经典功率谱估计

1、广州大学物理与电子工程学院广州大学物理与电子工程学院第六章 功率谱估计6.5 6.5 经典功率谱估计经典功率谱估计 其他 01, 1 , 0NkkxkxN方法基础方法基础卷积和卷积和:*1nxnxNnRNNx由由*DTFT1)(nxnxNPNNx )e ()e (1jjNNXXN2j)e (1NXN已知：已知：称称 用用IN( )表示表示10jje DTFT)e (NkkNNNkxkxX2jjDTFT)e (1)()e (NxNNXNPXkx 功率谱估计其中：其中：2DFT1mXNmPmXkxNxNN 功率谱估计102jeDFTNkmkNNNNkxkxmX用周期图法计算功率谱估计用周期图法计算

2、功率谱估计已知实平稳随机序列已知实平稳随机序列Xk单一样本的单一样本的N个观测值为个观测值为xk=1, 0， 1，试利用周期图法估计其功率谱。，试利用周期图法估计其功率谱。利用周期图法计算功率谱估计的关键是：利用周期图法计算功率谱估计的关键是：1)获得随机序列单一样本获得随机序列单一样本N个观测值的傅氏变换！个观测值的傅氏变换！2)再由下式即得功率谱估计：再由下式即得功率谱估计：2j)e (1)()(NNxXNIP 对对xk进行离散时间傅里叶变换进行离散时间傅里叶变换(DTFT)：2j10jje1e )e ( NkkNkxX)e ()e (1)e (1)(j*j2jNNNNXXNXNI )e1

3、)(e1 (312 j2 j)cos1 (32 功率谱估计为：功率谱估计为：用周期图法计算功率谱估计用周期图法计算功率谱估计已知实平稳随机序列已知实平稳随机序列Xk单一样本的单一样本的N个观测值为个观测值为xk=1, 0， 1，试利用周期图法估计其功率谱。，试利用周期图法估计其功率谱。利用周期图法进行利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计平稳高斯白噪声的谱估计产生产生30组组N点均值为零，方差为点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪的平稳高斯白噪声，分别计算声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱时的功率谱估计值，并分析谱估计质量。估计值，并分析谱估计质量。 利用随机信号产生器产生利

4、用随机信号产生器产生30组组N点平稳高斯白点平稳高斯白噪声，由下式：噪声，由下式： 2j)e (1)(NxXNP分别计算出分别计算出30组信号的周期图，再取平均即可组信号的周期图，再取平均即可得到功率谱估计值得到功率谱估计值 。01234020020N=64FrequencyPower Spectral(dB)01234020020N=128Frequency01234020020N=256FrequencyPower Spectral(dB)01234020020N=512FrequencyPower Spectral(dB)Power Spectral(dB) 功率谱估计值在功率谱估计值在

5、0dB附近波动，波动的大小不附近波动，波动的大小不随数据长度随数据长度N的增加而减小，即周期图法谱估计的的增加而减小，即周期图法谱估计的方差较大，且不随方差较大，且不随N的增加而减小的增加而减小。 利用周期图法进行利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计平稳高斯白噪声的谱估计产生产生30组组N点均值为零，方差为点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪的平稳高斯白噪声，分别计算声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱时的功率谱估计值，并分析谱估计质量。估计值，并分析谱估计质量。 1j(1)( ) eNnNnNNnE IR nN N，EIN( )= Px( )，渐进无偏估计渐进无偏估计sin

6、)sin(1)(var24 NNINN增加，增加， 方差不减小，不是一致估计！方差不减小，不是一致估计！周期图法进行功率谱估计周期图法进行功率谱估计, 方差不随方差不随N的的增加增加减小。减小。如何提高谱估计质量如何提高谱估计质量?(1) 对自相关函数估计值加窗。对自相关函数估计值加窗。(2) 将将N个观测值分段个观测值分段, 计算各段的周期图计算各段的周期图, 再取平均。再取平均。对自相关函数估计值加窗对自相关函数估计值加窗, 将误差较大的估计值截去：将误差较大的估计值截去：nxNNnMnRnwPj1)1(e )( 窗函数窗函数wn (MN)满足下述条件：满足下述条件：MnnwMnnwnww

7、nw0100(1) 利用观测数据估计自相关序列。利用观测数据估计自相关序列。(2) 对自相关函数估计值加窗。对自相关函数估计值加窗。(3) 计算加窗后自相关函数的计算加窗后自相关函数的DTFT。PM( )波动比波动比IN ( )小小，是，是一致估计一致估计降低了频率分辨率降低了频率分辨率1, 1 , 0; 1, 1 , 0;MkAikiMxkxi第第i段序列的周期图为：段序列的周期图为：2j)e (1)(MiMXMI 平均周期图：平均周期图：)(1)(10iMAiAMIAP 将随机序列将随机序列Xk的的N个观测值分成个观测值分成A段：段：)(var1)(variMAMIAP A, 方差为零，方

8、差为零，是一致估计是一致估计 1)1(je )(biaNNnnNnRNnI)(bia)(biaNiMII 平均周期图方差减小的代价之一是平均周期图方差减小的代价之一是偏差增大偏差增大。因为因为所以所以平均周期图法平均周期图法：减小方差：减小方差：增加估计的偏差，：增加估计的偏差，降低了谱的分辨率降低了谱的分辨率：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大：将各段数据有一定程度的重叠。：将各段数据有一定程度的重叠。利用利用Welch法进行法进行平稳高斯白噪声的谱估计平稳高斯白噪声的谱估计产生产生30组组512点均值为零，方差为点均值为零，方差为1的平稳高斯

9、的平稳高斯白噪声，白噪声，利用利用Welch法法按照按照50%50%重叠分别将其分重叠分别将其分成成A=3，7，15，31段段，计算功率谱估计值，并，计算功率谱估计值，并分析谱估计质量。分析谱估计质量。 (1) 对每组对每组512512点数据按各段数据重叠点数据按各段数据重叠50%50%的方式的方式分成分成3 3段段256256点序列，点序列，7 7段段128128点序列，点序列，1515段段6464点序列，点序列，3131段段3232点序列。点序列。 10)(1)(AiiMAMIAP(2) 求出每段数据的周期图：求出每段数据的周期图：21mXMmIiMiM(3) 再取平均即得各组数据的再取平

10、均即得各组数据的功率谱估计功率谱估计 ,即：即：1）随着分段数）随着分段数A的增加，谱估计越来越平滑，的增加，谱估计越来越平滑，方差明显减小。方差明显减小。 2） Welch法的谱估计结果比周期图法的谱估计法的谱估计结果比周期图法的谱估计结果有显著改善，更接近理论分析结果有显著改善，更接近理论分析(0dB) 。利用利用Welch法进行法进行平稳高斯白噪声的谱估计平稳高斯白噪声的谱估计产生产生30组组512点均值为零，方差为点均值为零，方差为1的平稳高斯的平稳高斯白噪声，白噪声，利用利用Welch法法按照按照50%50%重叠分别将其分重叠分别将其分成成A=3，7，15，31段段，计算功率谱估计值，并，计算功率谱估计值，并分析谱估计质量。分析谱估计质量。 五五 、小结、小结*DTFT1)(nxnxNPNNx )e ()e (1jjNNXXN2j)e (1NXN(1) 利用观测数据估计自相关序列；利用观测数据估计自相关序列；(2) 对自相关函数估计值加窗；对自相关函数估计值加窗；(3) 计算加窗后自相关函数的计算加窗后自相关函数的DTFT。五五 、小结、小结1, 1 ,