中考数学压轴题十大题型含详细答案

1、数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知 识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究， 求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待 定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形 法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段） 运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式， 求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、

2、直角三角形，四边形是平行 四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探 究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x 的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析 式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有X、y 的方程），变形写成y = f （ x ）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、 三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图 形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变 万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题

3、技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与 数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质， 另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几 种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程 或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题 的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力 的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。 因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考

4、和 探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考 试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给 压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要 停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面 的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问 题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写 多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字 迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算 中尽量回避非必求成分；尽

5、量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三 角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究 解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在 整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设 计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想， 如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件 和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系， 确定解题的思路和方法.当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重 新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又

6、要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是 知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所 以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头， 大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密， 方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。（4 ）在（3 ）中当t为何值时，以0 , P , Q为顶点的三角形与"OAD相似？（直接写出答案）苏州中考题：（2015年苏州）如图，在矩形48。中，ADacm. AB二bcm （4）,半径为2s的。在矩形内且与AB、4。均相切.现有动点P 从V点出发，在矩形边上沿

7、着4-8 的方向匀速移动，当点，到达。点 时停止移动；。在矩形内部沿幺。向右匀速平移，移动到与。相切时立即沿 原路按原速返回，当0。回到出发时的位置（即再次与48相切）时停止移动.已 知点。与O。同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）.（1）如图，点。从4一丘全程共移动了cm （用含义b的代 教式表示）；（2 ）如图，己知点P从4点出发，移动2$到达8点,继续移动35,到达 8U的中点.若点"与O 0的移动速度相等，求在这5$时间内圆心。移动的距(3 )如图,已知a=20 ,氏10 是否存在如下情形：当O。到达。G的位置时(此时圆心Oi在矩形对角线8。上)，DP与。Q

8、恰好相切？请说明理由.二.几何图形的变换(平移、旋转.翻折)例2 .(辽宁省铁岭市)如图所示，已知在直角栩形OABC中,AB OC. 8cL*轴于点C/(l, IN 8(3, 1) .动点尸从。点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过户点作做垂直于直线OA ,垂足为Q .设夕点移动的时间为r秒(0v k4), AOQQ与直角梯形8c重叠部分的面积为S.(1)求经过o. 4 8三点的抛物线解析式;(2)求S与f的函数关系式；(3 )将 OQQ绕着点?顺时针旋转90。，是否存在九使得 OPQ的顶点。或Q在抛物线上？若存在，直接写出f的值；若不存在，请说明理由.变式练习：如图1,在平面直

9、角坐标系xOy中，直线I :y=：x + m与x轴.y轴分别交于点A和点B ( 0 , 1),抛物线y=lx2+bx+c经过点B ,且与直线I另一个交点为C(4,n).(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点。在抛物线上，且点。的横坐标为七(0<1<4)2£|»轴交直线1于 点E ,点F在直线I上，且四边形DFEG为矩形(如图2 ).若矩形DFEG的周 长为P,求P与t的函数关系式以及p的晶大值；(3 )M是平面内一点相二AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。后得到3式)再1, 点A、。、B的对应点分别是点A】、Oi、B若的两个顶点恰好落在 抛物线上，请直接写出点A

10、1的横坐标.苏州中考题：(2014-2015学年第一学期期末高新区)如图1 ,在平面直角坐 标系xOy中，直线/: y=:x + m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0 ,1), 抛物线y= ' x2 + bx + c经过点B ,且与直线/的另一个交点为C(4, n).Q)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<t<4) . DE II y轴交直线/于点变式练习：如图1，直角梯形OABC中，BCllOA ,0A=6 ,BC=2 /BAO=450 .（1）OC的长为（2）D是OA上一点，以BD为直径作。M, OM交AB于点Q.当。M与y轴相切时，

11、sinzBOQ=（3 ）如图2 ,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点。沿线段0A向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线BC 。向点。运动.当点P到达点A时，两点同时停止运动.过点P作直线PEllOC,与折线O B A交于点E .设点P运动的时间为t （秒）.求当以B、D. E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.苏州中考题：（2013年,28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB = 10cm.BC = 12cm .点E , F , G分别从A , B , C三点同时出发，沿矩形的边 按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为lcm/s，点F的运动速度为3cm / s ,点G的

