第六讲 时间序列的平稳性及其检验

1、时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据据经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设： 数据是平稳的数据是平稳的数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础 “一致性一致性”要求要求被破怀。被破怀。nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim 经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X X是非随是非随机变量机变量 放宽该假设：放宽该假设：X X是随机变量，则需进

2、一步要求：是随机变量，则需进一步要求： (1)(1)X X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关Cov(X,Cov(X, )=0)=0 (2) 依概率收敛：依概率收敛：如果如果X X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），则（则（2 2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。 表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性高的相关性（有较高的（有较高的R2)。例如：例如：如果有两列时间序列如果有两列时间序列数据表

3、现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。决系数。 在现实经济生活中，在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非实际的时间序列数据往往是非平稳的平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。数据非平稳的后果数据非平稳的

4、后果 导致出现导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性定义：定义：假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，如果满足下列条件：）生成的，如果满足下列条件： 1 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是与时间与时间t t 无关的常数；无关的常数； 2 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是与时间与时间t t 无关的常数；无关的常数； 3 3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是只与时期间隔是只与时期间隔k k有关

5、，有关，与时间与时间t t 无关的常数；无关的常数； 则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该随，而该随机过程是一机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。 例例1一个最简单的随机时间序列是一具有一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：零均值同方差的独立分布序列： Xt= t ， tN(0, 2)该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。 由于由于X Xt t具有相同的均值与方差，且协方差具有相同的均值与方差，且协方差为零为零, ,由定

6、义由定义, ,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。 例例2另一个简单的随机时间列序被称为另一个简单的随机时间列序被称为随机随机游走（游走（random walk），该序列由如下随机过程该序列由如下随机过程生成：生成： Xt=Xt-1+ t 这里，这里， t是一个白噪声。是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值容易知道该序列有相同的均值：E(XE(Xt t)=E(X)=E(Xt-1t-1) ) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为的初值为X0，则易知，则易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0

7、 0+ +1+2+ +t 由于由于X X0 0为常数，为常数， t t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此: : Var(XVar(Xt t)=t)=t 2 2即即Xt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一有关而非常数，它是一非平稳序列。非平稳序列。 然而，对然而，对X X取取一阶差分一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列 Xt是平稳的。是平稳的。 后面将会看到后面将会看到: :如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方

8、法而形成平稳序列。 事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1阶自阶自回归回归AR(1)过程过程的特例的特例: Xt= Xt-1+ t 不难验证不难验证:1)| |1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升表现为持续上升( 1)或持续下降或持续下降( -1)，因此，因此是非平稳的；是非平稳的； 2) =1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。事实上可以证明事实上可以证明:只有当只有当-1-1 10，自相关系数都为，自相关系数都为0的联合假设，的联合假设，这可通过如下这可通过如下

9、QLB统计量进行：统计量进行：mkkLBknrnnQ12)2( 该统计量近似地服从自由度为该统计量近似地服从自由度为m m的的 2 2分布（分布（m m为为滞后长度）。滞后长度）。 因此因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为 的临的临界值，则有界值，则有1-1- 的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的的假设。假设。 例例3:3: 下表序列下表序列Random1Random1是通过一随机过程（随是通过一随机过程（随机函数）生成的有机函数）生成的有1919个样本的随机时间序列。个样本的随机时间序列。表表 9 9. .1 1. .1 1

10、 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.61

11、6 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -

12、0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.

13、141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。 从图形看：从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到且样本自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近附近波动且逐渐收敛于波动且逐渐收敛于0 0。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.22468101214

14、1618RANDOM1AC 从从QLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后17期的计期的计算值为算值为26.38，未超过，未超过5%显著性水平的临显著性水平的临界值界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相关可以接受所有的自相关系数系数 k(k0)都为都为0的假设。的假设。 因此因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。 序列序列Random2Random2是由一随机游走过程是由一随机游走过程 X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一随机游走时间序列样本。其中，生成的一随机游走时间序列样本。其中， t t是由是由Random1Random1表示的白噪声

15、。表示的白噪声。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随，但随着时间的推移，则在着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。附近波动且呈发散趋势。从从QLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后1期的计算值为期的计算值为5.116，超过，超过5%显著性水平的临界值显

16、著性水平的临界值3.84，因此，因此,拒拒绝自相关系数绝自相关系数 k(k0)都为都为0的假设。的假设。 该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。例例 检验中国支出法检验中国支出法GDP时间序列的平稳性时间序列的平稳性。 表表 19782000年中国支出法年中国支出法GDP（单位：亿元）（单位：亿元） 图图9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0年年中中国国G GD DP P时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810 12 14 16 18 20 22GDPACF0

17、2000040000600008000010000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00GDP 图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可初，可初步判断步判断是非平稳是非平稳的。的。 样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平稳非平稳性。性。 从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看：统计量看： QLB(18)=57.1828.86=0.052拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的期之后的值全部为值全部为0的假设。的假设。 结论结论:19782000年间中国年

18、间中国GDP时间序列是非平稳序列。时间序列是非平稳序列。 1 1、DFDF检验检验 随机游走序列随机游走序列: Xt=Xt-1+ t是是非平稳的，其中非平稳的，其中 t是白噪声。而该序列可看成是白噪声。而该序列可看成是随机模型是随机模型: Xt= Xt-1+ t中参数中参数 =1时的情形。时的情形。四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 （unit root test） （* *）式可变形式成差分形式：）式可变形式成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)检验（检验（*）式是否存在单位根）式是否存在单位根 =1，也可通过（，也可通过（*）式判断是否有式判断是否有

