等差、等比数列以及数列求和专题

1、§6.2等差数列课程目标理解等差数列的概念;1. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；2. 了解等差数列与一次函数的关系.二知识梳理定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an+1an=d（nN,d为常数），或anan1=d（n丝，d为常数）.通项公式若等差数列an的首项是ai,公差是d,则其通项公式为an=ai+(n1)d.1. 前n项和公式等差数列的前n项和公式：Sn=na1-n(

2、ni)d=an)其中nN*,ai为首项，2d为公差，an为第n项).3.等差数列的常用性质已知数列an是等差数列，S是an的前n项和.(1) 通项公式的推广：an二am，(n_m)d(n,m：=N*)(2) 若耐n=p+q(mn,p,qN)，则有aaaaq。特别的，当m+n=2p时，aman=2ap(3) 等差数列an的单调性：当d>0时，an是递增数列；当dv0时，an是递减数列；当d=0时，an是常数列.(4) 若an是等差数列，公差为d,贝yak,ak+m,ak+2m(k,肚N)是公差为md的等差数列.(5) 若an,bn是等差数列，则panqbn仍是等差数列.2. 与等差数列各项

3、和相关的性质(1)若an是等差数列，贝叫蛍也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为an的n1公差的丄。2(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m_S2m也是等差数列(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。a.若项数为2n，则S禺-S奇二nd,S吕禺b.若项数为2n-1,则S禺二n(n-1)an,S奇二nan,S偶(4)若两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn,则色bnT2n/3. 等差数列的前n项和公式与函数的关系：d2d2(1) Sn2(a-)n，数列an是等差数列？$=An+Bn(A,B为常数).(2) 在等差数列an中，a1>0,dv0,贝US存在最大值；若av0,d

4、>0,贝US存在最小值.考点梳理等差数列的概念及运算例1.(2016全国I卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则aeo=()例2.设等差数列an的前n项和为S,Sb=6,S=12,则$=练习1.(2015全国I卷)已知an是公差为1的等差数列，S为an的前n项和.若$=4S,则a10等于()171922等差数列的性质例1.（2015全国n卷）设S是等差数列an的前n项和，若ai+a3+as=3,贝U0=（）例2.设等差数列an的前n项和为S,若S3=9,$=36,贝Ua?+a*+ao等于（）例3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390，则

5、这个数列的项数为（）例4.（2015广东卷）在等差数列an中，若a3+a4+as+a6+a7=25,贝Va2+a8=例5.（2016武汉调研）已知数列an是等差数列，a1+a7=8,a2=2，则数列an的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4例6.设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有7=?二3则Tn4n3_ag_b5+b7_ag_b5+b7_as_b8+b4的值为等差数列与函数例1.等差数列an的前n项和为S,已知a1=13,S=S1，当$最大时，n的值是（）a69例2.设等差数列an的前n项和为S,a1>0且一=一，则当S取最大值时，n的值为（）a511

6、例3.已知等差数列an满足ai+a2+as+-+aioi=0，则有()A.ai+aioi>0B.A.ai+aioi>0B.a2+aiooV0C.a3+a99=0D.a5i=51例4.已知正项等差数列an的前n项和为S,若S2=24,则a6a7的最大值为()例5.设Sn是公差为d(d=0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()若d<0，则数列Sn有最大项A. 若数列Sn有最大项，则d<0若数列Sn为递增数列，则对任意nN*，均有Sn>0B. 若对任意N*，均有Sn>0,则数列Sn为递增数列例6.设等差数列an满足a2=7,a4=3,S是数列an的

7、前n项和，则使得S>0成立的最大的自然数n是()A.9B.10C.11D.12方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1) 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和S=Ar2+Bn(A,B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.§6.3等比数列一课程目标理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；1. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题;了解等比数列与指数函数的关系.二知识梳理等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零

8、常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q老）表示.数学语言表达式：q（n丝，q为非零常数），或一q（nN,q为非零常数）.ch1an如果三个数a,Gb成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±ab.等比数列的通项公式及前n项和公式n一1（1）若等比数列a“的首项为ai，公比是q,则其通项公式为an=aiq;通项公式的推广：nmanamq.等比数列的前a1(1qn)a1anqn项和公式：当q1时，Sna；当q为时，Sy1q1q3.等比数列的性质已知an是等比数列，S是数列an的前n项和.(1)若k+I=n(k,l,mnN)，则有akai=

9、aman.数列can(c式0),an,anbn(bn是等比数列)，a；,等也是等比数列。相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,ak+m,ak+；m,仍是等比数列，公比为mq.当q=1,或q=1且n为奇数时，S,SnS,&一&仍成等比数列，其公比为qn.等比数列an的单调性：当q>1,a0或0vqv1,av0时，数列an是递增数列；当q>1,a1v0或0vqv1,a>0时，数列an是递减数列；当q=1时，数列an是常数列.（6）当n是偶数时，S偶S奇q；当n为奇数时，S奇=a1S偶q三考点梳理等比数列的概念及运算5例1.在单调递减的等比数列an中，若a3

