相交弦定理教学实录与点评

1、“相交弦定理”教学实录与点评【设疑引入】师：前两节课我们和同学们重点研究了与圆有关的角的问题，从这节课开始我们将研究“和圆有关的比例线段”问题。（板书大课题和圆有关的比例线段）师：先请同学们思考这样一个问题：如图，某城市环城公路是圆形，市内有两条道路AP、CD相交于P，现要使公路AP沿直线方向与环城路连通，需要测算公路PB的长度，但因建筑物无法直接测出，现已测量出PC长为6公里，PD长为4公里，PA长为8公里，问能否根据已测出的PC、PD、PA的长度，求出PB的长？【议论趋势】师：能不能根据PC、PD、PA的长度求出PB的长度呢？(学生相互议论、讨论，提出解决问题的假设，预测解决问题的趋势。)

2、生：（跃跃欲试，继而面带难色）【引导探索】师：解决实际问题的方法通常必须对它进行怎样处理？生：将实际问题抽象转化成数学问题（模型）来解决。师：解决此实际问题的关键是什么呢？生：探求已知线段和未知线段的数量关系。师：被探求的线段是图中的什么线段？生：图中相交两弦被定点分成的四线段。* 本文根据江苏省特级教师评选观摩课，实录而成。点评为仇正山同志所作。师：探索的两弦可不可以为直径？生：可以。师：若弦AB和CD是O的两直径时，探索的四线段关系是什么？生：PA=PB=PC=PD（师板书：(1)当AB和CD是O的直径时， 结论：PA=PB=PC=PD师：现在我们来变换一下CD的位置，当AB是O的直径，C

3、D是O的非直径的弦，且ABCD于P，AB=10，CD=8，PA、PB、PC、PD的数量有何关系？师：有什么方法求出PA、PB、PC、PD的长度。生：测量法。师：请你测量一下（拿出事先准备好的坐标投影纸片，让学生测量或用几何画板的测算功能）生：测量得出PA=8，PB=2，PC=4，PD=4师：有没有其它办法来求四线段的长度。生：计算法。用垂径定理来计算，可求出PA=8，PB=2，PC=4，PD=4师：被求出的四线段间有何数量关系？生：PA·PB=PC·PD（师板书：(2)当AB是直径，CD是非直径的弦，且ABCD于P。结论：PA·PB=PC·PD）师：好，

4、正确，那么第一种情况有没有第二种情况同样的结论呢？生：有。（师在第一种情况的结论下面继续板书：PA·PB=PC·PD）师：好，前面研究的二种情况都为PA·PB=PC·PD，那么当AB和CD都为非直径的弦时，是否PA·PB=PC·PD亦成立呢？生：（用坐标投影纸片测量或用几何画板测算功能）成立。师：同学们分别研究了以上三种情况，都有PA·PB=PC·PD，能否将此命题证明一下。生：（上黑板证明，教师纠正板演过程中发生的错误。）师：好，了不起，你们目前已发现了一个很重要的几何定理，这个定理就叫“相交弦定理”。（板书课题

5、：相交弦定理，出示学习目标，通过本节课的学习必须达成以下四个学习目标见学习目标，用投影片或出示电脑软件表示）【归纳结论】师：同学们在探索相交弦定理时，运用了什么方法？生：运用了“矛盾的普通性寓于特殊性之中”的规律。师：很好，将问题特殊化是解决数学问题的重要的解题策略。师：谁能用语言说出相交弦定理的内容。生：圆的两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两个线段的积相等。师：是两线段的积相等吗？生：（顿悟）是两线段的长的积相等。师：这位同学纠正得很准确（教师板书）。师：谁能用数学语言来表达相交弦定理吗？生：师：有没有别的方法表示呢？生：弦AB和CD相交于圆O内点PPA·PB=PC·

