第八章损失分布第一次课

1、1第八章第八章 损失分布损失分布 2本章学习目标1、掌握概率论与数理统计的相关知识2、掌握常用的损失分布及其性质3、掌握获得损失分布的一般过程3本章重点与难点 重点：损失分布的一般过程 难点：损失分布及其性质 4本章内容 第一节 概率论的基本概念 第二节 随机变量及其概率分布 第三节 数理统计的基本概念 第四节 获得损失分布的一般过程 第五节 贝叶斯估计5第一节第一节 概率论的基本概念概率论的基本概念 概率统计研究的对象：随机现象的数量概率统计研究的对象：随机现象的数量规律规律一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率二、随机事件的概率三、概率的运算法则三、概率的运算法则6

2、一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件（一）必然现象与随机现象（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：来，大体上分为两大类：71 1、必然现象（确定性现象）、必然现象（确定性现象） 变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示。2 2、随机现象（偶然现象、不确定现象）、随机现象（偶然现象、不确定现象） （1）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 （2）个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 （3

3、）大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性）（随机性中寓含着规律性） 统计规律性统计规律性十五的夜十五的夜晚能看见晚能看见月亮？月亮？十五的月十五的月亮比初十亮比初十圆！圆！8（二）随机试验（二）随机试验1 1、概念、概念 通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为象所进行的观察或试验统称为试验试验。 2 2、严格意义上的随机试验满足三个条件：、严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；试验的所有可能结果是明确可知的

4、；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。3 3、广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。、广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。广义角度来理解。9（三）随机事件（三）随机事件 1 1、概念、概念 随机试验的每一种可能结果，称为随机试验的每一种可能结果，称为随机事件随机事件，简称简称事件事件，通常用，通常用 A A、B B、C C 等来表示。等来表示。随机事件随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生。在一定条件下可能发生，也可能不发生。 （

5、1 1）基本事件）基本事件 我们把我们把不能再分不能再分的事件称为的事件称为基本事件基本事件。 由由若干个基本事件组合而成若干个基本事件组合而成的事件称为的事件称为复合复合事件事件。 10（2 2）必然事件）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称为我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件必然事件，用用（即样本空间在每次试验中是必然发生的）表示。（即样本空间在每次试验中是必然发生的）表示。（3 3）不可能事件）不可能事件 我们把在一定条件下不可能发生的事件称为我们把在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事不可能事件件，用，用表示。表示。 必然事件必然事件与与不可能事件不可能事件实际

6、上是实际上是确定性现象确定性现象，即它们，即它们不是随机事件，不是随机事件， 但是为了方便起见，我们把它们看作为两但是为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。个特殊的随机事件。（4 4）样本空间（）样本空间（） 由基本事件构成的全体（全集）由基本事件构成的全体（全集）11二、随机事件的概率二、随机事件的概率（一）概率的定义（一）概率的定义 1 1、用来度量随机事件发生的可能性大小的数值；、用来度量随机事件发生的可能性大小的数值； 2 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1 1，表示为，表示为P ( )=1 3 3、不可能事件发生的可能性是零，、不可能事件发生的可能性是零，P( )=

7、0 4 4、随机事件、随机事件A A的概率介于的概率介于0 0和和1 1之间，之间，0P(A)0 32例：例：某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400400件，其中一件，其中一级品为级品为280280件；乙厂生产件；乙厂生产600600件，其中一级品有件，其中一级品有360360件。若要从件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：抽出产品为一级抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；品的条件下该产品出自甲厂的概率；抽出产品出自甲厂的抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。条件下该产品为一级品的概率。解：解

8、：设设A A“甲厂产品甲厂产品”，B B“一级品一级品”，则：，则： P P( (A A) )0.40.4， P(B)P(B) 0.640.64，P(AB)P(AB)0.280.28 所求概率为事件所求概率为事件B B发生条件下发生条件下A A发生的条件概率发生的条件概率 P P( (A|BA|B) )0.28/0.640.28/0.64所求概率为事件所求概率为事件A A发生条件下发生条件下B B发生的条件概率发生的条件概率 P P(B|(B|A A) )0.28/0. 40.28/0. 4332 2、事件的独立性、事件的独立性例：例：有有1010件产品，其中件产品，其中8 8件为正品，件为正

