随机数的产生及模拟

1、1第三章第三章 随机数的产生与模拟目录随机数的产生与模拟目录 n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟n3.13.1均匀随机数的产生均匀随机数的产生n 3.1.13.1.1线性同余法（线性同余法（LCGLCG）的递推公式）的递推公式n 3.1.23.1.2反馈位移寄存器法（反馈位移寄存器法（FSRFSR）n 3.1.33.1.3组合发生器组合发生器n3.23.2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生n3.3 Monte Carlo3.3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用n 3.3.13.3.1计算定积分计算定积分 n 3.3.1.13.3.1.1随机投点法

2、随机投点法n 3.3.1.23.3.1.2平均值估计法平均值估计法n 3.3.1.33.3.1.3重要抽样法重要抽样法n 3.3.1.43.3.1.4分层抽样法分层抽样法n 3.3.2 3.3.2 计算多重积分计算多重积分n 3.3.2.1 3.3.2.1 随机投点法随机投点法n 3.3.2.2 3.3.2.2 平均值估计法平均值估计法n 3.3.33.3.3应用实例应用实例n3.4 3.4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用n3.5 3.5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用作业思考题2随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n用随机

3、模拟方法解决实际问题时，首先要解决的是随机数的产生方法，或称随机变量的抽样方法。 3随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n伪随机数： 在计算机上用数学方法产生均匀随机数是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为伪随机数。 4随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n均匀分布随机数均匀分布随机数：定理： 设)(xF是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为)(1xF， 1、 若随机变量的分布函数为)(xF， 则) 1 , 0()(UF; 2、 若随机变量

4、) 1 , 0(UR,则)(1RF的分布函数为)(xF 5随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟 n均匀分布随机数均匀分布随机数：该定理说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 的随机数变换得到。常简称 的随机数为均匀分布随机数。) 1 , 0(U) 1 , 0(U6随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（主要有线性同余法（LCG），组合同余），组合同余法，反馈位移寄存器方法等法，反馈位移寄存器方法等 7n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：01)(mod(值xMxrMcaxxnnnn初,.2 , 1n随机

5、数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生线性同余法（LCG）的递推公式为：8n均匀随机数的产生：均匀随机数的产生：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生0c0c当 ，上式称为混合同余发生器，当时，称为乘同余发生器，此时当模为素数时，称它为素数模乘同余发生器。 9n两个常用的混合式发生器：两个常用的混合式发生器：350353511522)2)(mod15(xxrxxnnnn3103131122)2)(mod453806245314159269(xxrxxnnnn,.2 , 1n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随

6、机数的产生均匀随机数的产生10n常用的素数模乘同余发生器常用的素数模乘同余发生器 ：312)312()312(mod312535035351xxrxxnnnn,.2 , 1n随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生11n常用的素数模乘同余发生器常用的素数模乘同余发生器 ：,.2 , 1n12)12()12(mod31031311xxrxaxnnnin)4 , 3 , 2 , 1( i168071a3972040942a7642611233a6303600164a随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生12n反馈位移寄存器法

7、（反馈位移寄存器法（FSRFSR） ：对寄存器中的二进制数码 作递推运算，其中 是给定的正整数， 为给定的常数。取数列 中连续的 位构成一个 位二进制整数，一直下去，一般地有 令 则 即为FSR方法产生的均匀随机数列。)2)(mod(1111kpkppkpkccckp) 1,.,2 , 1( 10, 1piorccipnL22)1(1)1(),(nLLnLnnx,.2 , 1nLnnxr2,.2 , 1n nrL随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生13n组合发生器组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新

8、排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更优的随机数，即组合发生器。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生14n组合发生器组合发生器 ： 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出的著名的组合发生器是组合同余发生器,该算法的具体步骤如下： 15n组合发生器组合发生器 ： 1用第一个LCG产生 个随机数，一般取 。这 个随机数被顺序地存放在矢量 中。置

