能量和动量的综合应用(超详细)

1、课程信息【本讲主要内容】能量和动量的综合应用相互作用过程中的能量转化及动量守恒的问题【知识掌握】【知识点精析】1. 应用动量和能量的观点求解的问题综述：该部分是力学中综合面最广，灵活性最大，内容最为丰富的部分。要牢固树立能的转化和守恒思想，许多综合题中，当物体发生相互作用时，常常伴随多种能量的转化和重新分配的过程。因此，必须牢固地以守恒（系统总能量不变）为指导，这样才能正确无误地写出能的转化和分配表达式。2. 有关机械能方面的综述：（1）机械能守恒的情况：例如，两木块夹弹簧在光滑水平面上的运动，过程中弹性势能和木块的动能相互转化；木块冲上放在光滑面上的光滑曲面小车的过程，上冲过程中，木块的动能

2、减少，转化成木块的重力势能和小车的动能。等等（2）机械能增加的情况：例如，炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。等等（3）机械能减少的情况：例如，“子弹击木块”模型，包括“木块在木板上滑动”模型等；这类模型为什么动量守恒，而机械能不守恒（总能量守恒），请看下面的分析：AV/)如图1所示，一质量为M的长木板B静止在光滑水平面上，一质量为m的小滑块A以水平速度v0从长木板的一端开始在长木板上滑动，最终二者相对静止以共同速度一起滑行。/7777777777777777777777777T7777777A缶v:ip1/77777777777

3、?777777777777?777777775g團1滑块A在木板B上滑动时，A与B之间存在着相互作用的滑动摩擦力，大小相等，方向相反，设大小为f。因水平面光滑，合外力为零，以A、B为系统，动量守恒。（过程中两个滑动摩擦力大小相等，方向相反，作用时间相同，对系统总动量没有影响，即系统的内力不影响总动量。由动量守恒定律可求出共同速度v二Jv0M+m0上述过程中，设滑块A对地的位移为sAB对地位移为sB。由图可知，sA和b，且sA=（sB+As）,根据动能定理：对A：WfA=-f(Sb+As)=11mv2一mv22201 /mv、1=m()2一mv22 M+m2011mv对B：Wb=fsB=2Mv撤

4、去力F后木块B能够达到的最大速度是多大？木块A离开墙壁后，弹簧能够具有的弹性势能的最大值多大？分析：本题第一问，撤去力F后木块B只在弹簧弹力作用下运动，木块A不动，弹簧的弹性势能转化为木块B的动能，弹簧第一次恢复原长时，木块B有最大速度。弹簧第一次恢复原长后，由于惯性，木块B将继续运动，弹簧被拉长，木块A将离开墙壁。木块A离开墙壁后，只有弹簧弹力做功，三者组成的系统机械能仍守恒，且墙壁对此系统不再施加外力，所以此系统的动量也守恒。此后当木块A和B具有相同的速度时，-0=2M(曲)2以上两式表明：滑动摩擦力对A做负功，对B做正功，使A的动能减少了，使B的动能增加了。我们计算一下系统机械能的变化量

5、：AE=(M+m)v2一mv22201 mv1MM-(2mv2)M+m20=(M+m)()2mv22 M+m20M(1)=(-mv2)M+m20我们再研究一下WfA和WfB的代数和WfA+WfB二f(s+As)+fs=-fAsfAfBBBA1、1“又WfA+WfB=(一mv2一mv2)+Mv2fAfB2202从中可以看出：本题中一对滑动摩擦力做功的代数和(为负值)恰为系统机械能的变化量，其绝对值即/As正是系统机械能的减少量，即“摩擦生热”即A的动能减少了，B的动能增加了，但二者的变化的绝对值并不等，其差值丨WfA丨IWfB1=/(sA-sB)=/As，等于A和B系统的机械能减少量，即“摩擦生

6、热”即系统的初始机械能(木块A的动能)等于系统末态机械能(木板的动能和木块的动能)加上产生的内能。可以认为摩擦力对滑块A做负功使其动能减少，一部分通过摩擦力对木板B做正功，转移给木板B，另一部分转化为系统的内能。.简言之，相互作用的滑动摩擦力对A、B作用时间相同，而A、B发生的位移不同，使得系统动量守恒而机械能不守恒。【解题方法指导】例1.两个木块A和B的质量分别为mA=3kg，mB=2kg,A、B之间用一轻弹簧连接在一起。A靠在墙壁上，用力F推B使两木块之间弹簧压缩，地面光滑，如图2所示。当轻弹簧具有8J的势能时，突然撤去力F将木块B由静止释放。求：.W.W.A-.-.Z弹簧形变最大，弹簧具