9、品，2 2件为次品。从中件为次品。从中取取2 2次次, ,每次取每次取1 1件，设件，设A Ai i=第第i i次取到正品次取到正品 ，i=1,2i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A不放回抽样时，不放回抽样时，放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，即放回抽样时，A A1 1的发生对的发生对A A2 2的发生概率不影响的发生概率不影响 同样，同样，A A2 2的发生对的发生对A A1 1的发生概率不影响的发生概率不影响34独立事件的定义： 定义：设定义：设A，B为两随机事件，且为两随机事件，且 若P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A)，

10、从而使得P(AB)=P(A) P(B)时，称A、B相互独立相互独立。 即有：( )0, ( )0P AP B)()()()()()()(BPAPAPABPBPBAPABP35（1）两个事件独立）两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率的概率P(A|B)P(A)，或，或 P(B|A)P(B)（2）独立事件的乘法公式：）独立事件的乘法公式： P(AB) P(A)P(B)1 1n n1 12 2n n 363 3、全概率公式、全概率公式（1 1）完备事件组）完备事件组事件事件A A1 1、 A A2 2、A An n互不相容，互不相容，A A

11、1 1A A2 2A An n且且P(P(A Ai i ) 0) 0（i=1i=1、2 2、.、n n）（2 2）对任一事件对任一事件B B，它总是与完备事件组，它总是与完备事件组A A1 1、 A A2 2、A An n之一同时发生，则有求之一同时发生，则有求P P( (B B) )的的全概率公式：全概率公式： niiiABPAPBP1)|()()(37例：例：假设有一道四选一的选择题，某学生知道正假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为确答案的可能性为2/32/3，他不知道正确答案时猜对，他不知道正确答案时猜对的概率是的概率是1/41/4。试问该生作出正确答案的概率？。试问该

12、生作出正确答案的概率？解：解：设 A A知道正确答案知道正确答案，B B选择正确选择正确。 “选择正确选择正确”包括：包括：（1 1）“知道正确答案而选择正确知道正确答案而选择正确”（即（即ABAB）（2 2）“不知道正确答案但选择正确不知道正确答案但选择正确”（即（即 ）因此有：因此有：P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4即：即：BA)|()()|()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP 38（3 3）全概率公式的直观意义是：）全概率公式的直观意义是： 某一事件某一事件B B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因A Ai i（i=1,2, ,ni=1,2, ,n

13、）, ,如果如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，所引起，则则B B发生的概率为发生的概率为P(AP(Ai iB)B)， i=1,2, ,ni=1,2, ,n。 也即每一也即每一A Ai i的发生都可能导致的发生都可能导致B B 发生的概发生的概率为率为P(AP(Ai iB)B)，因此作为结果的事件，因此作为结果的事件B B 发生的概发生的概率是各个率是各个“原因原因”A Ai i 引发的概率的总和引发的概率的总和 ，即：，即：niiiniiABPAPBAPBP11)|()()()(394 4、贝叶斯公式、贝叶斯公式 与全概率公式相反，如果在观察到事件与全概率公式相反，如果在观察到事件

14、B B已经发生的条件下，那么确定导致已经发生的条件下，那么确定导致B B 发生的发生的各个原因各个原因A Ai i的概率时，就需要通过的概率时，就需要通过贝叶斯公贝叶斯公式式来求解。来求解。 （1 1）其公式叙述如下：）其公式叙述如下：40 若若n n个事件个事件A A1 1、 A A2 2、A An n互不相容，且有互不相容，且有P(AP(Ai i)0)0，i=1,2, ni=1,2, n，事件，事件，则对于，则对于任意随机事件任意随机事件，有：，有： niiiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP1)|()()|()()()()|(nAAAB,2141（2 2）贝叶斯公式的直观意义）

15、贝叶斯公式的直观意义 贝叶斯公式首先由英国统计学家贝叶斯给出。贝叶斯公式首先由英国统计学家贝叶斯给出。 它的直观意义是：在观察到事件它的直观意义是：在观察到事件B已经发生的已经发生的条件下，寻找导致条件下，寻找导致A发生的每个原因发生的每个原因Ai的概率。其中：的概率。其中： P(Ai )称为事件称为事件Ai的的先验（或验前）概率先验（或验前）概率 P(Ai|B)称为事件称为事件Ai的的后验（或验后）概率后验（或验后）概率42 例：例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种

16、方法能否用于普查？(|)5%, (|)5%,P A CP A C()( | )( )P ACP C AP A( )(|)0.087( ) (|)( ) (|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：解：考察P(C|A)的值：由题意可知： P(A|C) =95% 若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。43四、小概率事件实际不可能性原理四、小概率事件实际不可能性原理 随机事件的概率表示了随机事件在一次随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能