9、 ;128kk),(21ktttT1nk2 用第二个LCG产生一个随机整数 ,要求 ;jkj 13 令 ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 ,令 ；置 ;jntx yytj1 nn4 重复23，得随机数列 ，即为组合同余发生器产生的数列。若第一个LCG的模为 ，令 ，则 为均匀随机数 nxMMxrnn nr随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟1 1 均匀随机数的产生均匀随机数的产生16n由均匀分布随机数产生非均匀分布随机由均匀分布随机数产生非均匀分布随机数的主要方法有：逆变换法，合成法和数的主要方法有：逆变换法，合成法和筛选法。筛选法。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数

10、的产生非均匀随机数的产生 17n1 1 逆变换法逆变换法： 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 对任意分布函数对任意分布函数 ,要产生服从该分布要产生服从该分布的随机数，由定理知其抽样步骤为：的随机数，由定理知其抽样步骤为：（1）由）由 抽取抽取 ; ;（2） 计算计算)(xF) 1 , 0(UR)(1RF18n1 1 逆变换法逆变换法： 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 )1(1)(2xxpn例例1 1 已知已知 ( (柯西分布柯西分布) )， 试给出其抽样方法。试给出其抽样方法。19n1 1 逆变换法

11、逆变换法：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 解：设解：设 , ,则则 , ,因此因此其抽样步骤如下：其抽样步骤如下：（1 1）由）由 抽取抽取 ; ;（2 2）计算）计算) 1 , 0( UR)()(tan21xpR ) 1 , 0 (UR)(tan21R20n1 1 逆变换法逆变换法：其其SASSAS程序为（产生程序为（产生100100个服从柯西分布的随机数）：个服从柯西分布的随机数）：data ex1;data ex1; seed=678; seed=678; do I=1 to 100; do I=1 to 100;r=ranuni(seed

12、);r=ranuni(seed);x=tan(3.14159x=tan(3.14159* *(r-0.5);(r-0.5);output;output; end; end;run;run;随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 21n2 2 合成法合成法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 其想法是：如果X的密度 难于抽样，而X关于Y的条件密度 以及Y的密度函数 均易于抽样，则X的随机数可如下产生： 由Y的密度 抽取y 由条件密度 抽取x 则X服从)(yg)|(yxp)(xp)(yg)|(yxp)(xp22n

13、2 2 合成法合成法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 当 为离散形式时，即 ,其中 是密度函数，其抽样过程如下：1 产生一个正的随机整数 ，使得 ，2 产生分布为 的随机数。)(ygniiixpxp1)()(1, 01niii)(xpiJjpjJP nj,.,2 , 1)(xpj23n2 2 合成法合成法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 设 时梯形分布的密度函数为， 试用合成法产生其随机数。 10 a其他 , 0 1 , 0,)1 (2)(xxaaxp例例2 224n2 2 合成法合成法 ：随机

14、数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 解：首先将 进行分解,即 ，其中 其抽样框图为)(xp)()1 ()()(21xpaxapxp其他 0 1 , 0, 1)(1xxp其他 , 0 1 , 0,2)(2xxxp25n2 2 合成法合成法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 产生产生令产生令输出YN) 1 , 0( URaR ) 1 , 0( UUU) 1 , 0(,UVU),max(VU26n2 2 合成法合成法 ：其其SASSAS抽样程序如下（假若产生抽样程序如下（假若产生100100个随机数个随机数, ,

15、）：）：data ex2;data ex2; seed=789;a=0.3; seed=789;a=0.3; do I=1 to 100; do I=1 to 100;r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed);r=ranuni(seed); r3=ranuni(seed);if r1=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end;if r1=a then do; u=ranuni(seed); x=u; end;else do; u=ranuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end;else do; u=r

16、anuni(seed); v=ranuni(seed); x=max(u,v);end;output;output;end;end;run;run;随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 27n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 假设我们要从 抽样，如果可将 表示成 ，其中 是一个密度函数且易于抽样，而 ， 是常数， )(xp)()()(xgxhcxp)(h1)(0 xg1c)(xp28n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生

