第二章分岔与奇怪吸引子ppt课件

1、第二章第二章 分岔与奇异吸引子分岔与奇异吸引子第一节 简单数学分岔第二节 平方映射与倍周期分岔第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程第四节 李雅普诺夫指数与奇异吸引子分岔与奇异吸引子分岔与奇异吸引子第一节第一节 简单数学分岔简单数学分岔 引言引言 分岔概念分岔概念 1 1 切分岔切分岔 2 2 转换键型分岔转换键型分岔 3 3 叉式分岔叉式分岔 4 4 霍夫型分岔霍夫型分岔弹性压杆的分岔引言引言 分岔概念分岔概念 分岔是一种普遍的自然景象。力学上指分岔是一种普遍的自然景象。力学上指一种力学形状在临界点发生的转变、分开一种力学形状在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当或一分为二。

2、如：一根受力的弹性压杆当压力超越压杆的临界负荷时，会出现弯曲。压力超越压杆的临界负荷时，会出现弯曲。 许多重要物理景象数学上可以某类微分许多重要物理景象数学上可以某类微分方程来描画。数学上分岔研讨非线性微分方程来描画。数学上分岔研讨非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。界点附近的行为。 在Ps 平面上 当 PPc 时有三种平衡形状：坚持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同平衡形状的分岔点为 Pc。这时坚持直线是不稳定的，稍有扰动平衡形状便会偏向 +s 或 -s 。两种偏向 +s 或 -s 形状是稳定的。2xdtdx0/dt

3、dx0 x1. 切分岔切分岔数学模型数学模型 利用方程： 由 得平衡点 (a)当0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当0时出现两个奇点, ， 阐明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点间隔随时间变化。设间隔：随时间变化：0 x0 xx 20)(xdtdxdtd02 xdtd忽略高阶量解 ，当 时， ，此解是稳定的，是稳定的结点。解 ，当 时， ，解是不稳定的，它是鞍点。 切分岔是一个鞍结分岔 相流外形0 xt00 xt)2exp()(00txt02 xdtd 解的稳定性与相流解的稳定性与相流1. 切分岔切分岔解2 转换

4、键型分岔转换键型分岔利用方程：解在分岔点 ( x0 ,)(0,0) 处发生转机，故称 转换键型分岔 解的稳定性 采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知： 0，平衡点 x0=0 是稳定的,平衡点 x0= -m 是不稳定的； 0，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点x0= +m 是稳定的。 0/dtdx000 xx2xxdtdx数学模型数学模型平衡点 由分岔图可见，0或0都是一对鞍结点： 0时， 轴线是结点， 是不稳定的； 0时， 的轴线是不稳定的， 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流外形如以下图。00 xx0 00 x0 x2 转换键型分岔转换键型分岔相流相流3 叉

5、式分岔叉式分岔利用方程： 由 得平衡点分岔图笼一致把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：0时只需 x0= 0 的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。0有三个平衡点， x0= 0 是不稳定的，解 是稳定的。 数学模型数学模型0/dtdx000 xx0 x相流图形相流图形3xxdtdx杜芬方程具有叉式分岔杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：由势能曲线知： a. 在在 时仅有一个平衡点：时仅有一个平衡点： b.在在 时存在三个平衡点：时存在三个平衡点：可见在参数可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。转为三解的叉式分岔。 c.在这三个平衡点中，在这三个平衡点中， ，处

6、，处在势能极小点，是稳定的；在势能极小点，是稳定的； 处在处在势能极大点，是不稳定的平衡点。势能极大点，是不稳定的平衡点。3 叉式分岔叉式分岔0322xxdtxd00 x0 x0 xx0 x杜芬方程的叉式分岔杜芬方程的叉式分岔4 霍夫型分岔霍夫型分岔dxdtyxxydydtxyxy ()()2222 数学模型引入极坐标引入极坐标xy22dxdtddtdydtddt cossincoscos求导求导代入原方程代入原方程令正弦余弦系数相等令正弦余弦系数相等sincosyx1)(2dtddtd 对方程 积分,可得：C，t0 为积分常数。1.01.0，间隔，间隔r r 随时间而缩短，当时间随时间而缩短

