高中全程复习方略配套简单的三角恒等变换 (2)ppt课件

1、第六节 简单的三角恒等变换三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进展简单的恒等变换余弦和正切公式进展简单的恒等变换( (包括导出积化和差、和差包括导出积化和差、和差化积、半角公式化积、半角公式, ,但对这三组公式不要求记忆但对这三组公式不要求记忆).).1 1利用公式变换利用公式变换, ,进展三角函数式的化简是本节调查的热点进展三角函数式的化简是本节调查的热点. .2.2.常与实践运用问题、函数等结合命题常与实践运用问题、函数等结合命题. .3.3.高考主要以解答题

2、的方式进展调查高考主要以解答题的方式进展调查. .1.1.半角公式半角公式cos2_cos2_ 22 以 代, 以代coscos_ sin_cos_22tan_2212sin22cos1212sin222cos121 cos21cos21cos1cos【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：他能用思索：他能用sinsin、coscos表示表示tan tan 吗？吗？提示：提示：2sinsin2cossin222tan21 coscoscos2cos222，sinsin2sin1 cos222tan.2sincoscos2sin222(2)(2)判别以下公式及其变形能否正确判别以下公式及其变形

3、能否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“或或“) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 coscos22 21cossin221costan2sin【解析】根据公式可知根号下分子上应该是【解析】根据公式可知根号下分子上应该是“+ +，故错，故错; ;等号右边分子上应该是等号右边分子上应该是“- -，故错；等号右边分子上应该是，故错；等号右边分子上应该是“- -，可以化简验证，故错，可以化简验证，故错. .答案：答案： (3)(3)填空：填空：cos215cos215-sin215-sin215=_.=_.2sin2152sin215-1=_.-1=_.【解析】【解析】co

4、s215cos215-sin215-sin215=cos30=cos30= =2sin2152sin215-1=-cos30-1=-cos30=-=-答案：答案： - - 3;23.232322.2.形如形如asinx+bcosxasinx+bcosx的式子的化简的式子的化简asinx+bcosx=_sin(x+)asinx+bcosx=_sin(x+)( (其中其中 ) )22ab2222basin,cosabab【即时运用】【即时运用】(1)(1)把以下三角函数式化成把以下三角函数式化成 sin(x+) sin(x+)的方式的方式sin+ cos=_;sin+ cos=_;sin+cos=

5、_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.5sin+12cos=_.(2)(2)计算：计算：22ab3cos103sin10_.1cos80【解析】【解析】(1)(1)sin+cos= ;sin+cos= ;5sin+12cos= sin(+)=13sin(+)(5sin+12cos= sin(+)=13sin(+)(其中其中tan= ).tan= ).(2)(2)原式原式2sin3cos13sin()2sin()332sin()4225121252132( cos10sin10 )2sin40222.2sin402sin 40答案：答案：(1)(1)2sin(+ )2sin(+ )1

6、3sin(+)(13sin(+)(其中其中tan= )tan= )(2) (2) 32sin()41252三角函数式的求值三角函数式的求值【方法点睛】【方法点睛】三角函数式求值的类型和思绪三角函数式求值的类型和思绪(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值式的值. .条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等变换求

7、得所需求的值，同时留意所给角的范围变换求得所需求的值，同时留意所给角的范围. .(2)(2)条件求值的普通思绪条件求值的普通思绪先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;察看知条件与所求式子之间的联络察看知条件与所求式子之间的联络( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手););将知条件代入所求式子将知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. . 【例【例1 1】求以下三角函数式的值】求以下三角函数式的值. .(1)sin50(1)sin50(1+ tan10(1+ tan10)=_.)=_.(2)(2)假设假设cos(+)= ,cos(-)= ,cos(+)= ,cos(-)

8、= ,那么那么tantan=_.tantan=_.(3)(3)知知tan( +)=2,tan( +)=2,那么那么 =_. =_.【解题指南】【解题指南】(1)(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；公式的逆用；(2)(2)利用两角和、差的余弦公式展开求利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,coscos,sinsinsinsin，相除得结果；，相除得结果；(3)(3)根据知条件求出根据知条件求出tantan，把所给，把所给的三角函数式变形，代入的三角函数式变形，代入tantan即可即可. .315354212sincoscos 【

9、规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式=sin50=sin50( )( )=sin50=sin50=2sin50=2sin50= =3sin101cos10132( cos10sin10 )22cos10sin30 cos10cos30 sin10cos10sin40sin80cos102cos401.cos10cos10cos10(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由解得由解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sins

10、in= ,那么那么15352515sinsin1tantan.coscos2(3)(3)由由于是于是= =答案：答案：(1)1 (2) (3)(1)1 (2) (3)1tan1tan()2,tan,41tan3得22221sin cos 2sincoscos 2sincoscos 221( )1tan 123.12tan132131223【互动探求】把本例【互动探求】把本例(2)(2)中的中的“cos(+)= ,cos(-“cos(+)= ,cos(-)= )= 改为改为“sin(+)= ,sin(-)= “sin(+)= ,sin(-)= , ,如何求如何求 ？15351535tantan【

11、解析】由于【解析】由于sin(+)=sincos+cossin= ,sin(+)=sincos+cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,两式相加得两式相加得sincos= sincos= 两式相减得两式相减得cossin=- cossin=- 152515tan2.tan 即得35【反思【反思感悟】三角函数式求值问题的留意点感悟】三角函数式求值问题的留意点(1)(1)三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思绪，三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思绪，否那么会使求值过程繁琐否那么会使求值过程繁琐. .(