7、有最大弹性势能。解答(1)设撤去力F后，木块B的最大速度v0,根据机械能守恒有1 2EE=mv2v=2、：2m/s2 B00m1B(2)设两木块具有的相同速度为v,根据动量守恒定律有mBv0=(mA+mB)vmv2xA-2/45/所以v=B-o=m/s=2m/sm+m3+25AB根据能量关系，弹簧具有最大势能为1132E=E(m+m)v2=8J-x5xJ=4.8J、P2AB225评价：速度相同时的特点是这类问题的关键性条件，本题是出现弹性势能最大值，其它情况可能是损失的机械能最多等。例2.从地面竖直向上发射一颗质量为m=0.4kg的礼花弹，升到距地面高度为h=125m时速度为v=30m/s，此

8、时礼花弹炸成质量相等的两块，其中一块经t=5s落地。则礼花弹在爆炸过程中，有多少化学能转化成机械能？g取10m/s2(不计空气阻力且不考虑燃料质量的影响)。分析：欲求礼花弹在爆炸过程中，有多少化学能转化成机械能，就要知道礼花弹在爆炸前后的机械能各多少。爆炸过程可认为在原位置完成，所以，可以不考虑重力势能的变化,只要知道爆炸前后弹片动能的变化即可。爆炸时虽受到重力，但重力远远小于燃料爆炸时的内力，所以，爆炸过程满足动量守恒。根据题给条件可知，其中一块从125m高处经5s落地，由运动学公式可知，这块弹片爆炸后的末速度为0。礼花弹爆炸前的动量是向上的，末态总动量也必是向上的，可知经5s落地的肯定是下

9、面半块，根据动量守恒，可得另一块弹片的速度，进而可求得有多少化学能转化成机械能。解答：设距地面的高度经5s落地的一块爆炸后的速度为v1,第二块爆炸后的速度为v2。对第一块，根据运动学公式有71h=vt+gt212带入数据解得：勺=0根据动量守恒有mmmv=v+v2122解得v2=60m/s礼花弹在爆炸过程中，化学能转化成机械能的大小即为弹片动能的改变量，1 m1m1AE=v2+v2-mv22 212222解得AE=180J评价：该题是机械能增加的情况：炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。【考点突破】【考点指要】动量和能量的综合问题

10、，是高中力学最重要的综合问题，也是难度较大的问题，分析这类问题时，应首先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解。例3.在水平桌面上固定有一块质量为M的木块，一粒质量为m，速度为v0的子弹沿水平方向射入木块，子弹深入木块d后停在其中。若将该木块放在光滑水平面上，仍用原来的子弹射击木块，求子弹射入木块的深度/多大？有多少机械能转化为内能？设两种情况下子弹在木块中所受阻力相同。分析：本题中当木块固定时，桌面对木块有水平方向的作用力，故系统动量不守恒；子弹射入木块克服阻力做功，子弹动能减少，转化成系统的内能，因木块对子弹的阻力可视为恒力，可对子弹运用动能定理求出过程中子弹受

11、到的阻力。当木块放在光滑水平面上时，以木块和子弹组成的系统为研究对象，合外力为零，满足动量守恒，过程中子弹的动能减少，转化成木块的动能和系统的内能，故机械能不守恒。产生的内能在数值上等于fAs=fd解答：研究子弹，设子弹在木块中运动时受到的阻力为f。当木块固定在桌面上时，1根据动能定理，有一fd=O2mv0mv2=o-2d当木块不固定时，在子弹射入木块的过程中，设子弹射入木块后的共同速度为v，根据系统动量守恒及能量关系，有mv=(m+M)vJ011mv2一(m+M)v2=fd202”mv2“将f=代入，由以上两式解得d1 M=mv2-2 0M+m此过程中机械能转化为内能的值:=fd=mv2一(

12、m+M)v2202【典型例题分析】例4.(上海高考)在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，如图3,两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P,右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图3所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后，A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)。已知A、B、C三球的质量均为m。區

13、13(1) 求弹簧长度刚被锁定后A球的速度？(2) 求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能?分析：C与B发生碰撞结成一个整体D的过程，是一个瞬时的碰撞过程，可以不考虑弹簧对它们的作用，以B、C为系统，属于完全非弹性碰撞，满足动量守恒，机械能有损失。C与B合为D后，向左压缩弹簧，D减速，A加速，D的动能减少，A的动能增加，弹簧弹性势能增加，A和D速度相等时，弹簧最短，弹性势能最大，此过程A和D及弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒，且只有弹簧弹力做功，满足机械能守恒。A球与挡板P发生碰撞后A、D都静止不动，说明P对A和D及弹簧组成的系统做了负功,使它们的动能减为零，由于此前弹簧

