无穷级数总结

1、无穷级数总结、概念与性质1 .定义：对数列U1,U2,Un,Un称为无穷级数,上称为一般项;假设局部和n1数列Sn有极限S,即limSnS,称级数收敛,否那么称为发散.n2 .性质设常数C0,那么Un与CUn有相同的敛散性；n1n1设有两个级数Un与Vn,假设UnS,Vn,那么UnVnS；n1n1n1n1n1假设Un收敛,Vn发散,那么4%发散；n1n1n1假设Un,Vn均发散,那么UnVn敛散性不确定；n1n1n1添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；设级数Un收敛,那么对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n1注：一个级数加括号后所得新级数发散,那么原级数发散；一个级数加括号

2、后收敛,原级数敛散性不确定.级数Un收敛的必要条件：limUn0；n1n注：级数收敛的必要条件,常用判别级数发散；假设1而Un0,那么Un未必收敛;nn1假设Un发散,那么limUn0未必成立.n1n二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法定义：假设Un0,那么Un称为正项级数.n1审敛法：D充要条件：正项级数Un收敛的充分必要条件是其局部和数列有界n1(ii)比拟审敛法：设Un与Vn都是正项级数,且UnVn(A1,2,),n1n1那么假设收敛那么收敛；假设发散那么发散.A.假设收敛,且存在自然数N,使得当nN时有Unkvn(k0)成立,那么收敛；假设发散,且存在自然数N,使得当nN时有Un

3、kvn(k0)成立,那么发散；B.设Un为正项级数,假设有p1使彳#un；(n1,2,),那么Un收敛；假设n1nn11Un一(n1,2,),那么Un发目攵.nn1C.极限形式：设Un与Vn都是正项级数,假设lim丛l(0l),那么n1n1nVnUnn1Vnn1有相同的敛散性.注：常用的比拟级数:几何级数：arn1n11r发散p级数:1收敛n1np发散调和级数：1111发散.n1n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设an是正项级数,假设n1limanr1,那么an收敛；lim亘r1,那么an发散.nnann1ann1注：假设lima,1,或limJO_1,推不出级数的敛散.例工与4,虽

4、然nann,n1nn1nlima口1,lim向1,但二发散,而三收敛.nann,n1nn1nn,(iV)根值判别法(柯西判别法)设an是正项级数,lim后n1n级数收敛,假设1那么级数发散.(v)极限审敛法：设Un0且limnpUnl,那么limnpunl0且p1,那么级nn数Un发散；如果p1,而limnpunl(0l),那么其收n1n敛.(书上P317-2-(1)注：凡涉及证实的命题,一般不用比值法与根值法,一般会使用比拟判别法.正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件,是充分非必要条件.2 .交错级数及其审敛法定义:设Un0(n1,2,),那么(1)n1Un称为交错级数.n

5、1审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)nU,假设UnUnn1NlimUn0,n那么(1)n1Un收敛.n1注：比拟Un与Un1的大小的方法有三种：比值法,即考察员是否小于1；Un差值法,即考察UnUn1是否大于0；由Un找出一个连续可导函数f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.3 .一般项级数的判别法：假设Un绝对收敛,那么Un收敛.n1n1假设用比值法或根值法判定|Un|发散,那么Un必发散.n1n1三、幕级数1 .定义：anXn称为幕级数.n02 .收敛性阿贝尔定理：设幕级数anXn在X.0处收敛,那么其在满足Ix|Ix0|的所有X处绝对收敛.反之,假设幕级数a

6、nxn在X1处发散,那么其在满足|x|X1n0的所有X处发散.收敛半径(i)定义：假设幕级数在xX0点收敛,但不是在整个实轴上收敛,那么必存在一个正数R,使得当|xX0R时,幕级数收敛；当an1anxX0R时,幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径(ii)求法：设幕级数anXn的收敛半径为R,其系数满足条件limn0n或严：；两l,那么当0l时,R1;当l0时,R,当l时,R0.注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式,后一个那么须分奇、偶项(有时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后,由于通项中出现缺项,由此仍不能用求半径的公式直接求,须用求函数项级数收敛性的方法.(iii

7、)收敛半径的类型A. R0,此时收敛域仅为一点；B. R,此时收敛域为(,)；C.R=某定常数,此时收敛域为一个有限区间.3 .幕级数的运算(略)4 .幕级数的性质假设幕级数的收敛半径R0,那么和函数S(x)anxn在收敛区间(R,R)内连续.n0假设幕级数的收敛半径R0,那么和函数S(x)anXn在收敛区间(R,R)内可导,n0且可逐项求导,即S(x)(anXn)(anXn)nanXn1,收敛半径不变.n0n0n1假设幕级数的收敛半径R0,那么和函数S(x)anxn在收敛区间(R,R)内可积,n0x且可逐项积分,即Sdt0X(antn)dt0n0antndt(xn00(R,R),收敛半径不变