17、非均匀随机数的产生 X的抽样可如下进行：1由 抽取 ，由 抽取2如果 ，则 ;否则，转1则X的密度函数为) 1 , 0(UR)(yhy)(ygRyx)(xp29n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 设 ， 试用筛选法抽取其随机数。 34)(xxp10 x例330n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 解：因为： ，即：则抽样框图如下：314)(xxp3)(, 1)(, 4xxgxhc31n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：随机数的产生与模拟随机数的

18、产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 独立产生令NY) 1 , 0(,21Urr321rr 2rx 32n3 3 筛选抽样法筛选抽样法 ：其其SASSAS程序如下：程序如下：data ex3;data ex3; seed=789; seed=789; do I=1 to 100; do I=1 to 100; r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); r1=ranuni(seed);r2=ranuni(seed); if r1=r2 if r1=r2* * *3 then do; x=r2; output; end;3 then do; x=r2; ou

19、tput; end; end; end;run;run;随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟2 2非均匀随机数的产生非均匀随机数的产生 33 蒙特卡罗（蒙特卡罗（Monte CarloMonte Carlo）方法（即随机模拟方法）方法（即随机模拟方法）求解实际问题的基本步骤包括：求解实际问题的基本步骤包括：1 1 建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概建模：对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有率统计模型，使所求的解恰好是所建模型的参数或有关的特征量。关的特征量。2 2 改进模型：根据概率统计模型的特点和计算实践的需改进模型：根据概率统计

20、模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高要，尽量改进模型，以便减少误差和降低成本，提高计算效率。计算效率。3 3 模拟试验模拟试验4 4 求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近求解：对模拟结果进行统计处理，给出所求问题的近似解。似解。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 34随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 10)(dxxfI计算定积分计算定积分

21、（1 1）随机投点法）随机投点法 赋初值:试验次数n=0,成功次数m=0;规定投点试验的总次数N; 产生两个相互独立的均匀随机数 置n=n+1; 判断nN是否成立,若成立转,否则停止试验,转; 判断条件 是否成立,若成立置m=m+1,然后转,否则转; 计算m/N,则) 1 , 0(,U)(fNm/135随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 10)(dxxfI计算定积分计算定积分（1 1）随机投点法）随机投点法 36随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte

22、Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 10)(dxxfI计算定积分计算定积分(2) (2) 平均值估计法平均值估计法 平均值估计法的计算步骤： 产生0,1区间的均匀随机数 计算 令 = ,则 为积分值 的近似解.Nrrr,21)(irf),.2 , 1(Ni 2NiirfN1)(12I37随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 10)(dxxfI计算定积分计算定积分(3)(3)重要抽样法重要抽样法 重要抽样法的计算步骤为： 产生均匀随机数 用直接抽样法产生 随机数,即

23、由 计算则 计算 = ,则 是 的估计量.ir),.2 , 1(Ni )(xgix)(xgxiNiiiNiixgxfNzN11)()(113Iir338随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 10)(dxxfI计算定积分计算定积分(4)(4)分层抽样法分层抽样法 分层抽样法的计算步骤如下： 39随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 (1)(1)随机投点法随机投点法 多重积分随机投点法计算步骤

24、为:计算多重定积分计算多重定积分 1010102121),(kkkdxdxdxxxxfI40随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 (1)(1)随机投点法随机投点法 计算多重定积分计算多重定积分 1010102121),(kkkdxdxdxxxxfI 赋初值:试验次数 n=0,成功次数 m=0;规定随机投点试验的总次数为 N; 向1k维立方体10ix,ki,.,2 , 1, 10 y内随机投点,即产生k+1个互独立的均匀随机数(1,2, k,)=,置 n=n+1; 判断 nN 是否成立,若成立

25、则转;否则停止模拟试验,然后转; 检验 k+1 维空间的点是否落入 V 中,即检验条件),.,(21kf是否成立，若成立即试验成功，置 m=m+1;然后转；否则转； 计算Nm/5;其中 m 是 N 次试验中成功的总次数，则5kI 41随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 (2)(2)平均值估计法平均值估计法 计算多重定积分计算多重定积分 1010102121),(kkkdxdxdxxxxfI多重积分的平均值法计算步骤为 42随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 M