12、运动速度为1.5cm / s .当点F到达点C （即点F与点C重合）时， 三个点随之停止运动.在运动过程中，&EBF关于直线EF的对称图形是二EB F , 设点E, F.G运动的时间为t （单位：s）.四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平i亍四边形)？请说明理由.六,初中数学中的最值问题例6 . ( 2014海南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A (1,0 ), C (0,5)两点，与、轴另一交点为8.已知乂(0,1)/(己，0)了(3+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2 )当a = l时，求四边形MEFP的面积的品大值，并求此时点

13、P的坐标；(3 ) E-PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时,四边形PMEF 周长最小?请说明理由./相切于点A,点。是直径48左侧半圆上的动点，过点，作直线/的垂线，垂足为C %与。交于点。，连接月4、。6,设所的长为x(2<x<4).当x =/时，求弦外、P8的长度；当“为何值时. PD CD的值最大？最大值是多少?七、定值的问题例7 .(湖南省株洲市)如囤，已知X6C为直角三角形，n4U8= 90° , AC= BC,点A、C在x轴上，点8的坐标为(3 , m)(m> 0),线段48与夕轴相交 于点。，以氏1,0)为顶点的抛物线过点员D.(1)求点力

14、的坐标(用m表示)；(2)求抛物线的解析式；(3 )设点Q为抛物线上点夕至点8之间的一动点，连结PQ并延长交8U于点 E,连结时并延长交4U于点F,试证明：阳4c 田为定值.变式练习：(2012江苏苏州，28,9分)如图，正方形48。的边4。与矩形变式练习：如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,O),B(3,0 )两点，与y轴交于点C ,抛物线的顶点为P ,连接AC .(1)求此抛物线的解析式；(2 )在抛物线上找一点D ,使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q , 求直线DC的解析式；(3 )抛物线对称轴上是否存在一点M ,使得S_map=2S_acp ?若存在，求出M

15、 点的坐标；若不存在，请说明理由.十、其它（如新定义型题.面积问题等）:例10.定义：若抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的三角形是直角三角形， 则这种抛物线就称为：”美丽抛物线”.如图，直线 ： y=ix+b经过点m（ o, J）, 一组抛物线的顶点 Bi（l,yi）,B2（2,y2）,B3（3,y3）,.Bn（n,yn） 4（n为正整数），依次是直线I上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：Ax（X，0）, A? （X2As（X3,0）"（, 0）（ n 为正整数）.若x产 d （Ovdvl）,当 1为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.A .9或二 B 史或皂C 3或11D

16、.工12 1212 1212 1212变式练习：L在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x - 3与x轴交于A、B两点，（点A在 点B左侧）.与y轴交于点C ,顶点为D ,直线CD与x轴交于点E .（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；（2 ）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合）, 请你求出F点坐标；（3 ）在点B.点F之间的抛物线上有一点P ,使SBF的面积最大，求此时P 点坐标及WBF的最大面积;（4 ）若平行于x轴的直线与抛物线交于G. H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.（第2题）2.练习：（2015河池）我们将在直角坐标系中圆

17、心坐标和半径均为整数的圆称 为“整圆”.如图，直线/ ：尸如+ 43与*轴、卜轴分别交于4 8/。4历30。， 点，在牙轴上，。，与/相切，当夕在线段04上运动时，使得。户成为整圆的 点P个数是（）A . 6 B . 8 C . 10 D . 12.苏州中考题：（2015年26题）如图，已知2。是48U的角平分线,0。经 过4 B、。三点，过点8作8£必。，交。于点£,连接£D.（1）求证：EDAC 2 ）若BD=2CD,设"8。的面积为，的面积 为S,且S：-16S+4 = 0 ，求48r的面积./ A 模拟试题：如图所示，在平面直角坐标系中，O M过