17、性大小。若随机事件的概试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之，称之为为小概率事件。小概率事件。 44 小概率事件虽然不是不可能事件，但在一小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性次试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很大很大 ，以至于实际上可以看成是不可能发生，以至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学上的。在统计学上，把小概率事件在一次试验中，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理实际不

18、可能性原理，亦称为小概率原理。小概。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设假设检验（显著性检验）检验（显著性检验）的基本依据。的基本依据。 45第二节第二节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布46一、随机变量的概念一、随机变量的概念在随机试验中在随机试验中, ,常见的试验结果分为两类：常见的试验结果分为两类：中心问题：将试验结果数量化中心问题：将试验结果数量化 示数的示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数示性的示性的明天天气

19、（晴，多云）；化验结果（阳性，阴性）等47一、随机变量的概念一、随机变量的概念（一）随机变量的概念及特征（一）随机变量的概念及特征 随机变量即表示随机试验结果的变量。随机变量即表示随机试验结果的变量。 （1 1）取值是随机的，事先不能确定取哪一个）取值是随机的，事先不能确定取哪一个 （2 2）一个取值对应随机试验的一个可能结果）一个取值对应随机试验的一个可能结果 （3 3）用大写字母如）用大写字母如X、Y、Z. . 或或 、 、 来表来表示，具体取值则用相应的小写字母如示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来来表示。表示。 48 （4 4）若）若X的可能取值的可能取值x1、x2、xn，具有

20、确定，具有确定的概率的概率P(x1)、 P(x2)、 、 P(xn)，其中：，其中： P(xi)=P(X=xi)，称为，称为概率函数概率函数。 则则X 叫做叫做P(X)的的随机变量随机变量， P(X)叫做随机变量叫做随机变量X的的概率函数概率函数。 （5）随机变量的特点：）随机变量的特点： X的全部可能取值是互斥且构成完备事件组；的全部可能取值是互斥且构成完备事件组； X的部分可能取值描述随机事件。的部分可能取值描述随机事件。49 每一个随机变量都有分布函数。它是取值在每一个随机变量都有分布函数。它是取值在00，11的单调、右连续实函数。反过来，数学家证明这的单调、右连续实函数。反过来，数学家

21、证明这种函数可以分解为种函数可以分解为其中其中F1(x)是跳跃函数，是跳跃函数，F2(x)是是绝对连续函数绝对连续函数（这（这种函数一定有导函数种函数一定有导函数- -密度函数），密度函数），F3(x)是所谓是所谓奇奇异函数异函数（连续，但没有导数，所以没有密度函数）。（连续，但没有导数，所以没有密度函数）。（二）随机变量的分类（二）随机变量的分类)()()()(332211xFcxFcxFcxF1 1、随机变量的分类依据、随机变量的分类依据-随机变量的分布函数随机变量的分布函数50 （1） 分布函数是分布函数是 F1(x)-跳跃函数的随机变量，称跳跃函数的随机变量，称离离散型随机变量散型随机

22、变量，跳跃点的跳跃度就是它的取值和概率；，跳跃点的跳跃度就是它的取值和概率； （2 2）分布函数是）分布函数是 F2(x)-绝对连续函数的随机变量，绝对连续函数的随机变量，称称连续型随机变量连续型随机变量，其导函数就是密度函数；，其导函数就是密度函数； （3 3）分布函数是）分布函数是 F3(x)-奇异函数的，称奇异函数的，称奇异型随机奇异型随机变量变量（罕见）。（罕见）。 （奇异函数奇异函数函数本身有不连续点（跳变点）或其导函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。）异信号。） （4 4）

23、另外还有）另外还有三个基本类型的混合型随机变量三个基本类型的混合型随机变量。 不考虑奇异型，我们可以从分布函数上判断随机变量的不考虑奇异型，我们可以从分布函数上判断随机变量的类型，也可以从类型，也可以从随机变量的取值上随机变量的取值上判断（判断（可数无穷可数无穷和和不可数不可数无穷无穷）。）。512 2、两种常见类型的随机变量、两种常见类型的随机变量 如上，根据取值特点的不同，随机变量可分为：如上，根据取值特点的不同，随机变量可分为： （1 1）离散型随机变量）离散型随机变量如果随机变量如果随机变量X的所的所有可能取值可以逐个列举出来，则该随机变量就是有可能取值可以逐个列举出来，则该随机变量就