10、=1,a2a,则a1=（）2例2.公比不为1的等比数列an满足a5a6-a4a?=18，若a1a9，则m的值为（）例3.（2015全国I卷）在数列an中，a1=2,an+1=2an,S为an的前n项和.若S=126,贝Hn=.1. 等比数列的性质例1.（2016全国I卷）设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5，贝Uaa?an的最大值为例2.设等比数列an的前n项和为S,若=3，则|=()78A.2B.3C.3D.3例3.(2015全国n卷)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a?=()例4.设各项都是正数的等比数列an，&为前n项和，且S10=1

11、0,$。=70,那么S。等于（）A.150B.200C.150或200D.400或50例5.在正项等比数列an中，已知ai&a3=4,a4asa6=12,anianan+1=324,则n等于()例6.数列an中，已知对任意nN,ai+a2+as+an=3n1,则a2+a2+a3+a?等于()A.(3n1)2B.；(9n1)C.9n1D.4(3n1)例7.在等比数列an中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是.例8.已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN)，且比+a4+a6=9,则g1(a5+a7+a9)3的值是（）A.5B例9.在各项均为正数的等比数列an中，比二

12、、2-1,a5=.21，则a；2a?a6asa?=D.8-4.2()A.8B例10.若等比数列an的前n项均为正数，且a10a11-a9a12=2e5，则Ina1+Ina2+lna2o=.£.3数列求和一. 课程目标：1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法二. 知识梳理求数列的前n项和的方法(1) 公式法等差数列的前n项和公式_n(ai+an(n1)S=2=na1+2d. 等比数列的前n项和公式(i)当q=1时，Sn=na1；a1(1q)a1anq(ii)当q为时，Sn=-一=.1q1q分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化

13、为几个等差、等比数列，再求解裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广错位相减法即等比数列求和主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，公式的推导过程的推广.1. 常见的裂项公式(1)(1)1_1_1n(n1)nn11(2n-1)(2n1)12n1_f=Jn+1_你.nrn1三. 考点梳理求数列的通项公式。1*2例1.已知数列an满足ai=1,an书=1,其中nN.设bn=,求证：数列bn4an2a1是等差数列，并求出an的通项公式；2 3a1例2.已知数列an满足a1=-,an

14、+1=n,nN+.求证：数列一-2是等比数列，并74an+1an且求出数列an的通项公式；1例3.已知数列an的前n项和为Sn,a1,SSn4anJ-(nN*且n2),数列bn237*满足：0=-一，且3bnbn=n+1(nN且n支).4(I)求数列an的通项公式；(n)求证：数列bn-a.为等比数列；例4.在数列an中，已知&=1,a3,an2=2an1-2an.证明数列a.r-an是等比数列，并求数列an的通项公式；例5.数列an满足a2,2n1an_2na.1二(nN*)。设bn:(n1)%2nan2求数列0的通项公式。例6.数列an满足a-=2,a-a2a3=12，且a2an-

15、an0(n?N*)。(1)求数列an的通项公式；4n1令bn=+2nan,求数列bn的前n项和.anan+3 752例7.数列an中，a1,a2，且an.2andan(nN*).3333(1) 求a3,a4;(2) 求数列an的通项公式；求通项公式的方法： 利用Sn1-Sn=an；根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差、等比数列的通项公式反推出原数列的通项公式；2的步骤 如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照进行反推。1. 数列求和(1)分组转化法若数列Cn的通项公式为Cn=an_bn，且an,bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列Cn的前n项和.Ia

16、n,n为奇数， 若数列Cn的通项公式为Cn=其中数列an,g是等比数列或等差数bn,n为偶数，列，可采用分组求和法求an的前n项和.1a1例1.在数列an中，已知a1,n1,bn2=3log1an(N*).4an44(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等差数列；(3)设数列Cn满足Cn=anbn，求Cn的前n项和Sn.*112例2.已知an是等比数列，前n项和为S(nN)，且，S6-63.a1a2a3(1)求an的通项公式；若对任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(T)nb；的前2n项和.11111项和S的值等于（例3.数列12,34，58,716,-

17、，(2n1)+2n,的前n)2,1-2,1A.n+1n2B.2nn+1-n22,12,1C.n+12n"1D.nn+12n例4.数列an的通项公式an二ncos，其前n项和为S,贝yS2等于（）A.1008B.2016（2）裂项相消法： 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. 将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.2例1.（2015全国I卷）S为数列an的前n项和.已知an>0,an+2an=4$+3.（1）求an的通项公式；1设bn=，求数列bn的前n项和.anan

18、+1例2.设S为等差数列an的前n项和，已知a7,a*2as=3.(1)求an；1设bn=S，求数列bn的前n项和为Tn.1例3.已知数列an的前n项和S=an-()n-1+2(nN)，数列bn满足bn=2nan.2(1)求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；,n225*(2)设Cn=log2，数列的前n项和为Tn,求满足TnV(nN)的n的最anCnCn4221大值.例4.已知数列an的前n项和为Sn,ai=1，且an+i=2S+1,nN?.(1)求数列an的通项公式；(2)令c=log1?3a2n,bn=，记数列bn的前n项和为Tn,若对任意nN,入VTn恒cncn42成立，求实数入的取值范围.(3) 错位相减法：一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解。在写出s”与qs”的表达式时应特别注意将两式错项对齐”以便下一步准确写出sqS”的表达式.例1.已知等差数列an的前n项和S满足S3=6,$=15.(1)求an的通项公式；a设bn=，求数列b