的一对外力的作用，如图4-1

9、2（a）所示。）所示。 构件的变形主要表现为沿着与外力构件的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面（作用线平行的剪切面（ m-n面）发生相面）发生相对错动，如图对错动，如图4-12（b）所示。）所示。 图图4-12 剪切剪切图图4-13 剪切与挤压剪切与挤压图图4-14 挤压应力的分布挤压应力的分布1剪切强度计算剪切强度计算 由于受剪构件的变形及受力比较复由于受剪构件的变形及受力比较复杂，剪切面上的应力分布规律很难用理杂，剪切面上的应力分布规律很难用理论方法确定，因而工程上一般采用实用论方法确定，因而工程上一般采用实用计算方法来计算受剪构件的应力。计算方法来计算受剪构件的应力。 在这种计算

10、方法中，假设应力在剪在这种计算方法中，假设应力在剪切面内是均匀分布的。切面内是均匀分布的。 若以若以A表示销钉横截面面积，则应表示销钉横截面面积，则应力为力为（4-19）QFA 与剪切面相切，故为切应力。与剪切面相切，故为切应力。 以上计算是以假设以上计算是以假设“切应力在剪切切应力在剪切面上均匀分布面上均匀分布”为基础的，实际上它只为基础的，实际上它只是剪切面内的一个是剪切面内的一个“平均切应力平均切应力”，所，所以也称为名义切应力。以也称为名义切应力。 当当F达到达到 时的切应力称剪切极限时的切应力称剪切极限应力，记为应力，记为 。 对于图对于图4-13（b），剪切极限应力为），剪切极限应

11、力为（4-20）bFbbb2FA 将将 除以安全系数除以安全系数n ，即得到许用，即得到许用切应力切应力（4-21）bb n这样，剪切计算的强度条件可表示为这样，剪切计算的强度条件可表示为（4-22）Q FA 与上面解决剪切强度的计算方法类与上面解决剪切强度的计算方法类同，按构件的名义挤压应力建立挤压强同，按构件的名义挤压应力建立挤压强度条件度条件（4-23）bsbsbsbsFA 式中，式中， 是挤压面积，等于实际挤压是挤压面积，等于实际挤压面投影面的面积；面投影面的面积； 是挤压应力；是挤压应力； 是是许用挤压应力。许用挤压应力。bsAbsbs 由图由图4-13（b）可见，在销钉中部）可见，

12、在销钉中部 段，挤压力段，挤压力 等于等于F，挤压面积，挤压面积 等于等于 ；在销钉端部两段，挤压力均为；在销钉端部两段，挤压力均为 ，挤，挤压面积为压面积为 。mnbsFbsA2td2Ftd 许用应力值通常可根据材料、连接许用应力值通常可根据材料、连接方式和载荷情况等实际工作条件在有关方式和载荷情况等实际工作条件在有关设计规范中查得。设计规范中查得。 一般情况下，许用切应力一般情况下，许用切应力t要比同要比同样材料的许用拉应力样材料的许用拉应力s小，而许用挤压小，而许用挤压应力则比应力则比s大。大。对于塑性材料对于塑性材料对于脆性材料对于脆性材料 0.6 0.8 bs1.5 2.5 0.8

13、1.0 bs0.9 1.5 4.3.1 圆轴扭转的概念圆轴扭转的概念图图4-17 工程受扭构件工程受扭构件图图4-18 扭转角扭转角 轴扭转时的外力，通常用外力偶矩轴扭转时的外力，通常用外力偶矩 表示。表示。 但工程上许多受扭构件，如传动轴等，但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速。设某轴传递的功率为所传递的功率和转速。设某轴传递的功率为 （kW），转速为），转速为n（ ），则该轴的），则该轴的力偶矩力偶矩 （Nm）为）为（4-24）eMkPr mineMke9 549(N m)PMn 应当指出，外界输入

14、的主动力矩，应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。向与轴的转向相反。 作用在轴上的外力偶矩作用在轴上的外力偶矩 确定之后，即确定之后，即可用截面法研究其内力。可用截面法研究其内力。 下面以图下面以图4-19（a）所示圆轴为例，假想）所示圆轴为例，假想地将圆轴沿地将圆轴沿 截面分成左、右两部分，截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，如图保留左部分作为研究对象，如图4-19（b）所）所示。示。eMnn 由于整个轴是平衡的，所以左部分也由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面处于平衡状态，这就要求

