古典概率、几何概率

1、古典概率、几何概率一、选择题1 . 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A. -B. -C. -D.-2 .甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是则甲不输的概率为A. -B. -C. -D. -3 .将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为A. B. C. -D. -4 .同时掷3枚硬币，最多有2枚正面向上的概率是A. -B. -C. -D.-5 .已知事件“在矩形 ABCD的边CD上随机取一点P,使的最大边是AB”发生的概率为则一A. -B. -C. -D.-6 .南宁市十二路公共汽车每 5分钟一

2、趟，某位同学每天乘十二路公共汽车上学，则他等车时间小于3分钟的概率为A. -B. -C. -D.7 .在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于-的概率是A. -B. -C. -D.-8 . 在区间上随机地取一个实数 a,则方程有两个正根的概率为A. -B. -C. -D.-9.在以点。为圆心，1为半径的半圆弧上任取一点 B,如图，则的面积大于一的概率为A.-B.-C.-D.-10.将长为佻叫的木棍随机分成两段，则两段长都大于2t州的概率为（）A.一9二、填空题B.心C.9D.1911.通过调查发现，某班学生患近视的概率为 检，则他们都不近似的概率是 ,现随机抽取该班的2名同学进行体12 .在面

3、积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则的面积小于-的概率是13 .在圆。上有一定点A,则从这个圆上任意取一点B,使得的概率是三、解答题14 .甲乙两人拿两颗骰子做投掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，否则，由对方接着掷第一次由甲开始掷.分别求第二次、第三次由甲掷的概率；求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率.数据如下表：单参加书法社团未经加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团23015.某中学调查了某班全部 45名同学参加书法社团和演讲社团的情况, 位：人I从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；n在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同

4、学 ，,3名女同学 ， 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选 1人, 求被选中且 未被选中的概率.16.已知函数成立的概率.，若a, b都是从区间内任取一个数，求第5页，共10页17.如图所示，在边长为 1的正方形OABC内任取一点P x, y1求 APB的面积大于4的概率；求点P到原点的距离小于1的概率.18.甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻 钟，过时即可离去 求两人能会面的概率.答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. A 5. A 6. B 7. D8. C9. A10. B11 .12 .-13 .-14 .解：投两颗骰子包含的基本事件为

5、：， 共36种.点数和为3的倍数有：，, 共 12 种，两骰子点数之和为 3的倍数概率为： 故第二次由甲投的概率为：第三次由甲掷，包括两种情况：甲投掷2次得到的点数之和都是 3的倍数，概率为-；或者是甲投掷得到的点数之和不是 3的倍数，乙投掷得到的点数之和也不是3的倍数，概率为-故第三次由甲投的概率为：-求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为甲甲乙乙甲乙甲乙甲乙乙甲15 .解：I设“至少参加一个社团”为事件A;从45名同学中任选一名有 45种选法， 基本事件数为45；通过列表可知事件 A的基本事件数为；这是一个古典概型，一 -；n从5名男同学中任选一个有 5种选法，从3名女同学中任选一名有 3种选

6、法；从这5名男同学和3名女同学中各随机选 1人的选法有，即基本事件总数为15；设“ 被选中，而未被选中”为事件 B,显然事件B包含的基本事件数为 2；这是一个古典概型，一.16 .解：函数，,即，也就是b都是在区间内任取一个数,可得点所在的区域是由， ，四条直线围成的正方形.设满足的点为N,则N所在的区域是正方形内，且在直线的上方，如图，.6 二?-_*_j >*0£ 巴卜a即五边形ABCDE的内部，止方形面积为，五边形ABCDE的面积为正方形事件"”的概率为：二17.解： 如图，取线段 BC, AO的中点1则当点P在线段EF上时，4,故满足条件的点 P所在的区域为矩

7、形一 ?巳F,连接EF,阴影部分.故所求概率为n> cf E _ A所有的点P构成止方形区域PM八则1象限所围的平日正方形D,若点P到原点距离小于1,所以符合条件的点P构成的区域是圆在第M部分图中阴影部分.点P到原点距离小于1的概率为 正方形18.解：由题意知本题是一个几何概型， 试验发生包含的所用事件对应的集合是第5页，共10页斗/J/ / /15 / /Z_。1560 X集合对应的面积是边长为 60的正方形的面积，而满足条件的事件对应的集合是，得到两人能够会面的概率 ,两人能够会面的概率是一.【解析】1 .解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有 种情况，周六、周

