第07章-1节重积分的概念及计算ppt课件

1、第七章第七章 重积分重积分7.2 二重积分的计算法二重积分的计算法 利用二重积分的定义直接计算二重积分利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。次定积分来计算二重积分。7.2.1 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 设设f(x,y)是定义在平是定义在平面区域面区域D上的非负连续上的非负连续函数，以函数，以D为底面，以为底面，以曲面曲面f(x,y)为顶面，以为顶面，以D的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母线平行于

2、线平行于z 轴的柱面为轴的柱面为侧面所围成的立体称为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？如何求该曲顶柱体的体积呢？xzyoD),(yxfz 1、曲顶柱体的体积、曲顶柱体的体积- 二重积分的几何意义二重积分的几何意义xzyo),(yxfz D (1)分割分割 用一组曲线网将用一组曲线网将D分成分成n个小闭区域个小闭区域1,2 , , n ，分别以这些小区域的，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。个细曲顶柱体。xzyoD),(yxfz (2) 近

3、似近似 当这些小区域的直径当这些小区域的直径di很小时，由于很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体顶柱体i ),(ii iiiifV ),( (3) 作作和和式式(4) 取取极极限限 nniiiidddfV,max(,),(lim2110 niiiifV1),( xzyo),(yxfz D曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 DdyxfV ),(由二重积分定义立即得到由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。这也是二重积分的几何意义。2、用几何观点讨论二

4、重积分的计算法、用几何观点讨论二重积分的计算法 应用应用 “ “定积分中求定积分中求“平行截面面积为已知平行截面面积为已知的立体的体积的方法计算这个曲顶柱体的体积。的立体的体积的方法计算这个曲顶柱体的体积。 bxaxyxD ),()(:21 (1)设设f (x,y) 0，f(x,y)在在D上连续。上连续。X型型o a b xyD)(2xy )(1xy o a b xy)(2xy )(1xy D)(0 xA)(2xy o a x0 b xyz),(yxfz )(1xy 在区间在区间a,b上任取一点上任取一点x0，作平行于作平行于yOz面面的平面的平面x = x0。 )()(000201),()(

5、xxdyyxfxA 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0), 2(x0)为底、曲线为底、曲线z =f (x0,y)为曲边的为曲边的曲边梯形，其截面面积为：曲边梯形，其截面面积为： 先计算截面面积。先计算截面面积。 一般地，过区间一般地，过区间a,b上任上任一点一点x且平行于且平行于yOz面的平面面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：截曲顶柱体所得截面面积为：。 )()(21),()(xxdyyxfxA 于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为 badxxAV)( 这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式)1(),(),()

6、()(21 baxxDdxdyyxfdyxf baxxdxdyyxf),()()(21 )(2xy o a x b xyz( )A x),(yxfz )(1xy 上式右端的积分叫做先对上式右端的积分叫做先对y、后对、后对x的二次积分。的二次积分。 baxxdyyxfdx)()(21),( 。即即)1(),(),()()(21 baxxDdyyxfdxdyxf 就是说，先把就是说，先把x看作常数，把看作常数，把f(x,y)只看作只看作y的函的函数，并对数，并对y计算从计算从1(x)到到 2(x)的定积分；的定积分； 再把计算所得的结果是再把计算所得的结果是x的函数对的函数对x计算在区计算在区间间

7、a,b上的定积分。上的定积分。这个先对这个先对y、后对、后对x的二次积分也常记作的二次积分也常记作(2)D如如果果积积分分区区域域 可可以以用用不不等等式式Y型型dycyxy ),()(21 来来表表示示Dyoxdc)(1yx yoxdc)(1yx )(2yx )(2yx D 计算时先把计算时先把y看作常数，因此看作常数，因此f(x,y)是是x的的一元函数，一元函数， 在区间在区间1(y) x 2(y)上对上对x积分积分,得得到一个关于到一个关于y的函数的函数, 再在区间再在区间c y d上对上对y积分积分,。 这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对x 、后对、后对 y的二次积分的公