18、点。且与y轴、x轴分别 交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C与点M关于x轴 对称，已知点M的坐标为(2, -2).(1)求抛物线的解析式；(2 )判断直线0C与0 M的位置关系，并证明；(3 )若点P是抛物线上的动点，点Q是直线0C上的动点,判断是否存在以点 P、Q、A、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：例1 .【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据x等于零时,可得C点坐标, 根据y等于零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率， 根据平行线的斜率相等，可得平?亍BC的直线的斜率，根据

19、直线与抛物线有一个 交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判 别式等于零；(2)根据待定系数法，可得直线AD的解析式,根据E点在线段 AB上，可设出E点坐标，根据EF II y轴，F在抛物线上，可得F点的坐标，根 据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案.【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-l）2+3V3（ a/0 ）可得a的值， 即可得到抛物线的解析式；（2 ）易得D的坐标，过D作DN，OB于N ;进而 可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形,直角梯形等腰梯形的性质，用t 将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3 ）根据（2 ）的结

20、论，易得OCB 是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来， 进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长（4圻别利用当AOD saOQP与当'AOD-aOPQ ,得出对应边比值相等，进而求出即可.【解答】解：（1） .抛物线y=a（x-l） 2+3V3（ a*0 ）经过点A（ -2,0）,.0=9a+3,.a=-a,/.y= - （x - 1） 2+3 /3； 33（2 ） 后.D为抛物线的顶点D（ 1 3 C）过D作DN，OB于N贝ij DN=36,AN=3 ,二.AD:42+（册）2=6，/DAO=60° . tOM ll AD ,当A

21、D=OP时，四边形DAOP是平行四边形，. OP=6 r . t=6 .当DP±OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH ±AD于H ,AO=2 , 则 AH = 1 （如果没求出/DAO=60。可由 Rt 'OHAsRtADNA （求 AH = 1） /.OP=DH=5 , t=5 ,当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：，AOH堡aCDP ,. .AH;CP , .-.OP=AD - 2AH=6 - 2=4, .t=4 .综上所述：当匕6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰 梯形；(1=a+b ,解得一所求抛物线解析式为y=-9+

22、与ll=9a+3b33方法二:/A (1.1),B(3,1),.抛物线的对称轴是直线x=2 .设抛物线解析式为y=a ( x2 ) ?+h ( awO )把O ( 0,0 ), A (1, 1)代入2a=-得 ,解得所求抛物线解析式为y= - Mx-zy+g.l=a (1-2) 2+h忌33(2)分三种情况：当0 v t<2 ,重叠部分的面积是S opq，过点A作AFx轴于点F , /A (1 ,1),.在 RbOAF 中，AF=OF=1 , zAOF=45°,在 RtOPQ 中，OP二t, zOPQ= zQOP=45° f. .PQ=OQ=tcos 45。=乌.S=

23、 222当2 V y 3渡PQ交AB于点G作GH ±x轴于点H /OPQ=nQOP=45° ,则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形oagp . . AG=FH = t- 2 , .".S=l( AG+OP) AF=l(t+t- 2) xl=t- 1 .22当3 v t v 4 ,设PQ与AB交于点M ,交BC于点N ,重叠部分的面积是S五 边形OAMNC APNC和ABMN都是等腰直角三角形，重叠部分的面积是S五螃0AMNC=S雌OABC ' S工 BMN B (3,1), OP=tf . .PC=CN=t-3 ,.S=(2+3 ) xl -

24、 1 ( 4 -1) 2 f S= 22-At2+4t - 11.22存在.当。点在抛物线上时，将O （t, t）代入抛物线解析式，解得t=o （舍去）,t=1;当Q点在抛物线上B寸，Q（垓t,学）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2 .故【点评】本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，难度较大.变式练习：解：(1) ,直线I ： y=x+m经过点B ( 0 , - 1),.m= - 1，直 4线I的解析式为y=9c 1, .直线I ： y令-1经过点C(4f n)r/.n=Jx4 444-1=2 , .抛物线 y= lx2+bx+c 经过点 C ( 4