6、;PD师：对，很好，同学们用数学语言叙述时，注意既要完整地表达定理的题设和结论，又要简单精练。师：我们在探求定理时,第二种直交的情况又可以改写成什么数学表达式？生：PC2=PD2=PA·PB。师：这个结论就是相交弦定理的推论，哪位同学能用语言来叙述一下相交弦定理的推论？生：若弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项。（师板书推论）师：数学语言又如何表达呢？生：【练习反馈】师：研究了定理及推论，我们下面来研究定理的用途。 作图：已知线段a、b，求作线段c, 使c2=ab （出示投影片） a b 师：被求作的线段c与已知线段a、b有什么关系？生：要求作的线段c是已知

7、线段a、b的比例中项。师：根据什么，如何作出比例中项c?生：根据“相交弦定理的推论”作出所要求作的线段c。师：哪位同学有勇气上黑板来试一试呢？生：（思索片刻，举手）师：（评价）要保留作图痕迹，注意作图规范性。师：若将原题变为：已知线段a、b，求作线段c，使C2=1/2ab该怎么办？生：将a看成一线段，则可作a与b的比例中项；或将b看成一线段，则可作b与a的比例中项。师：刚才这位同学想得很好，表现得出色，具体做法大家课后去完成。师：下面我们对以上的两个“式结构”来加以研究，从式结构C2=ab可联想到什么样的形结构？生：正方形的面积与矩形的面积。师：此式结构可解决会么样的“形结构”问题？生：作一正

8、方形，使它的面积等于已知矩形的面积。师：这个结论很漂亮（进一步提问），那么“式结构”C2=1/2ab可解决什么样的“形结构”问题呢？生：可解决“作一正方形面积等于一已知三角形的面积”的“形结构”的问题。师：这又是一个同样的漂亮结构，同学们在学习数学的时候要注意“数形结构”的数学思想方法的研究，这是一种极为重要的数学思想。师：到目前为止我们研究了相交弦定理和它们的推论及解决作图的数学问题，那么能否运用有关知识来解决我们先提出的“环城公路”的问题呢？生：能。师：谁能来试一试，请上黑板表达一下你解决问题的办法。生：（面带喜色上黑板表演）老师纠偏。师：谁能说出该同学在解决此几何问题运用了什么的数学思想

9、？生：运用了“构造方程（组）的思想解决几何问题的方法”师：对了，用代数学法解决几何题也是一种常用的思想方法。请同学看投影片或软件，解决以下几个问题。（出示投影片或软件）：问题1：已知圆中两条弦相交，第一条被交点分为12cm和16cm，第二条弦长为32cm，求第二条弦被分成的两段的长。问题2：圆内两弦相交于圆内一点，若一弦被分成6cm和8cm，另一条被分成两段比为1：3，求两弦长。师：哪两位同学来解决这样两个问题？生：（观察、思考、兴趣盎然，举手板演）师：指点纠偏。师：我们上面运用相交弦定理及推论解决的是什么类型的数学问题？生：计算题。师：很好，利用相交弦定理及推论可解决几何中的计算题。下面请同

10、学们练习课本P126的1、2题。生：（思考片刻，学生回答结果）师：下面请同学们证明以下这道题：（出示教学片或软件）：如图5 O1和圆O2有两个公共点M、N,直线AE与O1、O2及M、N顺次交于A、B、C、D、E求证AC·CD=BC·CE生：（观察、思考、面色渐开、喜形悦色、纷纷举手）在O1中AC·CD=MC·CN，在O2中，BC·CE=MC·CN则有AC·CD=BC·CE师：我们应用了相交弦定理解决了以上的证明题，那么谁能说出相交弦定理及推论可以解决哪些数学问题呢？生：作图题 计算题 证明题【评价小结】师：相交弦定

11、理告诉我们圆中两弦相交于圆内一点P，则被P分成的两线段长的积相等，事实上，经过点P的弦远不止二条，而是无数条，那么任一条弦AB被定点P分成的两线段长的积PA·PB的值变化不变化。生：（面带难色，不敢下结论）。师：大家可以相互讨论一下这个问题。生：（相互讨论、争论，课堂气氛相当活跃）。师：（进一步启发）探求此类的数学问题，通常将问题怎样处理？生：特殊化。（经探索，很惊讶）不变，PA·BP=R2OP2=定值师：好，很好！同学们对相交弦定理的研究已达到炉火纯青的地步了，这很不简单，希望同学们在学习过程中，要继续发扬这种追求真理，永无止境的精神。本节课我们着重研究了相交弦定理及推论