24、是离散型随机变量。如产品检验中的次品数等。离散型随机变量。如产品检验中的次品数等。 （2 2）连续型随机变量）连续型随机变量如果随机变量如果随机变量X的所的所有可能取值不能一一列举出来，而是取数轴上某一有可能取值不能一一列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点，则该随机变量就是连续型随机变区间内的任一点，则该随机变量就是连续型随机变量。如一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴量。如一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置上的位置是一个随机变量，可以取任何实数，即是一个随机变量，可以取任何实数，即（，）；还如；还如测量误差等。测量误差等。52（一）离散型随机变量的概率分布（一）离散型随机变

25、量的概率分布 1、离散型随机变量、离散型随机变量X的的概率分布概率分布表示的是表示的是X的有限个可的有限个可能取值为能取值为xi与其概率与其概率 pi（i=1i=1，2 2，n n）之间的对应关系。）之间的对应关系。 2 2、概率分布具有如下两个基本性质：、概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi0，i=1,2,n； （2）11niip二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 1 1、写出可能取值即写出样本点、写出可能取值即写出样本点 2 2、写出相应的概率即写出每一个样、写出相应的概率即写出每一个样 本点出现的概率本点出现的概率（2 2）被称作正则性）被称作正则性概率分布概率分布53

26、3 3、离散型概率分布的表示：、离散型概率分布的表示：（1）概率函数：）概率函数：P(X= xi )= pi（2）分布列：）分布列：（3）分布图）分布图X = xix1x2xnP(X =xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP( x )图图 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布在图中，离散型随机在图中，离散型随机变量的概率分布具有变量的概率分布具有跳跃点和跳跃高度的跳跃点和跳跃高度的特点，而跳跃高度代特点，而跳跃高度代表概率函数表概率函数p(xi )54例：例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过过3 3个独立的交通灯，设各

27、灯工作独立，且设个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为各灯为红灯的概率为p p，0 0pp1 1，以，以X表示首次表示首次 停车时所通过的交通灯数，求停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。的概率分布律。1(0)() P XP Ap；12(1)()(1) P XP A Ap p；2123(2)()(1) P XP A A App；3123(3)()(1) P XP A A Ap；pX0123pp(1-p) (1-p)2p (1-p)3 0 ,1 ,2 3XXXXS注意：为的一个划分 解：解： 设设Ai=第第i个灯为红灯个灯为红灯 ，则，则P( (Ai)=)=p，i=1,2,

28、3 =1,2,3 且且A1, ,A2, ,A3相互独立。相互独立。表示首次停车时到遇到的是表示首次停车时到遇到的是第三个红灯，也即前两个红第三个红灯，也即前两个红灯没有赶上。灯没有赶上。55（二）随机变量的分布函数（二）随机变量的分布函数xX 1 1、定义：、定义：若若是一个随机变量（离散或连续型均可），是一个随机变量（离散或连续型均可），对于任意实数对于任意实数x，令，令F(x)=P(x),则称则称F(x)是随机变量是随机变量的分的分布函数。布函数。2 2、 F(x)的几何意义：的几何意义：3 3、 F(x)的代数意义：的代数意义： F(x)，即事件即事件x的概率，的概率，它是它是x的一个实

29、函数。对于任意的的一个实函数。对于任意的x1x2，均有：，均有： P(x1 x2)=P(x2) P(x1)因此可得：因此可得： P(x1 x2)=F(x2) F(x1)564 4、分布函数的性质、分布函数的性质 由于由于F(x)表示事件表示事件x的概率，因此若知道的概率，因此若知道的分布函的分布函数数F(x)，就能知道，就能知道在任何一个区间上的取值概率。从这在任何一个区间上的取值概率。从这个意义上说，相对于概率函数，分布函数完整地描述了随机个意义上说，相对于概率函数，分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。它具有以下性质：变量的变化情况。它具有以下性质： （1 1）0 F(x) 1，对一切对

30、一切x（，）成立成立； （2 2）F(x)是是x的单调不减函数。的单调不减函数。 （3 3） （4 4）F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点，而在其间断点上也是右，而在其间断点上也是右连续的。连续的。1221 0()()()P xXxF xF x1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx576例：例：用随机变量来描述掷一颗骰子出现点数的试验情况。用随机变量来描述掷一颗骰子出现点数的试验情况。解：解：令令表示掷一颗骰子出现的点数，它可以取表示掷一颗骰子出现的点数，它可以取1到到6共共6个个自然数，相应点数发生的概率均为自然数，相应点数发生的概率均为1/6。(1)列成如下的概率分