25、,2 )和点 B ( 0 , - 1),b=-.1）4，抛物线的解析式为y=y 务1 ；c=-1/ q(2 )令 y=0 ,则 / 1=0 ,解得 x = g , .点 A 的坐标为(g , 0 ), . .OA; j ,在 Rt-i-OAB 中，OB=1,J。a2+ob2=(1) +1，':DE"y 轴，.二V 33zABO=zDEF ,在矩形 DFEG 中，EF=DEcosnDEF;DE竺二总DE , DF=DEAB 55in/DEF=DE2=WDE, AB 5.p=2 ( DF+EF) =2 ( 9+工)DE=-DE , 5 55点D的横坐标为t(0vtv4), 好冬1

26、), E(t, *1), 244/.DE=(乎 1) ( it2 - 1) = - t2+2t/ -P=-yx (-梦力)=-工&组， 55p= J(t2)2+W，且JvO, .当t=2时，p有最大值号；5555(3) “ AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。，二A01 (轴时,BQ】H x轴,设点A1的横坐标为x,如图1，点。1、B在抛物线上时，点Ch的横坐标为x，点B的横坐标为x+1,/.x2-l=l(x+l)2- (x+1) .1,解得乂=2，24244如图2，点A、Bi在抛物线上时，点Bi的横坐标为x+1 ,点Ai的纵坐标比点Bi的纵坐标大.¥ - 5x-l=l(x+l

27、)2-(x+l) 1+一解得 x= $ , 2424312综上所述，点Ai的横坐标为(或 ± .(3)图 1苏州中考题：(略)例3.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a (x - 4) 2+k ,根据二次函数过点(0 ,上当)，可得出#=16a+k ;由于A、 B关于x=4对称，且AB=6,不难得出A、B的坐标为(1,0 ),(7,0),可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值.(2 )本题的关糖是确定P的位镂=铛=4 . .DE=2 . /.EP=2 . .点 E 的坐标为(1,2). OC BC 2

28、当nBED=90°时，玄图 3 . .nDBE=OBC , nDEB=nBCO=90° , ."DBE-aOBC .BE= DB A BE= t aBE= ：/5t. . pEiiOC , .zOEP=zBOC .BC OB 2 2755. nOPE=nBCO=9(F , .OPEsaBCO .，堡二史./.OE= Vst. OB BC 275 2vOE+BE=OB=2 V5，妈 + 落=2遥.解得：t=至 ,.OP= g OE二型. 5333.PE= 7oE2-OP2=J .，点E的坐标为(耳，? OJ J当nDBE=90°时，如图 4 .此时 PE=

29、PA=6 -1, OD=OC+BC - t=6 -1.则有 OD=PE , EA=7pP+pP=V2 ( 6 -1) =672 -亚.*.BE=BA - EA=4V2 - ( 6V2 -扬)='/2t - 2 /2 . PE11OD , OD=PE , nDOP=90° ,四边形 ODEP 是矩形.-.DE=OP=t, DE 11OP .zBED=zBAO=45° .在 RtDBE 中，coszBED=里爽.DE= &BE . DE 2t=五（扬-2&） =2t - 4 .解得：t=4 . .QP=4 , PE=6 4=2 点 E的坐标为（4,2 ）

30、.综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1,21【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角 函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考 查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性.苏州中考题：(1)2.5 ; (2)t=F或-14+2屈；(3)不存在。面积与相似：解：6( 6 0 ), 6(0,1);。乂区设存在这样的点P,使得四边形PCQ8的面积等于2b,且户8U是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形。设点"坐标(*,卜)，连接OP,则S四瞬pcob = £pco+S,pob =3Q+Q.y =

31、 2b16.过 P作 QZ?_lx轴,在£1_卜轴,垂足分别为 D、E,:.kPEO=kEOD=cODP=90。.：. 四边形是矩形.n£QP=90°. .fQ8C是等腰直角三角形，:.PC=PB, n8QG90°.n£"Gn BPD.=(x = .”月修，/6. ./£=PD,即“二由1 +16，解得：1y_j .由*/Y犯得EC = DB ,即与- J =。一学，解得。=冬 2符合跑意二点坐标4/1616、为(#(3涸设存在这样的点Q,使得二QU。、qQOA和 Q48中的任意两个三角形均系，得出关于X , y的函数关系式