8、式。的二次积分的公式。 Ddyxf ),(21( )( )( , )(2)dycydyf x y dx dcyydydxyxf)()(21),( 21( )( )( , )( , )(1)bxaxDf x y ddxf x y dy 应用公式应用公式(1) 时，积分区域必须是时，积分区域必须是X型区域。型区域。21( )( )( , )( , )(2)dycyDf x y ddyf x y dx 应用公式应用公式(2) 时，积分区域必须是时，积分区域必须是Y型区域。型区域。 X型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于y轴轴的直线与的直线与D的边界相交不多于两点。的边

9、界相交不多于两点。 Y型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于x轴的直线与轴的直线与D的边界相交不多于两点。的边界相交不多于两点。 若积分区域若积分区域D既不是既不是X型区型区域也不是域也不是Y型区域，型区域，D，此时要，此时要将积分区域将积分区域D分成几部分，使分成几部分，使得每一部分是得每一部分是X型区域或型区域或Y型区型区域，再利用积分关于区域的可域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。加性可得整个区域上的积分。yox2D3D1D 若积分区域若积分区域D既是既是X型区域也是型区域也是Y型区域，那么。型区域，那么。2211( )( )( )( )(

10、, )( , )bxdyaxcydxf x y dydyf x y dx 这表明二次积分可以交换积分次序。这表明二次积分可以交换积分次序。123( , )( , )( , )( , )DDDDf x y df x y df x y df x y d 3、二重积分计算的一般方法、二重积分计算的一般方法 要依被积函数及积分区域两方面的情况选要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。定积分顺序。化为两次单积分化为两次单积分 (1) 作图，确定作图，确定D的类型。的类型。 (2) 选定积分顺序。选定积分顺序。 (3) 定出积分上下限。定出积分上下限。 (4) 计算定积分。计算定积分。 确定积分顺

11、序之后，积分的上下限是依确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的的特点而定的。特点而定的。 要使两次积分都能要使两次积分都能“积得出积得出”，“易积出易积出”。221,111Dyxy dDyx xy 计计算算其其中中 是是直直线线和和所所围围成成例例的的闭闭区区域域。11 xo 1 xy = xy, yx先先对对再再对对 求求积积分分31221211 2(1) |2 3xxydx 113) 1|(|31dxx 103) 1(32dxx Ddyxy 221dxdyyxyx 111221。21 解解 画出积分区域画出积分区域D如图所示。如图所示。既是既是X型，又是型，又是Y型的。型的。,xy若若先先

12、对对 再再对对 求求积积分分 则则 Ddyxy 221 111221dydxyxyy。 11 o 1 xy = xyy2,:2,2DxydDyx yx 计计算算二二重重积积分分由由例例所所围围区区域域。解解 首先画出积分区域首先画出积分区域D的图形。的图形。 O 1 x- 221 y(1，1)(4 ,-2),21DDD (1) 如先积如先积y后积后积x，则有，则有 ,10:1xxyxD 。412:2xxyxD1D2DO 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)1D2D Dxyd dxxydxxx 241210210 xxxydydx10 xxxydydx241 4123)45(21dxxx

13、x。845 21DDxydxyd O 1 x(4 ,-2)- 221 y(1，1)D(2) 如先积如先积x后积后积y，则有，则有 yyxydxdyI2122 125324421dyyyyy1263326434221 yyyy。845 dyyyy4212)2(2 评注评注 本例说明，在化二重积分为二次积分时，本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函的形状，又要考虑函数数f(x,y)的特性。的特性。4、交换积分顺序、交换积分顺序由所给的积分顺序及积分限写出由所给的

14、积分顺序及积分限写出D的不等式的不等式表示并画出积分区域的草图表示并画出积分区域的草图由积分区域按新的积分顺序确定积分限。由积分区域按新的积分顺序确定积分限。 例例3 交换以下积分的积分顺序交换以下积分的积分顺序212220010( , )( , )xxxIdxf x y dydxf x y dy 12( , )( , )DDIf x y dxdyf x y dxdy 解解 , 10,20:21xxxyD 2120:2xxyD , 10,20:21xxxyD 2120:2xxyDy1y 2xO 1 2 x221DDD 10211:2yyxyD 102112),(yydxyxfdy xxxdyyxfdxdyyxfdxI20212010),(),(2D1D2课内练习一课内练习一 改变以下二次积分的积分次序改变以下二次积分的积分次序 yydxyxfdyI)