31、布表；列成如下的概率分布表；(2)其概率分布如下图所示：其概率分布如下图所示：123456P1/61/61/61/61/61/61/612345Px58（3 3）的分布函数的分布函数F(x)为：为：F(x)的图形为：的图形为：61)5 , 4 , 3 , 2 , 1(1610)(xkkxkkxxF1/61123456xF(x)59由上面的例子可知：由上面的例子可知：(1)(1)若离散型随机变量若离散型随机变量的概率分布列是的概率分布列是P X=xk = pk , k =1,2,3,xxkkp则则 F(x) = P(X x) = x(2)(2)由于由于F(x) 是是取取 的诸值的诸值 xk 的概

32、的概率之和，故又称率之和，故又称 F(x) 为为累积概率函数累积概率函数. .60 (3)(3)从上例的图形表示中可知，从上例的图形表示中可知，F(x) 的图形是的图形是阶梯状的图形阶梯状的图形，它在，它在的一切有概率的点的一切有概率的点xk 即图中即图中的的x=1，2，,6 处有处有跳跃跳跃，其跃度分别等于，其跃度分别等于取值取值xk的概率的概率pk，即本例中的，即本例中的 P( =1) , P( =2) , P( =6)。 （4）由图形可知，在由图形可知，在分布函数分布函数F(x)的任意一个的任意一个连续点连续点x上，上，取值取值x的概率都是的概率都是0。因为：。因为： P(=x) = F

33、(x+0) F(x) = 0 这一点对于连续型随机变量也是成立的。这一点对于连续型随机变量也是成立的。 （5）任一分布函数处处）任一分布函数处处右连续，即：右连续，即：).(),()(lim000 xxFxFxx61简单总结简单总结 对对离散随机变量的离散随机变量的分布函数分布函数应注意应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为其间断点即为的可能取值点的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。其间断点的跳跃高度是对应的概率值。62（三）连续型随机变量的概率分布（三）连续型随机变量的概率分

34、布1 1、连续型随机变量的直观解释、连续型随机变量的直观解释 正如对随机事件一样正如对随机事件一样,我们所关心的不仅是试验会出现什我们所关心的不仅是试验会出现什么结果么结果,更重要的是要知道这些结果以怎样的概率出现更重要的是要知道这些结果以怎样的概率出现,也即也即对随机变量对随机变量,我们不但要知道它取什么值我们不但要知道它取什么值,而且要知道它取这而且要知道它取这些值的概率些值的概率. 与离散型随机变量不同，一些随机现象所出现的试验结与离散型随机变量不同，一些随机现象所出现的试验结果不止取可列个，例如测量误差、分子的运动速度，候车时果不止取可列个，例如测量误差、分子的运动速度，候车时等待时间

35、等等皆是。这时用来描述试验结果的随机变量能取等待时间等等皆是。这时用来描述试验结果的随机变量能取到某个区间到某个区间a,b）或其中的一切值。）或其中的一切值。63 对于取连续值的随机变量我们所关心的也并不是它取某对于取连续值的随机变量我们所关心的也并不是它取某个特定值的概率，例如在测量误差的讨论中，我们感兴趣的个特定值的概率，例如在测量误差的讨论中，我们感兴趣的测量误差小于某个数的概率；在候车等待时间的问题研究测量误差小于某个数的概率；在候车等待时间的问题研究中，我们关心的是候车时间在某个范围（中，我们关心的是候车时间在某个范围（a,b）中的概率。）中的概率。 总之，对于取连续值的随机变量，我

36、们感兴趣的是取值总之，对于取连续值的随机变量，我们感兴趣的是取值于某个区间（于某个区间（a,b）中的概率，或取值于若干个这种区间的）中的概率，或取值于若干个这种区间的概率。因此要求概率。因此要求a b和和b都是事件。都是事件。64 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象不能象离散型随机变量那样离散型随机变量那样, 以指定它取每个值以指定它取每个值概率的方式概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通而是通过给出所谓过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.652、连续型随机变量、

