2.3数学归纳法学案

1、编写：朱家锋校对：高二数学备课组一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；(2) (归纳递推)假设 n=k(k三 n0,kWN*)时命题成立，证明当 n=k+l 时命题也成立。只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立。 这种证明方法叫做数学归纳法。可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。2、数学归纳法证明命题的类型与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整

2、除性问题等等。三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中 n0一定等于 1吗？例 3平面内有 n(nGN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点， 且每三个圆都不相交于同一点， 求证这n 个圆把平面分成n2-n+2个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例 4、用数学归纳法证明 32n+28n9CGN)能被 64整除.六、强化训练1.用数学归纳法证明“1+x+x2xn+1=(x丰1nGN)”成立时，验证n=1的过程中1-x左边的式子是()2、为什么可以先假设 n=k(kn0,kN*)时命题成立？“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明 n=k+1时命题成立时，必须用上 n=k时的假设，否则

3、第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从 n=k+1的式子中分离出 n=k时的式子，或将 n=k+1的情况用 n=k的情况表示。2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定 n=1时及 n=k变化到 n=k+1“和”或“积”的情况。五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式1例 1、例 1 数学归纳法证明 13+23+33n3=n2(n+1)24题型五归纳、猜想、证明例 5.是否存在常数a，b，c使等式122+232+342+n(n+1)2明你的结论。n(n+)=应2+bn+c丿对一切自然数n都成立，并证(A)1(B)1+x(C)1+x+x2(D)1+x+x2+x3

4、X2题型二、用数学归纳法证明不等式例 2、归纳法证明-1-+-1-+-1-+3-10(n1,且nGN).n+1n+2n+33n102某个命题与自然数n有关，如果当n=kCeN)时成立那么可推得 n=k+i 时该命题也成立.现已 A.p(n)对所有自然数n成立 B.p(n)对所有正偶数n成立正确的是)知当n=5时，该命题不成立，那么可推得()C.p(n)对所有正奇数n成立D.p(n)对所有大于 1 的自然数n成立(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6 时该命题成立(D)当n=4时该命题成立(C)当n=4 时该命题不成立ii3.数学归纳法证明 i+HbVn(ni)的过程中，第二步证明从n=k到

5、n=k+i232ni成立时，左边增加m个项，则m等于()(D)2kbi4.数学归纳法证明(n+i)(n+2)(n+n)=2n-i-3(2ni)CeN)时，证明从n=k到n=k(A)2ki(B)2ki(C)2k+1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以2k2(C)-k+1n(A)2k2(B)(2ki)(2k2)9.用数学归纳法证明34n+i+52n+i(neN)能被 8整除时，当 n=k+1 1 时，对于 3 讯k+i)+i+52(k+i)+i可变形A.56*34k+1+25(34k+1+52k+1)B.34*34k+1+52*52kC.34k+1+52k+1D.25(34k+1+52k

6、+1)10证明旦+三+L+兰=四也,neN*1-33-5(2n-1)(2n+1)2(2n+1)n25.已知f(n)()(2k+1)(2k+2)(D)Tk+1)，证明不等式f(n)n时,f(2k+i)比f(2k)多的项数()1111口求证：i+4+L+右n，neN*A.2k16.用数学归纳法证明1丄+1+A+234应添加的项为(A)2k+112k+iC.2kD.2k+i7.Sk(A)(C)1+A2n12nn+1n+2+丄(neN)，则从k到k+i时，左边2n12.平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们f(n)=2n(n1)个交点(2)互相分割成g(n)=n2条线段h(n)

7、=n(n+1)+1个部分。2(i)共有3)把平面分割成i5.用数学归纳法证明：(3n+1)7ni(neN)能被 9整除+12k+212k+22k+4+A+(k=1,2,3,A),贝VSk1k+1k+2k+32kk+1Sk+Sk+(B)12(k+1)(C)2k+2()(B)Sk+2k+2k+ii6.是否存在常数a,b,c使等式i-(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)二an4+bn2+c对一切正整数n都成立？证明你的结论。12k+12k+2(D)Sk+i+2k+i2k+28如果命题p(n)对n二k成立， 那么它对n二k+2也成立， 又若p(n)对n二2成立,则下列结论17.数列a的前n项和S二2n-a