7、，当时间 时时 。阐明。阐明轴线上轴线上 各点是稳定的焦点。各点是稳定的焦点。2. 2. 0 0，r r 值随时间增长，不论初始值随时间增长，不论初始 r r 的大小；当的大小；当 时时构成闭合圈即极限环构成闭合圈即极限环4.霍夫型分岔霍夫型分岔分岔分析分岔分析020)1/(0)2/(1ttCeCtt1)(2dtddtd0tt参数参数从负变到正，从焦点产生出从负变到正，从焦点产生出极限环极限环, ,这种分岔称霍夫分岔。分这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于岔点位于=0=0。范德玻耳方程分岔范德玻耳方程分岔012222xdtdxxdtxd引进参数作用量I 与角度量q22sin21cos2IIdtdIc

8、os2Ix 相位求平均 2C/0/dtdIICIdtdI2平衡点：平衡点： 2021CII 对于平衡点 I2 邻域有: 为初始对I2 的偏离量。作用量 I 对的偏离量 随时间指数减小。当 ， , , I2 是稳定 的解。 )exp()(0tItI0It0ICI 4.霍夫型分岔霍夫型分岔 对于平衡点 I1 邻域有: I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I 随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不稳定焦点。)exp()(0tItI范德玻耳方程分岔范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔霍夫型分岔结论结论 范德玻耳方程霍夫型分岔与参范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的数的e e 正负有关。上面讨论的是正负有关。

9、上面讨论的是 e e 为正值情况，即：为正值情况，即： 假设假设 e e 为正值，相平面上坐标原为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外的。不论初始相点处于环内还是环外， 时总是趋向于极限环。时总是趋向于极限环。 假设假设 e e 为负值，情况刚好相反，为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环那么是不稳定的。不动点，而极限环那么是不稳定的。当当 时，环内相点趋于不动点，时，环内相点趋于不动点，环外相点那么远离环而去。环外相点那么远离环而去。012222xd

10、tdxxdtxdtt第二节第二节 平方映射与倍周期分岔平方映射与倍周期分岔 1. 平方映射2. 平方映射的不动点及其稳定性3. 平方映射的周期解及其稳定性4. 倍周期分岔的功率谱 物理学上一个动力学系统可以用延续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为延续变量的单参数的动力学系统：这里 为系统参数。设系统形状作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，变化，那么时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时辰写成 相应的形状为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性开展史上第一个将映射方程用于研讨系统进入混沌形状的是美国科学家梅(May Robert) yfx( , )x tfx t(

11、)( , ( )1)(nntxx ),(1nnxfx映射方程1平方映射平方映射 nxxx,21tnttttttttn00201,2,映射方程计算映射方程计算对一个映射 的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值 将其代入映射计算得 ，将 代入映射计算得 ，由 可算得 ，如此不断计算得：例如： 一个简单映射 1 次迭代： 2 次迭代： n 次迭代：于是有：假设将 值看成为一条线上的一个点，那么该组数值就构成一条轨道。nnAxx100)(xAAxAAxnn1平方映射平方映射 ),(1nnxfx01Axx 0 x1x1x2x3xnx02012)(xAAxAAxxnxxxx,321ix2x动力学系统用延续

12、变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系映射与微分方程对应关系nnAxx1迭代计算0 xAxnnAxdtdx解方程 Atexx01平方映射平方映射 平方映射导出平方映射导出生态平衡方程生态平衡方程 1838年，生物学家伏埃胡斯脱Verhulst在研讨生物种群演化时提出一种想象：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。 第 n 代有: 第 n+1 代有:A 如不思索生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有如下关系： 当 R 1，种群数量将线性地无限制增长。 B 种群受环境制约，数量有最大限额 ，种群繁衍空间 第 n 代与