37、概率密度定义、连续型随机变量、概率密度定义 设设F（x）是随机变量是随机变量X的分布函数，若存的分布函数，若存在一个非负的函数在一个非负的函数f(x),对任何实数对任何实数x，有，有 ，则称，则称X为连续型随机为连续型随机变量，同时称变量，同时称f(x)为为X的概率密度函数，简称概的概率密度函数，简称概率密度。率密度。dttfxFx )()( f (x)xoy66由定义知：由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x) 是连续函数是连续函数.2. 对对f(x)的连续点，有的连续点，有 )()( xfxF由此由此 F(x)与与f(x)可以互推。可以互推。673、概率密度

38、函数的性质、概率密度函数的性质（1）0)(xf（2）1)(dxxf这两条性质是判定一个函数这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量X的的概率密度函数的充要条概率密度函数的充要条件件.o f (x)xy68（3）dxxfxFxFxXxPxx211221)()()()( f (x)xoyx1x269 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，则则 f (x)相当于线密度。相当于线密度。x ,(xxx

39、若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)4. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:70 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率。取值的概率。 但是，但是，这个高度越大，则这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo71若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP

40、 )( 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型随机变量中所起的作用与在连续型随机变量中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的在离散型随机变量理论中所起的作用相类似作用相类似.72连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为需要指出的是需要指出的是:. 0),()()()(0 xxaFaFaXxaPaXP 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，由于连续型随机变量的分布函数是连续函数， 00)()(limxaFaF

41、x从而从而P( X = a )=0. 73 由于由于连续型随机变量连续型随机变量唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确定所确定. 所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述。随机变量的概率规律就得到了全面描述。 f (x)xo74一个很有用的比喻-测度l将“概率”比喻成“质量”l在一条直线上分布总质量为1的物质l概率函数总质量为1的可数个质点分布在直线上l概率分布函数分布在x左边的总质量l概率密度函数在x处的概率的密度752713)(2;10432230)(1XPxFXkxxxkxxfX）求（；的分布函数）求（）确定常数（其它具有概率密度设

42、随机变量例76 其它其它解解, 043,2230,)(xxxkxxf6111kdxxf得得由由)()(即由：即由：1224330dxxdxkx)(611422432302kxxkx得得)(77 4,143,22630,60,0)()2(3300 xxdxxdxxxdxxxxFxx分分布布函函数数4234212226232302330 xxxxxdxxdxxxx)()(其中：其中：78 4, 143,42330,120, 0)(22xxxxxxxxF即分布函数即分布函数 48411272713 FFXP）（79三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数

43、学期望 数学期望数学期望又称均值，描述一个随机变量所有又称均值，描述一个随机变量所有可能取值的平均值。可能取值的平均值。1 1、离散型随机变量、离散型随机变量 X X的数学期望的数学期望 相当于所有可能取值以概率为权数的平均值相当于所有可能取值以概率为权数的平均值2 2、连续型随机变量、连续型随机变量X X 的数学期望：的数学期望： iiipxXE )(dxxxfxE )()( 803 3、数学期望的主要数学性质、数学期望的主要数学性质（1）若）若k是一常数，则是一常数，则 E (k X) k E(X) （2）对于任意两个随机变量）对于任意两个随机变量X、Y，有，有 E(X+Y)E(X)E(Y

44、) （3）若两个随机变量）若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 E(XY)E(X) E(Y) 81(X - EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的情况的取值偏离平均值的情况 , 是是X的函数的函数, 也是也是随机变量随机变量 E(X - EX)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的平均的取值偏离平均值的平均偏离程度偏离程度 数数定义：定义：即记为的方差为则称存在若是一个随机变量设,)(,)(,22DXXEXXEEXXEX2)(EXXEDX 方差方差DX)(标标准准差差均均方方差差（二）随机变量的方差和标准差（二）随机变量的方差和标准差注：注：82（二）随机变量的方差和标准差

45、（二）随机变量的方差和标准差 1、方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2 2、离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差： 3、连续型随机变量的方差：、连续型随机变量的方差：dxxfxxD )()(22 iiipxXD22)()( 83 4 4、方差和标准差都反映随机变量取值的、方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越值越大，说明离散程度越大大，其概率分布曲线越扁平。，其概率分布曲线越扁平。 5 5、方差的主要数学性质：、方差的主要数学性质：（1 1）若）若k k是一常数，则是一常数，则 D(k)0；（2 2）D(kX)