14、已被锁定，所以，此时弹簧仍具有最大弹性势能。解除锁定后，开始A不动，弹性势能转化成D的动能，弹簧达到原长时D的速度最大，此后A被带动离开P，D减速、A加速，弹簧开始伸长，弹性势能增加，当A和D速度相等时，弹性势能达到最大。从A离开P开始，A和D及弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒，且只有弹簧弹力做功，满足机械能守恒。解答(1)设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒，有:mv0=2mv1当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒有：2mv=3mv21由两式得A的速度为v2=v230(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒有：(2m)v2=

15、(3m)v2+e2122P撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转化成D的动能，设D的速度为v3,则有：Ep=|(2m)v2以后弹簧伸长，A球离开挡板，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长,设此时速度为v4，由动量守恒，有：2mv3=3mv4当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EJ由能量守恒有：(2m)v2=(3m)v2+E2324P解以上各式得EP=厶mv2P360评述：从解答过程可以看出，本题过程复杂，但我们可以把复杂的过程分解成多个我们熟知的模型，这是解决复杂问题的一般方法。一定要仔细分析物理过程，确定好关键的物理状态，认真分析每一过程

16、的特点(受力情况、能量转化情况等)，选择合适的规律解决。请同学们类比一下，本题的多个过程与我们熟悉的哪些模型类同。例5.(上海市高考)柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m,锤在桩帽以上高度为h处(如图4)从静止开始沿竖直轨Lr泥土桩桩锤mF=2.1x105N道自由落下，打在质量为M（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一距离

17、1。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h（如图5）。已知m=1.0X103kg，M=2.0X103kg，h=2.0m,1=0.20m,重力加速度g=10m/s2，混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。解答：锤自由下落，碰桩前速度v1向下,碰后，已知锤上升高度为（h-1），故刚碰后向上的速度为设碰后桩的速度为V方向向下，由动量守恒,mV1=MV-mV2二桩下降的过程中，根据功能关系，【达标测试】1.如图1所示，在光滑水平面上有两块木块A和B，质量均为m，B的左侧固定一轻质弹簧。开始时B静止，A以v速度向右运动与B发生无机械能损失的碰撞

18、，那么A与B碰撞0过程中（）A. 任意时刻，A、B系统的总动量应守恒B. 任意时亥I，A、B系统的总动能恒定不变C. 当弹簧压缩到最短长度时，A与B具有相同的速度D. 当弹簧恢复到原长时，A与B具有相同的速度?虑跳后的皿最高位置Iv2=2g(h-1)1MV2+Mgl=Fl由、式得柱帽F=Mg+严)2h-1+2Jh(hl)lM代入数值，得nri_-.-.-.图12. 质量为m的子弹以初速度v0水平射入一静止在光滑水平面上，质量为M的木块中，但并未穿透，则下述说法正确的是（）A. 子弹动能的增量等于子弹克服阻力做功的负值B. 子弹克服阻力做的功等于系统增加的内能C. 子弹克服阻力f做的功等于f的反

19、作用对木块做的功D. 子弹机械能的损失量等于木块获得的动能和系统损失的机械能之和3. 质量为6.0kg的物体A静止在水平桌面上，另一个质量为2.0kg的物体B以5.0m/s的水平速度与物体A相碰，碰撞后物体B以1.0m/s的速度反向弹回，则相碰撞过程中损失的机械能是J。4. 如图2所示，用长为L的轻绳系一个质量为M的木块制成一个冲击摆，质量为m的子弹以一定的水平速度射入摆内，摆及子弹一起向右摆动，最大摆角为。，试求子弹射入木块前的速度v多大？Z/5. 如图所示，一根长为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一个质量为m的小球。当小球处于最低位置时，获得一个水平初速度，要使小球能绕O点在竖直平面内做

20、圆周运动通过最高点，求水平初速度至少应多大？I+06. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0,如图所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m,仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。7. 在光滑的水平地面上停着一辆质量为M的玩具小车，它顶端的粗糙的平台A的左边缘和与其上表面等高的光滑桌面紧挨着，桌面上的一个质量为m的小物体C以与桌边缘垂直的速度v滑来