26、onte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 (2)(2)平均值估计法平均值估计法 计算多重定积分计算多重定积分 1010102121),(kkkdxdxdxxxxfI 首先赋初值：落入 D 的次数 m=0,试验次数 n=0,并规定试验总次数 N 产生 k 个相互独立服从a,b区间上的均匀随机数,(21） ，置 n=n+1; 判断 nN 是否成立，若成立转，否则停止抽样，转; 检验 k 维空间的点是否落入积分区域 D，若D，置 m=m+1,并令m,计算)(mf，转;否则舍去，转，重新产生 k 维均匀随机数； 计算: miikkmiikDfabNIfmDfEabNmV

27、11)()(1, )(1)(,)(则 43随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 计算多重定积分计算多重定积分 1010102121),(kkkdxdxdxxxxfI用蒙特卡罗方法计算积分值时，误差的阶数为用蒙特卡罗方法计算积分值时，误差的阶数为 , ,它与多重积分的重数它与多重积分的重数k k无关，而用其他数值方法计算多重无关，而用其他数值方法计算多重积分时，其误差与重数积分时，其误差与重数k k是有关的，可见当是有关的，可见当k3k3时，使时，使用蒙特卡罗方法计算多重积分将显现出很大的优越

28、性用蒙特卡罗方法计算多重积分将显现出很大的优越性 )1(NO44应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例4：用上述四种方法计算 10dxeIx(1)随机投点法 data E1;Do k= 1 to 1000;m=0; Do h= 1 to 1000; a=ranuni(32789);b=ranuni(32789); if b=(exp(a)-1)/(exp(1)-1) then m=m+1; end; I1=m/1000*(exp(1)-1)+1; output; E1=ab

29、s(I1-(exp(1)-1);end;run;proc means data=e1 Mean Var;var I1;run;45应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例4：用上述四种方法计算 10dxeIx (2)平均值估计法 data E2;Do k= 1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; x=ranuni(32789);fx=exp(x);s=s+fx; end; I2=s/1000;output;E2=abs(I2-(exp(1)-1);end

30、;run;proc means data=e2 Mean Var;var I2;run; 46应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例4：用上述四种方法计算 10dxeIx (3)重要抽样法 data E3;do k=1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; r=ranuni(32789);x=(3*r+1)*(1/2)-1; s=s+exp(x)/(1+x); end; I3=3/(2*1000)*s;output; E3=abs(I3-(exp(1)-

31、1);End;run;proc means data=e3 Mean Var;var I3;run;47应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例4：用上述四种方法计算 10dxeIx (4)分层抽样法 data E4;Do k= 1 to 1000;s1=0;s2=0; Do i= 1 to 400; ri=ranuni(32789);r1=0.5*ri;f1=exp(r1);s1=s1+f1; end; Do j= 1 to 600; rj=ranuni(32789);r2

32、=0.5+0.5*rj;f2=exp(r2);s2=s2+f2; end; I4=s1*(1/800)+s2*(1/1200);output;E4=abs(I4-(exp(1)-1);end;run;proc means data=e4 Mean Var;var I4;run; 48应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例4：用上述四种方法计算 10dxeIx结果 模拟方法均值方差随机投点法（I1）1.7176834 0.000728670平均值估计法(I2)1.718013

33、6 0.00027492重要抽样法(I3)1.7181863 0.000024254分层抽样法(I4)1.7181282 0.000062622 =e-1=1.71828,这些方法的I值与真实值很接近，而方差也都比较小，同时看出，这次模拟其方差有以下关系：Var(I4)Var(I3)Var(I2)Var(I1)。10dxeIx49应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 (1)随机投点法 例5：计算二重积分 21101021dxdxeIxx Data e5;Do k=1 to 1

34、000;m=0;h=0; Do h= 1 to 1000; a1=ranuni(32789);a2=ranuni(32789);b=ranuni(32789); if b=(exp(a1+a2)-1)/(exp(2)-1) then m=m+1; end; I5=(exp(2)-1)*(m/1000)+1;output;E5=abs(I5-(exp(1)-1)*2);end;run;proc means data=e5 Mean Var;var I5;run; 50应用实例应用实例随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用