32、,根据关系式即可得出y的晶大值以及对应的 x的值.(3)可分两种情况进行讨论：当PQ是另一条直角边，即nDPQ=90°时，由于/DPC=90°,且C在抛物线 上，因此C与Q重合，Q点的坐标即为C点的坐标.当DQ是另一条直角边，即nPDQ=90。时，那么此时DQllPC.如果将PC 所在的直线向上平移两个单位，即可得出此时DQ所在直线的解析式.然后联立 直线DQ的解析式以及抛物线的解析式组成方程组，如果方程组无解，则说明不 存在这样的Q点，如果方程组有解，那么方程组的解即为Q的坐标.综合上述 两种情况即可得出符合条件的Q的坐标.解：(1)由题意知，POC ,，、PAD为等腰直

33、角三角形，得P(3,0),C(0, 3), D(4,1),c=3 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c ( afO ),则9a+3b+c=0 16a+4b+c=l.过P、c、D三点的抛物线的函数关系式为3+3.(2 )由已知PC平分/OPE , PD平分/APF ,且PE、PF重合，则/CPD=90" .nOPC+nAPD=90° ,又nAPD+nADP=90。，"OPC=nADP . . Rt-POC -Rt DAP .方法二：设过点A. B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+l）（x4）将C点的坐标代入得：a= -1所以这个二次函数的表达式为：y=-1xM

34、x+2 （表达式用三种形式中的任一种都不扣分）（2）当3BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：（3, ） , 4.!）， 25 5（4-隼，竿）.（注：符合条件的E点共有三个,其坐标,写对一个给1分）8DS 1 ,连接 OP , S*CDP=5 四邂 CODP SfCOD二S.COP+SODP * S±COD= X2n-X2n-ix2X2=m+n - 2=多2哮产 得（m-9）.当m=细，4DP的面积显大.此时P点的坐标为（今），Scdp的最大 22 o值是手另解：如图2、图3,过点P作PFjlx轴于点F,则S-CDP=S 梯形 COFP _ SiCOD -S.%dfp= -1x

35、（2+n） m-1x2X2-1x |m-2|n=m+n - 2=4mHm= '2 T）2 噜 “（9分）.当m=期,-CDP的面积最大.此时P点的坐标为（2，号），S cdp的最大值是浮 8（注：只回答有品大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分.）长 FP 交 BC于点G ,则 PG_LBC , P 点坐标为(a , b ), PE=b , PF=a , PG=4 -a,利用矩形面积关系与二次函数的知识即可求得答案.【解答】解：(1)若nPAD=60。，«zPAB=30° , /AB 是直径，.nA

36、PB=90° ,则在RtPAB中，PA=cos30°AB=2V3 , .当PA的长度等于2近时，乙PAD=60°若PAD是等腰三角形，当PA=PD时，此时P位于四边形ABCD的中心，过点P作PE±AD于E ,作PM _LAB于M ,则四边形EAMP是正方形,. .PM=PE= 1AB=2 ；. PM2=AM.BM=4 ；. AM+BM=4 /AM=2.PA=2衣 , 2当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P .连PD ,令AB中点为O ,再连DO , PO , DO交AP于点G ,则 ADO*PDO ,. .DO±AP

37、r AG=PG , . AP=2AG , R DA=2AO , zADG=zGAO ,.3=更=a,. AG=2OG，设 AG 为 2x ,OG 为 x , 2x )2+x2=4AD AG 25.".AG=2x=华，.AP=竿.当PA的长度等于2VM岑1时，WAD是等腰三角形；(2 )过点P分别作PE±AB , PF_LAD ,垂足分别为E , F延长FP交BC于点G ,则 PGjlBC, P 点坐标为(a 点)， .PE=b , PF=a , PG=4 a ,在中AD, WAB 及WBC中，Sx=2a , S2=2b , S3=8 - 2a , AB 为直径 z /.zA