15、截面 上的上的内力系必须归结为一个内力偶矩内力系必须归结为一个内力偶矩T ，且由，且由左部分的平衡方程左部分的平衡方程（4-25）得得 （4-26）nne0TMeTM 力偶矩力偶矩T称为截面称为截面 上的扭矩，上的扭矩，是左、右两部分在是左、右两部分在 截面上相互作截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。用的分布内力系的合力偶矩。nnnn 扭矩的符号规定如下：若按右手螺扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则，把旋法则，把T表示为双矢量，当双矢量方表示为双矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向一致时，向与截面的外法线方向一致时，T为正；为正；反之为负（见图反之为负（见图4-20）。）。 按照这一符号规

16、定，图按照这一符号规定，图4-19（b）中所）中所示扭矩示扭矩T的符号为正。当保留右部分时，如的符号为正。当保留右部分时，如图图4-19（c）所示，所得扭矩的大小、符号）所示，所得扭矩的大小、符号与保留的左部分计算结果相同。与保留的左部分计算结果相同。图图4-19 扭矩的大小扭矩的大小图图4-20 扭矩的符号扭矩的符号 若作用于轴上的外力偶多于两个，也与若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。情况。 图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表图中以横轴

17、表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩，称为扭矩图。示相应横截面上的扭矩，称为扭矩图。 图图4-19（d）为图）为图4-19（a）所示受扭圆）所示受扭圆轴的扭矩图。轴的扭矩图。1圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上做圆周线和纵向线（在图面上做圆周线和纵向线（在图4-23中，变中，变形前的纵向线用虚线表示）。形前的纵向线用虚线表示）。 在扭转力偶矩在扭转力偶矩 作用下，各圆周线绕作用下，各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。状和相邻圆周线间的距离不变。e

18、M 在小变形的情况下，纵向线仍近似在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。角度。 但变形前表面上的方格，在变形后但变形前表面上的方格，在变形后错动成了菱形。错动成了菱形。图图4-23 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形图图4-24 切应力的方向分布切应力的方向分布 推导结果表明，若横截面上的扭矩推导结果表明，若横截面上的扭矩为为T，则横截面上任意点的切应力，则横截面上任意点的切应力 的的大小与该点到圆心的距离大小与该点到圆心的距离 成正比，方成正比，方向与半径垂直。向与半径垂直。 在纵向截面和横截面上，沿半径切在纵向截面和横截面上，沿半

19、径切应力的分布如图应力的分布如图4-24所示。所示。的大小为的大小为 （4-27） 称为横截面对圆心称为横截面对圆心 O点的极惯性矩。点的极惯性矩。 由以上公式，由以上公式， 可以算出横截面上距可以算出横截面上距圆心为圆心为 的任意点的切应力。的任意点的切应力。 在圆截面边缘上，在圆截面边缘上， 为半径为半径r ，得最，得最大切应力为大切应力为（4-28）pTIpImaxpTrI 引用记号引用记号 ， 称为抗扭截面称为抗扭截面系数。便可把公式写成系数。便可把公式写成（4-29）ptIWrtWmaxtTW 以上诸式只适用于以上诸式只适用于 低于剪切比低于剪切比例极限的情况。例极限的情况。在实心轴

20、的情况下在实心轴的情况下（4-30）max4p32dI式中式中d为圆截面的直径。为圆截面的直径。（4-31） 在空心的情况下，如图在空心的情况下，如图4-25所示，设所示，设外径为外径为D，内径为，内径为d， 。 由于截面的空心部分没有内力，所以由于截面的空心部分没有内力，所以不应包括空心部分。于是不应包括空心部分。于是3pt16IdWrdD （4-32） （4-33）4444p()(1)3232DIDd3p444t()(1)1616IDWDdrD4.4.1 梁的弯曲内力梁的弯曲内力图图4-28 桥式起重机大梁的弯曲变形桥式起重机大梁的弯曲变形图图4-29 车床刀具的弯曲变形车床刀具的弯曲变形

21、（1）构件本身的简化）构件本身的简化（2）载荷的简化）载荷的简化（3）支座类型和支座反力的简化）支座类型和支座反力的简化图图4-30 平面弯曲平面弯曲图图4-31 三种典型支座三种典型支座图图4-32 三种典型梁三种典型梁图图4-33 静不定梁静不定梁图图4-34 梁的内力梁的内力 为了使保留不同部分进行内力计算为了使保留不同部分进行内力计算时所得的剪力和弯矩不仅数值相等，而时所得的剪力和弯矩不仅数值相等，而且正负号也相同，把剪力和弯矩的符号且正负号也相同，把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，如图规则与梁的变形联系起来，如图4-35所所示。示。图图4-35 剪力和弯矩的符号剪力和弯矩的符