35、方法在解确定性问题中的应用 (2)平均值估计法 例5：计算二重积分 21101021dxdxeIxx data E6;Do k= 1 to 1000;m=0;s=0; Do h=1 to 1000; a1=ranuni(32789);a2=ranuni(32789); if 0=a1=1 and 0=a2=1 then do;fx=exp(a1)*exp(a2); s=s+fx; end; end; I6=s/1000;output;E6=abs(I6-(exp(1)-1)*2);end;run;proc means data=e6 Mean Var;var I6;run;51应用实例应用实例

36、随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟3 Monte Carlo3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用方法在解确定性问题中的应用 例5：计算二重积分 21101021dxdxeIxx 模拟方法均值方差随机投点法(I5) 2.9481510 0.0865186平均值估计法(I6)2.9522255 0.0015766对于多元积分也有Var(I6)Var(I5)52 随机服务系统研究的对象是服务系统，如到理发店理发，理发师与顾客构成了一个服务系统；到商店买东西，售货员与顾客就构成了一个服务系统。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法

37、在随机服务系统中的应用 53 随机服务系统一般具有三要素，顾客、排队规则和窗口 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 54 1 顾客 顾客到达排队系统的过程也称为输入过程。顾客的来源和到达排队系统的情况是多种多样的。顾客来源可能是有限的，也可能是无限的。顾客到达方式可能是连续的，也可能离散；可能是一个一个的，也可能是成批的或大量的；顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的；顾客的到达可以相互独立，也可以是相互关联的。如果描述顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关，则称为平稳（

38、Stationary）输入过程，否则称之为非平稳输入过程。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 552 2 排队规则排队规则 常用的规则有：损失制损失制（Lossing System）：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失。如通常使用的损失制电话系统。等待制等待制（Wating System）：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务。服务次序可采用以下各种规则： 先到先服务先到先服务：即按到达的次序接受服务。 后到先服务后到先服务：即后到的顾客、先接受服务。如在有的流水装配线上，后到的零

39、件先装配；在通讯系统中，最后到达的信息一般最有价值。 随机的服务随机的服务：当服务机构得空时，在等待顾客中、随机地选取一名进行服务，也即每一等待的顾客被选到的概率相同。 优先权服务优先权服务：如医院对重患或急诊患者予以优先治疗、重要电话先接通等。 多个服务台多个服务台：当顾客到达时可以按如下规则在每个服务台前排成一个队：第1，n+1,2n+1,个顾客排入第一队；第2，n+2,2n+2，个顾客排入第二队等等。或者排成一个公共的队，当一个服务台得空时，队首顾客进入服务。队列数目队列数目 排队队列有单列和多列之分。顾客排队后由于等待时间过长而中途离队，但也有不允许中途离队的情况，这种情况必须坚持到服

40、务完为止。在多队列排队情况下，各队列之间的顾客有的可以相互转移，有的不允许转移。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 56 3 窗口窗口：服务台的个数可以是一个或几个，可以是单个服务，也可以是成批服务。 随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 57随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 例6 得意系统可靠性估计。设系统由顺次连接的两个元件组成。两个元件中，任何一个元件发生

41、故障系统就停止工作。第一个元件有两个组成部分A,B（它们并联）。第二个元件有一个部件C组成。试用Monte Carlo法求:1 估计系统工作的概率 ，已知组成部件的工作概率分别为：2 绝对误差 ，其中 为系统的可靠性。可用分析的方法获得。进行50次试验。*p6 . 0)(,85. 0)(, 8 . 0)(CPBPAP|*pp p58随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 解：易知 。 其SAS程序如下：data ex6; seed=12345; do I=1 to 50;a=ranuni(seed);b=ranuni(s

42、eed);c=ranuni(seed);if (a0.8 or b0.85) and c4); R=ranuni(-1); P=0.2*(-log(R); T=T+p; Ss1=s1; ss2=s2; ss3=s3; If (T=ss1) and (T=ss2) and (Tss1) then do; s1=T+0.5; end; If(T=ss1) and (Tss3) then do; s3=T+0.5;end; Output;End;Run;Proc means data=ex7; Var d;Output out=result sum=dsum;Run;Proc print data=