38、PB=90°, /.PE2=AE-BE，即b2=a ( 4 - a )f.2SxS3 - S22=4a ( 8 2a ) - 4b2= - 4a2+16a= -4(a-2) 2+16 ,.当 a=2 时,b=2 , 2sls3 - S?有最大值 16 .(2 )若点P是边EF或边FG上的任意一点,结论同样成立，如图，设P是边EF上的任意一点，连接PM ,.点E(4,41 F(4,3)与点B(4,0)在一直线上，点(:在y轴上，<4,PC>4f. .PC > PB ,又.PD > PM > PB , PA> PM > PB , /.PBPA ,

39、 PB#PC , PBPD ,.此时线段PA PB、PC、PD不能构成平行四边形，i5 P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，点F的坐标是(4,3 ),点G的坐标是(5,3 ),.FB=3 lGB=410,.3< PB<V10,vPC>4 , /.PC > PB ,又. PD > PM > PB , PA> PM > PB , /.PB/ PA , PB”C ,PB#PD ,. .此时线段PA、PB、PC. PD也不能构成平行四边形；(3 )存在一个正数a ,使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， 如图，丁点A、B是抛物线与x轴交

40、点,点P在抛物线对称轴上一:PA=PB , .当PC = PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，,点C的坐标是(0,8a ),点D的坐标是(3 , a ),点P的坐标是(3, t), .-.PC2=32+ (t - 8a ) 2 , PD2= (t+a ) 2 ,由 PC=PD 得 PC2=PD2, . 32+ (t -8a ) 2= (t+a ) 整理得：7a2 - 2ta+l=0有两个不相等的实数根，.二142t±V4t2 -28. t±Vt2 -7 «-,【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识.此 题综合性很强

41、，解题时要注意教形结合与方程思想的应用.苏州中考题“考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1 )本题需先求出抛物线与X轴交点坐标和对称轴，再根据nOAC=60。得出OC ,从而求出a.(2)本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意 一点时，可得PC > PB ,从而得出PB#PA , PB”C , PB#PD，即可求出线段 PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.(3 )本题需先得出PA=PB ,再由PC=PD ,列出关于t与a的方程，从而得出 a的值，即可求出答案.【解答】解：(1)令 y=0 ,由 a ( X? - 6x+8 ) =0 ,解得 x1=2 , x2=4

42、;令 x=0 ,解得y=8a,点A、B、C的坐标分别是(2,(H(4,0)(0,8a),该抛物线对称轴为 直线x=3,- OA=2 ,如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为M ,则AM = 1,由题意得：O A=OA=2 ,/.O,A=2AM r-.zO AM = 60e /.zOAC=zO AC=60° /.OC=2n3 即 8a=2遥,a二曲>或,t>3 一.显然叫哗三或3=,满足题意，二当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a= _叫H或a J 飞2 - 7 ,使得线段pA、pB pc PD能构成一个平行四边形.【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运

43、用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键.例6.【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题.【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2 ）首先求出四边形MEFP 面积的表达式然后利用二次函数的性质求出品值及点P坐标f 3网边形PMEF 的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将 取得最小值.如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得 M】（1, 1）;作点M】关于x轴的对称点,则M2 （ 1 , - 1 ）；连接PM?, 与X轴交于F点，此时ME+PF=PM?最小.【解答】解：（1） .对称轴

44、为直线x=2，.设抛物线解析式为y=a（x-2）2+k. 将人（1,0）,（：（0,5）代入得：俨+仁0,解得-1,.夫.（乂.2） 4a+k=5k=9 2+9= - x2+4x+5 .作点Mi关于x轴的对称点Mz ,则M2 （1, - 1 ）；连接PM2,与x轴交于F 点，止匕时ME+PF=PM?最小.设直线PM?的解析式为户mx+n，将P（2+&, 3）, M2（lf1）代入得:'（2+旄）时n=3 ,解得：皿=生应T , n = - 处 , .-.y=.处.- 15555当y=0时，解得x=2. .F（0）.-.a+l=, /.a=!l.4444. a二回时，四边形PME