13、第 n+1代关系 1平方映射平方映射 nN1nNnnRNN10NnNN 0)(01nnnNNRNN)1 (01NNNNnnn0NR)1 (1nnnxxx0/ NNxnn平方映射计算)1 (1nnnxxx21)1 (nnnnnxxxxx 方程展开 xn+1 值与 xn 值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射 (logistic map), 该式是抛物线表示式，也称抛物映射。 由于亲、子两代种群数约化值，在0 1间，参数取值在0，4内。 离散映射采用迭代计算。即给定参数 m 值与初始值 x0 ，就有： 设： 各次计算值为： 在此参数下，计算结果趋向一个终值：1.平方映射平方映射 xxx11

14、00()xxx211()11 . 0, 4 . 20 x1 . 00 x216. 0) 1 . 01 ( 1 . 04 . 2)1 (001xxx578985. 03x5859465. 04x58227. 05x583755. 06x583335. 0 x40642. 0)1 (112xxx作图计算作图计算预备:1. 坐标2. 作条抛物线：3. 作的对角线，称恒等线经过它做投影。1.平方映射平方映射 nnxx1nnxx1平方映射平方映射 在在 平面上是一条抛物线，抛平面上是一条抛物线，抛物线高度由物线高度由 m 值决议。值决议。nnxx1)1 (1nnnxxx)1 (1nnnxxx作图计算作图

15、计算在横坐标x0 处作竖直线与抛物线相交，交点为 x1。从此点作程度线与对角线相交，此交点横坐标为 x1。由横坐标 x1 作垂线，与抛物线相交 x2，移植到对角线上，得横坐标x2 。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点 B，这是计算的终值。 1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一条抛物线，抛平面上是一条抛物线，抛物线高度由物线高度由 m 值决议。值决议。nnxx1)1 (1nnnxxx作图计算作图计算1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一条抛物线，抛平面上是一条抛物线，抛物线高度由物线高度由 m 值决议。值决议。nnxx1)1 (1nnnxxx平方映射的

16、不动点 经过作图或数值计算阐明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1一样时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。 实践上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。 抛物线的高度与值有关，最大高度在 m=1/2 处且等于/4。 假设参数 较小(m1)，抛物线高度较低，它与迭代线只需一个交点，即原点A。在这种情况下，不论初值如何迭代最终趋于原点，原点是独一的不动点。xxxiii()10ix/ ) 1(ix2 .平方映射的不动点平方映射的不动点平方映射的两个不动点2 .平方映射的不动点平方映射的不动

17、点11时走向不动点时走向不动点 A A 当参数m1 时平方映射会出现第二个不动点。以下图 m 值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值添加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2 .平方映射的不动点平方映射的不动点2.3 时振荡走向不动点B 当 值增大到2.3 时，迭代结果开场出现振荡起伏，然后逐渐稳定在某个数值。例如，当 2.8 时，迭代值经过多次衰减振荡后逐渐稳定。 2.3 2.3 时经过振荡时经过振荡走向不动点走向不动点B B2 .平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳定性不动点的稳定性 非线性动力学中心问题之一就是研讨系统的稳定性问题。非线

18、性动力学中心问题之一就是研讨系统的稳定性问题。 上述计算可见，当上述计算可见，当3迭代值出现继续振荡，迭代值出现继续振荡，阐明迭代在阐明迭代在= 3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。 如一维映射如一维映射 具有不动点，即有解具有不动点，即有解 设设 en 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在对右边在 x* 附近展开：附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程那么得：略去的高阶小项，利用不动点方程那么得：对于稳定的不动点，对于稳定的不动点， 应有：应有： ，即，即对于不稳定的不动点对于不稳定的不动点, 应有应