19、 =0。对式：对式： Xt=Xt-1+t （*） 进行回归，如果确实发现进行回归，如果确实发现 =1，就说随机变量，就说随机变量Xt有一个有一个单位根单位根。 可证明，（可证明，（*）式中的参数）式中的参数 1或或 =1时，时时，时间序列是非平稳的间序列是非平稳的;对应于（对应于（*）式，则是）式，则是 0或或 =0。 因此，针对式：因此，针对式： Xt= + Xt-1+ t 我们关心的检验为我们关心的检验为：零假设零假设 H0： =0。 备择假设备择假设 H1： 0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。 然而，在零假设（然而，在零假设（ 序列非平稳）下，即使在

20、大序列非平稳）下，即使在大样本下样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的通常的t 检验无法使用。检验无法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统统计量服从的分布（这时的计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量称为 统计统计量量），即即DF分布分布（见表（见表9.1.3）。）。 由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。零值的偏态分布。 因此，可通过因此，可通过OLS法估计：法估计： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并计算并计算t统

21、计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性分布表中给定显著性水平下的临界值比较：水平下的临界值比较：表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不

22、存在单位根，是平稳的。注意：在不同的教科书上有不同的描述，但注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。是结果是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝于临界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。列不存在单位根，为平稳序列。 问题的提出：问题的提出： 在利用在利用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t对时间序列进行平稳性对时间序列进行平稳性检验中检验中，实际上实际上假定了时间序列是由具有白噪声随假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程机误差项

23、的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。 但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关自相关（autocorrelation），导致导致DF检验无效。检验无效。 2 2、ADFADF检验检验 另外另外，如果时间序列包含有明显的随时如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的容易导致上述检验中的自相关随机误

24、差项问自相关随机误差项问题题。 为了保证为了保证DF检验中随机误差项的白噪声检验中随机误差项的白噪声特性，特性，Dicky和和Fuller对对DF检验进行了扩充，检验进行了扩充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验）检验。 ADF ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型1： tmiitittXXX11 （*） 模型2： tmiitittXXX11 （*） 模型3： tmiitittXXtX11 （*） 模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型时间变化的某种

25、趋势（如果有的话）。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。势项。 检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1: 临界值，不能拒绝存在临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。单位根的零假设。 时间时间T的的t统计量小于统计量小于ADF分布表中的临分布表中的临界值，因此界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型2 。 2）经试验，模型）经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38)

26、 (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。该模型的设定是正确的。 从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大于临界统计量为正值，大于临界值值，不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的常数项的t统计量小于统计量小于AFD分布表中的临界值分布表中的临界值，不能不能拒绝不存常数项的零假设。拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型1。 3) 3)经试验，模型经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶阶： 21119

27、4. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM （1） =0.17 LM （2） =2.67 LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。此模型的设定是正确的。 从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大于统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFADF检验

28、在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。同时，由设。同时，由于时间项于时间项T的的t统计量也小于统计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能拒绝不此不能拒绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设。需进零假设。需进一步检验模型一步检验模型2 。 ADFADF

29、检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。同时，由设。同时，由于常数项的于常数项的t统统计量也小于计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能拒绝不此不能拒绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设。需进零假设。需进一步检验模型一步检验模型1。 ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GD

30、PPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的统计量的值大于临界值大于临界值，不能拒值，不能拒绝存在单位绝存在单位根的零假设。根的零假设。至此，可断至此，可断定定GDPP时时间序列是非间序列是非平稳的。平稳的。 ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值大于临界计量的值大于临界值，不能拒绝存在值，不能拒绝存在单位根的零假设。单位根的零假设。同时，由于时间项同时，由于时间项项项T的的t统

31、计量也小统计量也小于于AFD分布表中分布表中的临界值，因此不的临界值，因此不能拒绝不存在趋势能拒绝不存在趋势项的零假设。需进项的零假设。需进一步检验模型一步检验模型2 。在在1%置信度下。置信度下。 从从GDPP(-1)的的参数值看，其统参数值看，其统计量的值大于临计量的值大于临界值，不能拒绝界值，不能拒绝存在单位根的零存在单位根的零假设。同时，由假设。同时，由于常数项的于常数项的t统计统计量也小于量也小于AFD分分布表中的临界值，布表中的临界值，因此不能拒绝不因此不能拒绝不存在趋势项的零存在趋势项的零假设。需进一步假设。需进一步检验模型检验模型1。从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，

32、其统计量的值其统计量的值大于临界值，大于临界值，不能拒绝存在不能拒绝存在单位根的零假单位根的零假设。至此，可设。至此，可断定断定GDPP时间序列是非时间序列是非平稳的。平稳的。 ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验2 2GDPPGDPP从从2GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其统计量的值其统计量的值小于临界值，小于临界值，拒绝存在单位拒绝存在单位根的零假设。根的零假设。至此，可断定至此，可断定2GDPP时时间序列是平稳间序列是平稳的。的。GDPP是是I(2)过程。过程。 1 1、单整、单整（integrated Serial） 如果一个时间序列经过一次

33、差分变成平稳的，如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是就称原序列是一阶单整（一阶单整（integrated of 1）序列）序列，记为记为I(1)。 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成平稳序列，则称原序列是成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列）序列，记为，记为I(d)。例如上述人均例如上述人均GDPGDP序列，即为序列，即为I(2)I(2)序列。序列。 I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。五、单整、趋势平稳与差分平稳五、单整、趋势平稳与差分平稳 现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等表现为平稳的，如利率等; 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收入等常是当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的，阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单