43、result;Run;62随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟4 4 随机模拟方法在随机服务系统中的应用随机模拟方法在随机服务系统中的应用 此过程共进行6次模拟，可得其平均值为 =16，即在4分钟内平均服务了16个顾客。6131815171815x63 随机模拟方法不仅在求解确定性和随机性复杂系统的问题，它在理论研究方面也大为可有。比如有些问题从理论上已经得出了圆满的结论，但因没有经过实践验证比较，暂时没有被应用。这时若使用随机模拟方法先反复加以比较验证，再用于实践中就更可靠了。还有些问题，从理论上证明很困难，而科学家从其他方面的知识及经验，对所研究问题有某些猜想，这时随机模拟方法就是一个有效

44、可行的方法。下面仅举例说明用随机模拟的方法在比较系统聚类方法上的应用随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 64例8随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 假设数据来自 和 的总体，用SAS来计算，比较系统聚类法的八种常用方法在分类时之间的分类效果的好坏。22,00IN22,33IN65例8 解：基本思想为：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 1.产生两组来自不同正态总体的数据，记为 1ix和

45、2ix(i=1,2,n); (1)产生1u,2u服从10，N,相互独立； (2)对正定阵22211211作 cholesky 分解,得CC，2221110cccC； (3)令kiikikkucX1(k=1,2,n),并输出，2N的随机数21,xxX其中21为均值向量。 66例8 解：基本思想为：随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 2.用八种常用的系统聚类方法对容量为2n个样品的数据进行聚类，计算各种聚类方法的错分率(即判错个数所占的比例) (j=1,2,8); jp67例8 解：基本思想为：随机数的产生与模拟随机数的产生与模

46、拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 3.重复以上两步N次，得(j=1, ,8;i=1,N),计算平均错分率： (j=1,2,8)。 jp jp68随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 其SAS程序为(以average为例)：%macro%macro createdata(mdata=, leixing=, mv1=, mv2=, mvar1=, mvar2=, mvar3= );data &mdata;drop i u1 u2 ;fenlei=&leixing.;do i=1

47、 1 to 5050; u1=rannor(0 0); u2=rannor(0 0); x1=&mv1.+sqrt(&mvar1.)*u1; x2=&mv2.+(&mvar2.*u1+sqrt(&mvar1.*&mvar3.-&mvar2.*&mvar2.)*u2)/sqrt(&mvar1.); output;end; /*产生来自两元正态总体的随机数据*/run;%mend%mend createdata; 69随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论研究中的应用 其S

48、AS程序为(以average为例)：%macro%macro datacluster(mdata=,method=);data &mdata.;set a b;run;proc cluster data=&mdata. method=&method. outtree=c noprint;var x1 x2;copy fenlei x1 x2;run; /*对两个来自不同两元正态总体的随机数据进行聚类*/proc tree data=c out=abc ncl=2 2 noprint;copy fenlei x1 x2;run;data result1;set abc;r

49、esult=0 0;if fenlei=cluster then result=1 1;run;proc sort data=result1;by fenlei;run;proc means data=result1 noprint;var result;by fenlei;output out=result sum=errorsum;run; /*计算出错分的个数*/proc append base=r_result data=result;run;%mend%mend datacluster; 70随机数的产生与模拟随机数的产生与模拟5 5 随机模拟方法在理论研究中的应用随机模拟方法在理论

50、研究中的应用 其SAS程序为(以average为例)：%macro%macro analyzeanalyze;%do i=1 1 %to 5050; %createdatacreatedata(mdata=a,leixing=1 1, mv1=0 0, mv2=0 0, mvar1=1 1, mvar2=0 0, mvar3=1 1); %createdatacreatedata(mdata=b,leixing=2 2, mv1=3 3, mv2=3 3, mvar1=1 1, mvar2=0 0, mvar3=1 1); %dataclusterdatacluster(mdata=ab,method=average);%end; %mend%mend analyze;%analyzea