46、k2 D(X) （3 3）若两个随机变量）若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y) 84l例4：试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。l解：2 . 13 . 026 . 011 . 00)(iiipxXE36. 03 . 0) 2 . 12(6 . 0) 2 . 11 (1 . 0) 2 . 10()()(2222 iiipxXD 0.6xi012pi0.10.60.385(,)Cov X Y定义：定义： 对于随机变量X,Y，如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在, 则称其为随机变量X与Y的协方差，记作(, )(-()( -( )Cov X YE XE XY

47、 E Y2(,)-()()Cov X XE XE XD X显然86|(,) |()()Cov X YD XD Y22(, ) (-()(-( )Cov X YE XE XYE Y证明证明当方差当方差D(X)和和D(Y)存在时，协方差必存在。存在时，协方差必存在。22-()-( )E XE XE YE Y()( )D X D Y87（1）若）若(X,Y)为为离散型离散型随机向量，其分布律为：随机向量，其分布律为：,1,2,ijijP Xx Yypi j (, )-()-( )ijijijCov X YxE XyE Yp则 （2）若）若(X,Y)为为连续型连续型随机向量，其概率密度为随机向量，其概

48、率密度为f(x,y)( , ) - ( ) - ( ) ( , )Cov X Yx E Xy E Y f x y dxdy 则 88常用的计常用的计算公式算公式反之不成立反之不成立(, )( ,)Cov X YCov Y X(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y(, )0XYCov X Y 若 与 独立，则 (,)(, )CovXYCbb ovaXaY1212(, )(, )(, )Cov XX YCov X YCov X Y89(,)(,)CovX YCovaXaY(,)(,)Cov XYCovbXbY( ,)()( )( )0CovYEYaaaEE Y(, )()(

49、)()0Cov XEXbbbEE X9011818181001118181818180XY(,)Cov X YXP382838110YP3828381109133()( 1)1088iiiE Xx p 33()( 1)1088iiiE Yy p ()0ijijijE XYx y p (, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y解：解：92E(XY)的计算的计算81111111)(YXPP，81012112)(YXPP，81113113)(YXPP，81101221)(YXPP，0002222)(YXPP，81103223)(YXPP，81111131)(YXPP，810111

50、32)(YXPP，81111133)(YXPP，ijijjiPYXXYE0)(由已知的由已知的Xi 、Yj的值及其联合分布律可计算得：的值及其联合分布律可计算得：93相关系数相关系数相关系数具有如下的性质： （1）相关系数是一个无量纲的值 （2）0| | 0 （3）当 =0，两个变量不相关（不存在线性相关） （4）当 | |=1，两个变量完全线性相关 YXXYYXCov ),( 94.,的分布函数的分布函数求求即即只取一个值只取一个值设随机变量设随机变量XcXPcX1cxcxpxFxxkk10)(:解解1cx)(xF)()(,acxcxxFXcXPcX101的的分分布布函函数数为为则则即即只只

51、取取一一个个常常数数值值若若随随机机变变量量.)(为退化分布或单点分布为退化分布或单点分布并称并称 a0 DXcEX（一）（一）退化分布退化分布四、常见离散型随机变量的概率分布四、常见离散型随机变量的概率分布 例例95例.,%,的的概概率率分分布布和和分分布布函函数数求求来来描描述述废废品品出出现现的的情情况况用用随随机机变变量量从从中中任任取取一一个个进进行行检检查查一一批批产产品品的的废废品品率率为为XX5:%,.)()(:概概率率分分布布表表如如下下则则两两种种情情况况表表示示用用不不合合格格和和表表示示用用合合格格只只能能取取解解95101XPX95.005.010PXppPXpqpx

52、qpppxXPXxxxx1101101011011或或表表示示为为则则其其概概率率分分布布为为两两个个数数值值和和只只取取若若随随机机变变量量,)(,.)(,)(分分布布或或两两点点分分布布又又称称伯伯努努利利分分布布服服从从则则此此时时称称BernoulliX10（二）两点分布（二）两点分布定义定义1 1：9610121pppPxxX定义定义2 2： 对这种只描述了对这种只描述了两种对立结果两种对立结果的随机试验，的随机试验，称为伯努利试验。习惯上，把伯努利试验的一种称为伯努利试验。习惯上，把伯努利试验的一种结果成为结果成为“成功成功”，另一种结果称为另一种结果称为“失败失败”。 更一般地，