8、.5.函数展开成幕级数假设f(x)在含有点X.的某个区间I内有任意阶导数,f(x)在Xo点的n阶泰勒公式为f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)f(n1)()-一号(XXo)(n1),记Rn(x)(n1)!f(Xo)-2f(n1)2(XXo)f(n)(Xo)n!(xXo)(n1)!(n1)(XXo)介于X,Xo之间,那么f(x)在I内能展开成为泰勒级数的充要条件为limRn(x)n0,初等函数的泰勒级数(xo0)n/no%(,I(ii)sinxn12n1(1)Xn1(2n1)!n2n(iii)cosx(J：,x(no(2n)!(iv)ln(1x)nn(1)X(1,1;/、(1)(n1)n(v)

9、 (1X)17-Xn,x(1,1),(R);n1n!1 1(vi) 4Xn,X1;4(1)nxn,X1.1 Xno/nn、(ancosxbnsinx).Xno6.级数求和幕级数求和函数解题程序(i)求出给定级数的收敛域;(ii)通过逐项积分或微分将给定的幕级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系),从而得到新级数的和函数；注：系数为立壬项代数和犯！级数2一求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和,然后分别求出它们的和函数,最后对和函数求代数和,即得所求级数的和函数.数项级数求和利用级数和的定义求和,即limSns,那么Uns,其中nn1nsnU1U2U

10、nUk.根据$n的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.A.直接法：适用于uk为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式,在求n项和时,除首尾两项外其余各项对消掉.(ii)阿贝尔法(构造幕级数法)anlimanxn,其中幕级数anXn,可通_X1_n0n0n0过逐项微分或积分求得和函数S(x).因此anlims(x).X1n0四、傅里叶级数1.定义定义1：设f(x)是以2为周期的函数,且在,或0,2上可积,那么1 一、,1*n1ll2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数f(x)在区间,上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的；只有有限个极值点,、

11、,C、an一f(x)cosnxdx一0f(x)cosnxdx,(n0,1,2),112bn-f(x)sinnxdx.f(x)sinnxdx,(n1,2,),称为函数f(x)的傅立叶系数.定义2:以f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数-a0(ancosnxbnsinnx).2n11f(x)a02称为函数f(x)的傅立叶级数,表示为(ancosnxbnsinnx).n1定义3:设f(x)是以2l为周期的函数,且在l,l上可积,那么以1 l一、nan一f(x)cosxdx,(n0,1,2),lllbn1f(x)sinnxdx,(n1,2)为系数的三角级数1ao(ancosxbnsinx)称为f(x)

12、的傅立叶级数,表示为1f(x)a.22 n1ll那么f(x)的傅立叶级数在,上收敛,且有a0(ancosnxbnsinnx)2n1f(x),x是f(x)的连续点;1f(xo0)f(xo0),2x0是f(x)的第一类间断点；1_2f(0)f(0),x3.函数展开成傅氏级数周期函数(i)以2为周期的函数f(x):f(x)a1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnxn1、,1),bnbnsinnxf(x)sinnxdx(n1,2,);注：假设f(x)为奇函数,那么f(x)bnsinnx(正弦级数),n12bn0f(x)sinnxdx(n1,2,);0(n0,1,2,)假设f(x)为偶

13、函数,那么f(x)与2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnx(余弦级数),n1),bn0(n1,2,).(ii)以2l为周期的函数f(x)?11anl1n、,f(x)cosxdx(n0,1,2,n.n、ancosx+bnsinx)n1ll1ln),bn-f(x)sinxdx(n1,2,)；lllan0(n0,1,2,)注：假设f(x)为奇函数,那么f(x)bnsinnx(正弦级数),n1l,2lnbn-0f(x)sin丁xdx(n1,2,)；假设f(x)为偶函数,那么f(x)包ancosx,(余弦级数)2n1l2lnan-0f(x)cosxdx(n0,1,2,),bn0(n1,2,).非周期函数(i)奇延拓：f(x),0xA.f(x)为0,上的非周期函数,令F(x)I,那么F(x)除x0外在f(x),x0在,上为奇函数,f(x)bnsinn1(n1,2,).(ii)偶延拓：A. f(x)为0,上的非周期函数,令F(x)/x(正弦级数),bn1n0f(x)sin-xdxf(x),0xf(x),x0那么F(x)除x0外在,上为偶函数,f(x尸a_ancosnx(余2n12弦级数),anof(x)cosnxdx(n0,1,2,).B. f(x)为0,l上的非周期函数,令F(x)f：)：那么