12、，和它们的一些应用。在解决问题的过程中我们又运用了多种的数学思想方法，这些思想方法是我们学习数学的灵魂，它对我们终身有用，请同学们平时注意收集积累。下面请同学们对照学习目标，看有何问题需要再提出来进行讨论研究。生：没有。师：没有问题证明同学们对本节课的内容已掌握得很好了。课后请同学们思考：若BA与DC的延长线交于圆外点P，则PA、PB、PC、PD的长有关系吗？有何关系？下面是本节课作业：1、课本P132页9、10、14题。2、补充题：（见投影片或软件）如图6 AB为O的弦，AC=BD，过C、D分别作O的弦EF·MN，求证：CE·CF=DM·DN。师：好，下课！同学

13、们再见。生：老师再见！评析：传统的教学方法往往是教师直接把结论告知学生，学生被动地接受，消化这些结论。而激思导探合作教学法强调让学生参与教学过程，不只学形成知识的“结果”，还要学探求知识的“过程”，学解决问题的“思想”，帮助学生“数学化”。本节课是激思导探合作教学法实验过程中的一节研究课，本节课重在创设情景，师生平等探索，学生成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识，培养数学能力。本教案的主要特点：1、教学目标定位准确，把握有度教学目标是教学的出发点、立足点的归宿。执教者较准确地确定了教学目标，体现了目标的全面性和层次性。即既重视了对学生基础知识的传授和能力的培养，也重视了教学思想方

14、法的挖掘和渗透，教师在备课中不光钻研大纲、教材，更重要的是挖掘出数学的灵魂数学思想，并且体现在教学的全过程中，教学过程围绕教学目标实施，突出了对学生综合素质的培养。2、课堂教学体现了以学生为主体的思想本教案充分体现了“民主教学思想”，教师不主观、不包办，以祥和、平等的态度启发学生，让学生充分参与教学全过程，教师只是创设探索的情境，让学生去观察、分析、猜想、抽象、概括，师生共同合作，归纳出定理及推论。充分注重过程教学，教师不是生硬地将相交弦定理直接呈现在学生面前，而是通过特殊化思想将问题特殊化，经过学生的测量、思考、概括、猜想，层层递进，“发现”相交弦定理，定理的证明和剖析，也是在教师的点拨下完

15、成，教师只是予以总结和规范化。通过教师的不断激发、引导，让学生尝试成功的喜悦，使学生在愉快、和谐的气氛中学习，将课堂气氛不断推向新的高潮。3、教学设计思路新颖、清晰本教案从实际问题引入，顿时就把学生情绪激发起来，产生强烈的求知欲，然后以特殊一般猜想证明应用为线索，通过提问、启发、点拨和学生的亲自实践，使定理自然流畅地呈现在学生面前。在教学过程中，不断提问题，揭露矛盾，去引起学生的思考，一个问题解决了，又揭示另一个问题，环环扣紧，步步深入，引人入胜，使学生始终处于动态的活动之中，形成以学习为中心的探索性的学习活动，真正体现了激思导探合作过程。本教案设计不仅讲清了基本知识，强调了定理和推理的发现过程，而且也阐述了数学思想方法。实验、探索、归纳、猜想，特别是特殊化思想等都在本教案中有突出的体现。4、有利于培养学生的实践能力和创新能力从教学结构上看，执教者让学生亲自实践，通过测量、计算等操作，培养学生的实践能力。从教学语言上看，执教者运用了“你能观察到什么结论”，“你有什么发现”等富有挑战、激励性的语言，激发学生探索知识；从教学内容上看，打破传统“已知求证证明”的模式，而采用开放的教学方式，在教师引导下，学生亲自去探索，从而培养了学生观察、分析、类比、猜想、总结、表述自己观点等能力