53、若随机变量更一般地，若随机变量X只取只取x1和和x2两个两个数值，则其概率分布可表示为数值，则其概率分布可表示为97 1、两点分布：、两点分布：只有两个可能取值的随机变量所只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，即为两点分布。其概率函数为：服从的分布，即为两点分布。其概率函数为：2、0-1分布：分布：只取只取0和和1两个值的随机变量所服从两个值的随机变量所服从的分布称为的分布称为0-1分布。其概率函数为：分布。其概率函数为：说明说明)2 , 1()(kpxPkk) 1 , 0()1 ()(1kppkPkk两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种任何一个只有两种可能

54、结果的随机现象可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布。都属于两点分布。98上上的的均均匀匀分分布布。个个点点服服从从则则称称的的概概率率分分布布为为若若随随机机变变量量, 2 , 1121nixxxnXninxXPX niiniixxnDXxxnEX12111)(: 易易见见(三)n个点上的均匀分布99例如：例如：如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有则

55、有 ., )(),(服服从从均均匀匀分分布布则则称称其其中中Xjiaaji 均匀分布随机数均匀分布随机数演示演示Xkpnaaa21nnn111100例：例：.,.,次次试试开开成成功功的的概概率率在在第第问问这这人人的的概概率率被被使使用用匙匙都都以以即即每每次次试试开开时时每每一一把把钥钥选选取取一一把把开开门门他他随随机机地地门门的的其其中中仅仅有有一一把把是是能能开开这这把把钥钥匙匙他他共共有有一一个个人人要要开开门门knn1kkkiAAAAWiA121则则记记次次试试开开成成功功表表示示第第设设解解,:)()()()()()(kkkkkAPAPAPAPAAAAPWP121121则则,)

56、,()(211111111kpqpnpqnnkk记记).(,.,pGXXpqPkpqkXPXk记记为为服服从从几几何何分分布布则则称称其其中中的的概概率率分分布布为为若若随随机机变变量量110211)(数数事事件件首首次次出出现现的的试试验验次次（四）几何分布（四）几何分布定义：定义：10121pqDXpEX 几何分布描述了独立重复试验中，首几何分布描述了独立重复试验中，首次成功发生在第次成功发生在第k k次的概率。次的概率。或者说，在独立重复试验中或者说，在独立重复试验中, ,设事件设事件A发生的发生的概率为概率为p, , 则几何分布描述的是则几何分布描述的是X为直到事件为直到事件A首次发生

57、为止所进行的试验次数首次发生为止所进行的试验次数。几何分布的期望和方差几何分布的期望和方差102（五）二项分布（五）二项分布1、贝努利试验及其概率公式、贝努利试验及其概率公式 将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n 次，若各次试次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的次试验是独立的。103 对于对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件且只出现对立事件A与与 之一之一 ，在每次试验中出，在每次试验中出现现

58、A的概率是常数的概率是常数p(0p1) ，因而出现对立事件，因而出现对立事件 的概率是的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验。重贝努利试验，简称贝努利试验。 A104 2 2、二项概率公式、二项概率公式 在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A恰好发生恰好发生k(0kn)次的概率为次的概率为: k=0,1,2，n knkkknqpCkP)(1051)公式适用的条件公式适用的条件2)公式的结构特征公式的结构特征knkknnppCkP )1()(（其中（其中k = 0，1，2，n ）实验总次数实验总次数事件事件 A 发生的次

59、数发生的次数事件事件 A 发生的概率发生的概率发生的概率发生的概率事件事件A106 若把式与二项展开式若把式与二项展开式相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A发生发生k次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展开式中的第展开式中的第k+1项，项，所以也把上式称作所以也把上式称作二项概率公式二项概率公式 。nkknkknnqpCpq0)(1073、二项分布、二项分布 因此，因此，二项分布可定义为：二项分布可定义为：若随机变量若随机变量x所有可所有可能的取值为零和正整数：能的取值为零和正整数：0，1，2， ，n，且有，且有 (k=0，1，2，n)其中其中p0

60、，q0，p+q=1，则称则称随机变量随机变量X服从参服从参数为数为n和和p的二项分布的二项分布，记为，记为 XB(n，p)。knkkknqpCkP)(108需要注意的是：需要注意的是：pqpCXPqqpCXP111110100110,1094、二项分布、二项分布B（n,p）的期望和方差）的期望和方差),(nkqpCkXPXknkkn1201的的分分布布律律为为：）随随机机变变量量（npEX npqDX (2)(2)期望期望(3)(3)方差方差110 5 5、二项分布的应用条件：、二项分布的应用条件： （1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性