12、2)(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此能够涉及到式子的条件求值要求准确利用所给的条件，在此能够涉及到式子的变形和角的变换，同时要留意角的范围变形和角的变换，同时要留意角的范围. .【变式备选】知【变式备选】知 求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析】【解析】= =又又故可知故可知3 3cos(),45 224cos(2)cos2cossin2sin4442cos2sin2 ,2337,.224443cos()0,4537,2444sin(),45 从而从而= = = =cos2sin(2)2sin()cos()24443242 ().5525 2sin2cos(2)1

13、2cos ()24 23712 (.525 ）2cos2)(cos2sin2)42（224731 2().2252550 三角函数式的化简三角函数式的化简【方法点睛】【方法点睛】三角函数式化简的原那么、要求及方法三角函数式化简的原那么、要求及方法(1)(1)三角函数式的化简原那么三角函数式的化简原那么: :一是一致角，二是一致函数名一是一致角，二是一致函数名. .能能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. .三角三角函数函数式化式化简的简的要求要求能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；

14、尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .(2)(2)(3)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角化同角. .【提示】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常运用，【提示】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常运用，特别是特别是“1“1的代换经常用到的代换经常用到. . 【例【例2 2】化简】化简 (,2). (,2).【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理

15、式为有理式，但要留意化无理式为有理式，但要留意的范围的范围. .【规范解答】【规范解答】2 1 sin2 1 cos ,221sinsincos2sincos22222(sincos)22，222 1 cos2(12cos1)4cos22原式原式= =(,2),(,2),cos 0,cos 0,当当 时，时，sin +cos 0sin +cos 0，原式原式=2(sin +cos )-2cos =2sin=2(sin +cos )-2cos =2sin2 sincos2 cos.222(,),22233,2242即22222,2当当 2 0) (0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求

16、求的值的值; ;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间0 0， 上的取值范围上的取值范围. .【解题指南】先利用三角恒等变换把【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)f(x)化成化成y=Asin(x+)y=Asin(x+)+B+B的方式，求周期得到的方式，求周期得到,再讨论三角函数的性质再讨论三角函数的性质. .3sinxsin(x)223【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)= = =由于函数由于函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且00，所以所以 = =，解得，解得=1.=1.1cos2x3sin2x22311sin2xcos2x2221sin

17、(2x)6222(2)(2)由由(1)(1)得得f(x)=f(x)=由于由于0 x ,0 x ,所以所以所以所以由于由于0sin 0sin 所以所以f(x)f(x)在区间在区间0, 0, 上的上的取值范围为取值范围为0, 0, . .1sin(2x).622372x,6661sin(2x)1.2613(2x)622，2332【反思【反思感悟】此题第感悟】此题第(1)(1)问主要是要求正确的恒等变形，第问主要是要求正确的恒等变形，第(2)(2)问要留意问要留意0 0， . .这样这样2x- 2x- 的范围就能详细求出，再求的范围就能详细求出，再求f(x)f(x)的取值范围的取值范围. .236【

18、变式训练】知函数【变式训练】知函数f(x)= +sinxcosx.f(x)= +sinxcosx.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在在0, 0, 上的值域上的值域. . 【解析】【解析】(1)f(x)= +sinxcosx(1)f(x)= +sinxcosxf(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T= =.T= =.23sin x223sin x1 cos2x13sin2x22 133sin2xcos2x2223sin(2x)3222(2)(2)所以所以f(x)f(x)在在 上的值域为上的值域为 . . 40 x,2x

19、,23333sin(2x)1,230,22332，【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答 【典例】【典例】(13(13分分)(2021)(2021四川高考四川高考) )知函数知函数f(x)= xR.f(x)= xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)知知cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,求证：求证：f()f()2-2=0. 2-2=0. 73sin(x)cos(x),4445452【解题指南】【解题指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成

20、化成Asin(x+)Asin(x+)的方式；的方式；(2)(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=02coscos=0，结合，结合0 0 可得可得= .= .【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)= =2sin(x- ). 4=2sin(x- ). 4分分f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(x)f(x)的最小值为的最小值为-2. 6-2. 6分分2273sin(x2)sin(x)442sin(x)sin(x)444(2)(2)由知得由知得coscos+sinsin= ,coscos+sins

21、in= ,coscos-sinsin=- ,coscos-sinsin=- ,两式相加得两式相加得2coscos=0. 92coscos=0. 9分分f()f()2-2=4sin2 -2=0. 132-2=4sin2 -2=0. 13分分45450,22 4【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有三处容易失分：解答本题时有三处容易失分：(1)(1)第第(1)(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错得问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错得不到化

22、简后的正确结果不到化简后的正确结果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而而导致后续计算无法进行导致后续计算无法进行. . (3)(3)在第在第(2)(2)问中得到问中得到2coscos=02coscos=0后忽略后忽略0 0 而得不到而得不到的值，而无法继续往下做的值，而无法继续往下做. .2备备考考建建议议解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：时要高度关注：(1)(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误误. .

23、(2)(2)忽略特殊角的值而使问题漏解忽略特殊角的值而使问题漏解. .另外如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必另外如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，须先通过恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数讨论其图象和性质然后根据化简后的三角函数讨论其图象和性质. . 1.(20211.(2021大纲版全国卷大纲版全国卷) )知知( ,)( ,)，sin= ,sin= ,那么那么tan2=_.tan2=_.【解析】由【解析】由( ,),sin= ( ,),sin= ，得，得cos=- ,cos=- ,答案：答案： 2552552 55sin1tan,cos2 22tan4tan2.1tan 3 432.(20212.(2021大纲版全国卷大纲版全国卷) )知知(, )(, )，tan=2tan=2，那么，那么cos=_.cos=_.【解析】由【解析】由(, ),tan=2(, ),tan=2得得sin=2cos,sin=2cos,又又sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,所以所以cos=-cos=-答案：答案：- - 32325.5553.(20213.