21、，滑上平台A后，又从A的右边缘滑出落在车的底面B上并与车粘在一起。已知A的上表面和车底的竖直距离为ho（1）求上述整个过程中损失的机械能。（2）如C滑离平台时的速度vc，求C在B上的落点与平台A右边缘的水平距离。8. 小型高效等离子体发动机所用燃料不到化学燃料发动机的1/10，它可以使太空中的航天器获得动力，进入太阳系。在等离子体发动机中，有电极发射的电子撞击氙原子，使之电离，在加速电场的作用下，氙离子加速到很大的速度后从航天器尾部连续喷出，产生推力。假设装有等离子体发动机的航天器在太空中处于静止，航天器的总质量为M（在发射离子过程中质量可以认为不变）每个氙离子的质量为m、电量为q,加速电压为

22、U,等离子体发动机每秒向外喷射出的粒子数为n，发动机对离子做功的功率是多少？航天器获得的加速度是多少？【综合测试】1. 质量相等的物体分别在地球和月球上以相同的初动能做竖直上抛运动，则它们（）A. 上升过程所受冲量相同B. 上升过程重力做功的平均功率相同C. 上升过程中平均速度v相同D. 在最高点时势能相同2. 质量为1kg的物体从静止开始下落，经过3s的时间落地，落地时速度大小为10m/so若取g=10m/s，那么下列判断正确的是（）A. 重力对物体做功为150JB. 物体的机械能减少100JC. 物体克服阻力做功为50JD. 阻力对物体的冲量大小为20Ns3. 如图所示，在光滑水平面上，有

23、质量分别为3m和m的a、b两物体，a与轻弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在墙上，开始弹簧处于原长。b以速度vo与a发生正碰，碰后两物体以相同的速度压缩弹簧。当弹簧被压缩到最短时，它具有的弹性势能为（B）A.mv02/2B.mv0/8C. mv02/4D.mv02/164. 长木板A放在光滑水平面上，质量为m的物体B以水平初速度v。滑上A的表面，它们的速度图象如图所示，则从图中可以求得（）A. 木板获得的动能B. 系统损失的机械能C. 木板的长度D. A、B之间的动摩擦因数5. 质量为4.0kg的物体A静止在水平桌面上，另一个质量为2.0kg的物体B以5.0m/s的水平速度与物体A相撞，碰撞后物体

24、B以1.0m/s的速度反向弹回。相碰过程中，损失的机械能是J。6. 质量都是1kg的物体A、B间用一轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上，现使B物体靠在墙上，用力推物体A压缩弹簧，如图所示，这个过程中外力做功8J。待系统静止后突然撤去外力。从撤去外力到弹簧第一次恢复到原长的过程中墙对物体B的冲量大小是Ns。当A、B间的距离最大时，B物体的速度大小是m/s。*AWWWB7. 如图所示，在光滑的水平面上，依次有质量为m、2m、3m10m的10个小球，排成一条直线，彼此间有一定的距离。开始时后面的九个小球是静止的，第一个小球以初速度v。向着第二个小球碰去，结果它们先后全部粘合在一起向前运动。由于连续地碰

25、撞，系统损失的机械能为。8. 如图所示，在光滑的水平杆上套着一个质量为m的滑环，滑环上通过一根不可伸缩的轻绳悬吊着质量为M的物体（可视为质点），绳长为L,将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆，若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度。9. 如图所示，在光滑地面上并放两个相同的木块，长度皆为L=1.00m,在左边木块的左上端放一小金属块，它的质量和一个木块的质量相等，现令小金属块以初速度v=2.00m/s开始向右滑动，金属块与木块间的动摩擦因数卩=0.10，取g=10m/s2,求右边木块的最后速度。*10.如图所示，在一根跨过定滑轮的轻绳的两端分别系有重

26、物B和质量M=25kg的升降厢A,厢中站有一个质量m=50kg的人，整个装置处于静止。如果人在地面上消耗某一定能量E竖直向上跳起，所能达到的最大高度h=0.3m。如果此人在厢内消耗相同的能量竖直向上跳起，求：/（1）此人所能上升的最大（对地）高度H；（2）此人在厢内达到最大（对地）高度H时，距厢底板的高度h。忽略空气的阻力、滑轮的质量及轴处摩擦，假定绳与滑轮间不打滑。达标测试答案】1.AC2.AD3.12M+m4. 2gL(1-cos9)m5. 提示：小球在线拉力T和重力mg作用下，绕O点做竖直面内的变速率圆周运动。由于拉力不做功，机械能守恒，取小球在最低点时的重力势能为零，有11mv2+0=mv2+mg21202小球在最高点时受重力mg与拉力T的作用，两力方向均竖直向下。根据牛顿第二定律有V2T+mg=m1/V0Pg1由两式得v=：gl，代入得答案：vo=重力mg恒定，v越小，T也越小。v最小的条件为T=06.提示：物块与钢板碰撞时的速度设v1表