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文档简介

1、第二节 Lesbesgue性质(P112.)第五章 积分论L积分的7大性质()()()|() |()()fxfxfxfxfxfx零集上的任何函数的积分为0|( )|( )|EEf x dxf x dx f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且xdxgdxxfxgxfEE)()()()(，则若 单调性:dxxfdxxfxdxgdxxfdxxgxfEEEEE)()()()()()(线形:(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E 0| )(|dxxfE0)(xf0010| 0| nnffnmEmEmEmE，从而可得nnEEEEEmEdxxfdxxfdxxfdx

2、xfnnn1| )(| )(| )(| )(|0从| 1nfnEE令nnfEE10| 且证明：则En为可测集,即f(x)=0 a.e.于E。( 0 1/n用到了积分的可加性(6) 若f可积，则f几乎处处有限.| |nfnEE令证明：lim0nnmE 所 以dxxfdxxfmEnEEnn| )(| )(|对每个n，有0lim)lim()(1|nnnnnnfmEEmEmmE从而|1,limfnnnnEEE 123则EEE且321EEE则(7)积分的绝对连续性(P114.)说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。, 0, 0,时当meEedxxfdxxfee|

3、 )(|)(| 若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.积分的绝对连续性的证明MeeeeMMdxdxfdxfdxfmeEe222)|(|时，且，则当令|)(|)(0 xfx 且上简单函数，为ExdxxdxxfEE)(:)(sup| )(|证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意，存在E上的简单函数(x) ，22( )|( )|( ),(|( )|( )EEEEx dxf x dxx dxf xx dx故有且|,)(|)(0 xfx 使在E上由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|MiniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1分割值域xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(分割定义域Riemann积分例1. 设fn(x)为E上非负可测函数列，EfdxxfnEnn于，则若00)(lim0)()()(nfEnfEnEnfmEdxxfdxxfdxxfnn有证

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