2.1-第八次习题课第二、三章 总结维随机变量及其分布函数ppt课件

1、第八次习题课第二、三章 总结一、一维随机变量及其分布函数1、r.v. ()是定义在可测空间(,F)上的一个取实值的可测函数。2、 r.v. 的d.f为 ，其具有单调不降，处处左连续， 等性质，反之亦然。3、假设 为离散型，概率分布： a1 a2 P p1 p2 分布函数 要求能正确写出一个离散型随机变量的概率分布及分布函数，常见的离散型分布：二项、泊松、几何、超几何分布。4、 为连续型： 。常见的连续型分布；均匀、正态、指数、 分布等。 1R x),x(PxF1)F( , 0)(F xaiipxF 称为密度其中xFxPdt)t (P)x(Fx二、二维随机向量的联合分布及边际分布。 ，称为联合分

2、布函数，具有性质1、2、3、4称为联合分布的边际分布。,y,xPy,xF yP)y,(FyFxP),x(FxF1、当 为离散型时。联合概率分布：对于任意B B2边际概率分布：重要的二维离散型分布：三项分布，其边际分布是二项分布。,ijijjiijp,j , i ,b,aPP1 21B)b ,a(ijjipB,P有11 21 ijijjyiijipp)b(P,i,ppaP1,2,j 2、边际密度： ，重要的二维连续型分布：均匀分布。二元正态分布边际分布为一元正态分布。 xy.dudv)v ,u(Px:,y,F 为连续型B,dxdy)y,x(PB,P,x)y,x(Fx为联合密度其中yy),P( 2

3、 ),(y)P ,),(dxyxPdyyxPxP三、随机变量的独立性 相互独立 引理3.1，假设 相互独立，那么 亦独立逆不真）。 独立性概念可平行推广到任意n个随机变量的情形。, 2, ,RyxyFxFyxF对一切 2 Ry,xyPxPy,xP对一切连., jipppjiij对一切离,)(),(gf四、（一维或二维随机变量函数的分布。1、离散型情形，见书P76P78。 a1 a2 p p1 p2 p p1 , p2, 2、连续型情形：求一维或二维随机变量函数的分布有二法。（1基本方法，按分布函数定义求随机变量函数的分布函数。（2利用公式：书P129定理3.1及补充的，定理和的分布、商的分布公

4、式等。掌握， 分布，F分布，t分布的构造性定义。 21)a(f),a(f)(f2五、随机变量一维或多维的数字特征。1、重要而广泛的数字特征：矩原点矩、中心矩。K阶原点矩：K阶中心矩： ：性质：高阶矩存在则低阶矩一定存在。 连离.)( )(dxxpxpaxdFxEkiikikk xdFExEEkk 连离阶混合要点矩 dxdy)y,x(PyxPba)y,x(dFyxE:lklkijijljkilklk阶混合中心矩lk lkEEE2、随机变量重要的数字特征是一阶原点矩数字期望），二阶中心矩方差、协方差及相关系数，要掌握其计算法各表示随机变量的什么特征，各具有什么基本性质。 六、了解两个随机变 的条件

5、分布及条件期望的定义、计算法。七、特征函数1、定义：2、性质：（1） （2） 是非负定的。 （3） （4） （5） ，此条可推广到任意n 个随机变量的情形，但逆不真。 , 连离 dx)x(PePeeEtitxkkitakit tt,Rtt10t , 1一致连续在 t atetibtba kkkiE0 ttt,独立则 3、反演公式及唯一性定理说明： ，记住单点分布，二项分布，泊松分布，正态分布的特征函数例1：将一颗均匀的骰子独立重复地投掷n次，分别以 表示1点和6点出现的次数，求 的相关系数。解：令 K=1,2,，n则独立 ，同服从分布: 令 那 么 独 立 ， 同 服 从 分布 。 且 。 t

6、Ft,点次投掷骰子不出现第点次投掷骰子出现第1k 01k 1kn,1,.Pk650P 611k点次投掷骰子不出现第点次投掷骰子出现第6K 06 1kkn,1650P ,611kkPn1k1 knkk,得 , 由 nkkEnEE16nknkkDnDD11365365EEECOV,n1k111112 2njkjkkknknjkjkkknkknkkEEEEE其中： 故 从而 , 因而 011P,PEkkkk. jk 3616161 1111, 1时当kjkjkjkPPPE36/1nnE3636361,cov2nnnn5136536,covnnDD例2： 相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求 的分布密度。解：由已知 故 因 ，由于 的可能取值为正实数，故：当 ，当, 0y, 0P , 0 00, 0y, yxeyxxexP,其它 0 0y0, x,ey,xPyx zPzF, OP,zzF 0时 1F 1Pz,z时当0z1时，令 那么得 因而 即 U0，1） 0y 0, xyxx