45、F周长最小. 4【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2 ）问考 查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3 ）问主要考查了轴对称最短路 线的性质.试题计算量偏大，注意认真计算.变式练习1）将A（ 0 ,1NB（ 1 ,0 ）坐标代入y = ；/ +及+。C = 16得I , 解得 2 抛物线的解折式为 匕 + "。= °c = l1 2 3,-X X +1 © 22(2 )设点E的横坐标为m ,则它的纵坐标为- %» + 1即E点的坐标（机,"? + 1 ）又.点E在直线 =9 + 1上.1_1W + 1 = LW +

46、 1解得叫=0 （舍去），叫=4 ,，E的坐标为（4,3）（I ）当人为直角顶点时，过A作APJDE交x轴于Pi点，设PNa,。），易知D点坐标为（-2,0）,由Rt八AOD-RSPOA得：型=与即f，二a OA OP 1 a（口）同理，当E为直角顶点时,P2点坐标为（2，0 ）（m ）当P为直角顶点时，过E作EF±x轴于F ,设P3 （以3 ）由nOPA+nFPE = 90° ,得nOPA二nFEPRtAOP-Rt PFEo 由票=与得土 = g解得 4=3 , b2 = 1 此时的点P3的坐标为（1,0）或（3,0）综上所述，满足条件的点P的坐标为（：，。）或（1.0）

47、或（3,0）或（?， 220）（3 ）抛物线的对称轴为丫 =三（9分）B、C关于x =对称. .MC = MB22要使| WM-河。最大，即是使WH-A"最大。由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大.M(易知直线AB的解折式为y = T + 1 .由苏州中考题：解：0。与直线/相切于点48为。的直径 ABU 文：PC1J. ;.ABPC. .2V=/%民 3为。0的直径，.24尸8=90°.,.PCA=kAPB.：qPCA&APB.：& = 2，WPA2 = PC AB；：PC , t Ar AH2:.PA =*4 =痴.在 RK/

48、4P8中,由勾股定理得：PB = V16- 10 =瓜(2应。作OE1.PD,垂足为£ .即是。的弦，OFLPD, .PfFD.在矩 形 0EG4中,C£= OA=2 rPE=ED=x- 2. :.CD = PC - PD = x - 2(x - 2)= 4 一 x./. P。 CO = 2(x - 2)(4 7)=- 2x2 + 12x - 16 =- 2(x-3)2 +2 . ： 2<x < 4 , . .当无=3时，PDCD有最大值，最大值是2.例7 .【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；动点型.【分析】(1 )AO=AC - OC=m - 3，用线段的

49、长度表示点A的坐标;(2 )“ABC 是等腰直角三角形，./AOD也是等腰直角三角形，.QD=OA ,. .D( 0 ,m 3 ), 又P( 1,0 )为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；(3 )设Q( x , x?2x+l), 过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC二m，代 入即可.【解答】(1)解：由B(3,m)可知OC=3 , BC=m ,又“ABC为等腰直角三 角形，.,.AC=BC=m , OA=m - 3，点 A 的坐标是(3 m , 0 ).(2 )解：. nODA=nOAD=45。，/.OD=OA=m 3 ,则点 D 的坐标是(0 , m 3).又抛

50、物线顶点为P (1,0 ),且过点B、D ,所以可设抛物线的解析式为：y=a(x 1)2,抛物线的解析式为y=x2-2x+l;a (0-1 ) z=m-3声4(3)证明：过点Q作QM_lAC于点M ,过点Q作QNj.BC于点N ,设点 Q 的坐标是(x,x2-2x+1),则 QM=CN= (x-1)2/MC=QN=3-x.PEC , a.9! J! SP-EC PC.(X - 1) “ X- 1，得 EC=2(xl)，Y型即必京FC/ rc Bv rv qx+i又,AC=4 ,.FC( AC+EC ) = _L4+2( x - 1 ) = -£( 2x+2 ) = _Lx2x( x+1):tanCGO= , tanFGH , .-.=1? # :.OG=3m . OGHG OG HG:GF= Vgh2+HF2= 716m2+16 = 4Vm2+l，AD= VaI2+MD2= V9id2+9 = 3Vid2+1，如; W . .如二总.:.AD: GA: 4£=3 : 4 : 5 ,AD 3 AE 5. .以线段GF, AD.川£的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐 标为-3/n.本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总 体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题 目.例