8、日都有同学参加公益活动，共有种情况，所求概率为一-故选：D.求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参 加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可.本题考查古典概型， 是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总 数.2 .解：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件.根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率- -故选：A.利用互斥事件的概率加法公式即可得出.本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题.3 .解：

9、一颗骰子掷两次，共有 36种.满足条件的情况有，共2种，所求的概率 一一.故选：A.列出基本事件，求出基本事件数，找出满足第二次出现的点数是第一次出现的点数的倍的种数，再根据概率公式解答即可本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是要做到不重复不遗漏，属于基础题.4 .解：同时掷3枚硬币，基本事件总数，最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，最多有2枚正面向上的概率：故选：A.最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用对立事件概率计算公式能求出最多有 2枚正面向上的概率.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合

10、理运用.5 .【分析】第8页，共10页本题主要考查了几何概型，关键是合理设置常数，从而得到关系式，由于运算量较大, 故较难.P使的最大，其中P位于E时,P位于F时,由题意可知,-，所以在直角三角形ECB中,所以一所以一故选A6.解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车 5分钟一班准时到达车站，时间长度是 5,而满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于3分钟的时间长度是 3,由几何概型概率公式得到故选：B.由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于 果.本题考查几何概型，几何概型的概率的值 是通过长度、面积、和体积、的比值得到

11、.3分钟,5分钟一班准时到达车站而 根据几何概型概率公式得到结7.解：设取出的两个数为x、V,则有域为纵横坐标都在域，易得其面积为1,其表示的区 之间的正方形区表示的区域为直线 下方，且在表示区域内部的部分，D三3第7页，共易得其面积为则两数之和小于的概率是故选：D.设取出的两个数为 x、y,则可得“，”表示的区域为纵横坐标都在之间的正方形区域，易得其面积为1,而表示的区域为直线下方，且在，所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案. 本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系. 8.解：若方程有两个正根，则满足，则对应的概率一二 _故选：C根

12、据根与系数之间的关系， 求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可.本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键.9 .【分析】本题考查利用几何概型求概率，由弧长的比求解.【解答】解：半圆弧上任取一点 B,弧长为，要使 的面积大于则高大于所以，所以B所在的弧长为-故所求概率为二一，故选A.10 .【分析】本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算 公式求解.由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为9,基本事件的区域长度为 5,代入几何概率公式可求.解：设“长为9cm的木棍”对应区间

13、“两段长都大于 2cm”为事件A,则满足A的区间为根据几何概率的计算公式可得 故选B.11 .解：由题意可得每个学生不近视的概率为，随机抽取该班的2名同学进行体检，他们都不近似的概率是，故答案为： 由题意可得每个学生不近视的概率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得随机抽取该班的2名同学进行体检，他们都不近似的概率.本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题.12 .解：设P到BC的距离为h 矩形ABCD的面积为S,的面积小于-时，-点P所在区域的面积为矩形面积的一半，的面积小于-的概率是-故答案为：-根据的面积小于-时，可得点P所在区

14、域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率.本题考查几何概型，解题的关键是根据的面积小于-时，确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半13 .解：如图，要使，则B点所在圆弧占整个圆周的由几何概型概率计算公式可得，使得的概率是故答案为：-.由题意画出图形，由几何概型概率计算公式得答案.本题考查几何概型，考查了几何概型概率计算公式的求法，是基础题.14 .投两颗骰子包含的基本事件用列举法求得共36种点数和为3的倍数有12种,由此求得两骰子点数之和为 3的倍数概率，从而求得第二次由甲投的概率以及第三次由 甲投的概率.求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲，分别求得这三种情况的概

15、率，相加即得所求.本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.15 . I先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；n先求基本事件总数，即从这 5名男同学和3名女同学中各随机选 1人，有多少中选 法，这个可利用分步计数原理求解， 再求出“ 被选中，而 未被选中”事件包含的基 本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可.考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用.16 .本题以一个函数值为正值的概率求法为例，着重考查了用不等式组表示平面区域和几何概率的求法等知识点，属于基础题.将事件"”化简得不等式，根据题意，a, b都是在区间 内任取的一个数，得到所有的点所在的区域是由， 四条直线围成的正方形，而符合题意的点 N所在的区域是正方形内， 且在直线的上方，最后用符合题意的图形面积除以整个正方形的面积，即可得到所求概率.17 .本题考查的是几何概型.由面积公式可知满足APB的面积大于-的点在一个长方形区域内，由长方形区域的面积比正方形的面积可求出