19、有: ，即，即 2 .平方映射的不动点平方映射的不动点 ),(n1+nxfxxfx( ,),(n1+nxfxn*x=x1+n),(),(xxfxfxmfxxn+1nx=x*( , )n+1n1mn1+nm 1不动点的稳定性 n+1n1m1m01m 10m0mx对于稳定的不动点，应有对于稳定的不动点，应有 ,即：即：映射在不动点处斜率为映射在不动点处斜率为 45迭代单调的趋近于迭代单调的趋近于 x迭代经过几次起伏趋近于迭代经过几次起伏趋近于超稳定不动点，最有利的稳定超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于情况，迭代图上对应于2/11nnxx2 .平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳

20、定性 n+1n1mx对于稳定的不动点，应有对于稳定的不动点，应有 ,即：即：x2 .平方映射的不动点平方映射的不动点 二周期解 当参数从=2.8 继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为= 3.2时迭代情况，取 x0=0.04，在迭代进展几次后，其终值在一大一小的两个定值之间腾跃，并与起始值无关，称为周期2 轨道运动。3.平方映射的周期解平方映射的周期解 =3.2 时时xn+1在一大一小两个值间腾跃在一大一小两个值间腾跃周围期解 值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。值增大到3.5 以上，迭代的终值起伏每隔四次出现反复，称为周期 4 轨道运动。图为 =3.52 时的 xn+

21、1n 曲线，仍取x0=0.2为起始值。 =3.52 xn+1出现出现4周周 期循环期循环 3.平方映射的周期解平方映射的周期解倍周期解序列 计算阐明，随 m 的添加，稳定的周期轨道还在添加，于是可得如下倍周期分岔序列。 1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道 通常在确定的值下，迭代会进入一个周期 p的反复循环，即在次数 in 后迭代有： xn， xn+1， ， xn+p-1 xn+p， xn+p+1， ， xn+2p

22、-1反复一样的值，称为周期 p 轨道。如 P =1，称周期1轨道，为不动点；p = 2为周期2轨道，p = 4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不反复情况，即无周期形状。但假设每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，那么这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解平方映射的周期解 参数的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平方映射在=3.3时，对周期1轨道是不稳定的，但对周期2轨道来说可满足稳定性条件。对于周期 2 轨道： 代入映射方程：复杂的表达式作图出来很清楚，这是一条M形曲线。上图为

23、 曲线,以下图为 曲线。周期2的稳定性 3.平方映射的周期解平方映射的周期解xxn+2n , 4333232222221n1n1nn2)()()(),(),(nnnnnnnnxxxxxxxxxxxfxfff x()n)(nxff周期2的稳定性 周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上述对 的计算： 体系 有一个周期2轨道 体系 应有两个不动点。 对=3.3，f(f(m,xn) 有四个不动点： 其中 与 是 的不动点，对应周期1轨道； 剩下两个点即是周期 2 轨道点。),(n1+nxfxxffxnn( ( ,)ffx( ( ,)n01x479. 02x697. 03x01x697. 03x823.

24、 04xf x()n3.平方映射的周期解平方映射的周期解多周期轨道的稳定性 知 的不动点稳定性条件为：即在不动点处斜率小于45。对于周期 2轨道，设 有解 。那么在 的不动点处应有： 结论：周期2的不动点的稳定性决议于与两点处函数点的斜率。 推行到恣意的周期轨道，即从求出周期 n 轨道的不动点。然后由 m 断定其稳定性。),(nxffxn*x),(n1xfxn1),(*x=xn1+nxxfm),(n2xffxn1)(*xnndxxfdf1)(*)(*xnxxfndxdfdxdfdxxfdfm3.平方映射的周期解平方映射的周期解复合函数导数链法那么 次nnn)(xfffx 1)(*)(*xnxxfndxdfdxdfdxxffdfm功率谱 表示一个非线性系统的运动形状，除采用时域方法振动的时间图表示外，更多地运用了相图形状图表示方法。此外频谱表示也是一种重要的分析方法。随着参数值的添加，平方映射出现了轨道周期成倍加长的倍周期分岔。从频谱角度看，每次分岔意味着频谱图中出现一批对应的新