22、号 从梁中取出一微段，并对剪力、弯从梁中取出一微段，并对剪力、弯矩的符号规定如下。矩的符号规定如下。 剪力符号：当剪力剪力符号：当剪力 使微段梁绕微使微段梁绕微段内任一点沿顺时针方向转动时规定为段内任一点沿顺时针方向转动时规定为正，反之为负。正，反之为负。QF 弯矩符号：当弯矩弯矩符号：当弯矩 M使微段梁凹向使微段梁凹向上方时规定为正，反之为负。上方时规定为正，反之为负。 以上分析表明，在梁的不同截面上，以上分析表明，在梁的不同截面上，剪力和弯矩一般均不相同，是随截面位置剪力和弯矩一般均不相同，是随截面位置而变化的。而变化的。 设用坐标设用坐标x表示横截面的位置，则梁各表示横截面的位置，则梁各

23、横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标 的的函数，即函数，即 ， （4-39） 上述关系式分别称为剪力方程和弯矩上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。方程。，QQ( )FFx( )MM x1梁弯曲时正应力的计算梁弯曲时正应力的计算 正应力只与横截面上的弯矩有关，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。而与剪力无关。 这里以横截面上只有弯矩，而无剪这里以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。题。图图4-40 纯弯曲纯弯曲图图4-41 纯弯曲变形纯弯曲变形 图图4-42 中性层中性层 由物理及静力学关系可导

24、出横截面由物理及静力学关系可导出横截面上的弯曲正应力公式为上的弯曲正应力公式为（4-40）zMyI式中式中 M横截面上的弯矩；横截面上的弯矩； Iz横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩； y横截面上待求应力的横截面上待求应力的y坐标。坐标。 应用式（应用式（4-40）时，也可将）时，也可将M、y均代入均代入绝对值，绝对值， 是拉应力还是压应力可根据梁的变是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。形情况直接判断。 以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。凹入一侧为压应力。 由式（由式（4-40）可见，横截面上的最大弯）可见，横截面上

25、的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。曲正应力发生在距中性轴最远的点上。 用用ymax表示最远点至中性轴的距离，则表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为最大弯曲正应力为（4-41）上式可改写为上式可改写为（4-42）其中其中（4-43）maxmaxzMyImaxzMWmaxzzIWy 为抗弯截面系数，是仅与截面形状为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为及尺寸有关的几何量，量纲为长度长度3。 高度为高度为h、宽度为、宽度为b的矩形截面梁，其的矩形截面梁，其抗弯截面系数为抗弯截面系数为（4-44）zW321226zbh /bhWh / 直径为直径为D的圆形截面梁的抗弯截

26、面的圆形截面梁的抗弯截面系数为系数为（4-45）4364232zD /DWD / 横截面上最大的正应力位于横截面边缘横截面上最大的正应力位于横截面边缘线上，一般说来，该处切应力为零。线上，一般说来，该处切应力为零。 有些情况下，该处即使有切应力，其数有些情况下，该处即使有切应力，其数值也较小，可以忽略不计。值也较小，可以忽略不计。 所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。因此，梁的弯曲正视为处于单向应力状态。因此，梁的弯曲正应力强度条件为应力强度条件为（4-46） 对等截面梁，最大弯曲正应力发生对等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上

27、，这时弯曲正应在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为力强度条件为（4-47）maxmax zMWmaxmax zMW 对于抗拉、抗压性能不同的材料，对于抗拉、抗压性能不同的材料，如铸铁等脆性材料，则要求最大拉应力如铸铁等脆性材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过各自的许用值。和最大压应力都不超过各自的许用值。其强度条件为其强度条件为 ， （4-48）tmaxtcmaxc图图4-44 例例4-17图图 当截面上的中性轴为非对称轴，且材料当截面上的中性轴为非对称轴，且材料的抗拉、抗压许用应力数值不等时，最大正的抗拉、抗压许用应力数值不等时，最大正弯矩、最大负弯矩所在的两个截面均可能为弯

28、矩、最大负弯矩所在的两个截面均可能为危险截面，因而均应进行强度校核。危险截面，因而均应进行强度校核。（1）合理安排梁的支座和载荷）合理安排梁的支座和载荷图图4-45 简支梁简支梁（a）门式起重机大梁）门式起重机大梁（b）锅炉筒体）锅炉筒体图图4-46 合理安排梁的支座和载荷合理安排梁的支座和载荷图图4-47 矩形梁的不同放置矩形梁的不同放置图图4-48 非对称中性轴截面非对称中性轴截面z中性轴中性轴 y1最大拉应力位置离中性轴距离最大拉应力位置离中性轴距离 y2最大压应力位置离中性轴距离最大压应力位置离中性轴距离 等强度梁的抗弯截面模量随截面位等强度梁的抗弯截面模量随截面位置的变化规律为置的变化规律为（4-5