第二节中心极限定理

1、 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形成的因素的综合（或和）影响所形成的. 例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机变量和）每个随机因素对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布？那么弹着点服从怎样分布？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合

2、影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.高斯高斯 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题的规律性问题. 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？1 .iniiXXXX 如如果果将将研研究究对

3、对象象的的整整体体设设为为 ，影影响响因因素素为为，根根据据因因素素间间独独立立与与共共同同作作用用的的本本质质属属性性，可可以以得得出出在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？111() ()考考虑虑利利用用标标准准化化因因子子nniiiinniiXEXYDX 111111()1()()0()()nniinniiniinniiiiiiXEXEYEEXEXDXDX 111111()1()1()()nniinniiniinniiiiiiXEXDYDDXEXDXDX 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限

4、定理分布这一类定理都叫做中心极限定理.1111 ()()niinniiiinniiXXXEXYDX 所所以以，欲欲求求随随机机变变量量的的分分布布，先先求求标标准准化化因因子子的的分分布布情情况况. .nY讨讨论论的的极极限限分分布布是是否否为为标标准准正正态态分分布布. .1. 李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyapunov)定理定理2211112112 (1,2,), , 1,2,()limlim()1( )2iiiiinnnniiiiiiiinnnniiiitxXiEXDXiXEXXPxPxDXedtx 独独立立设设随随机机变变量量序序列列相相互互，则则注意：注意：11. niinXYn 定定理

5、理中中随随机机变变量量之之和和及及其其标标准准化化变变量量在在 很很大大时时，分分别别近近似似服服从从12. .iniiXXn 随随机机变变量量无无论论服服从从什什么么分分布布，只只要要满满足足定定理理条条件件，随随机机变变量量之之和和，当当 很很大大时时，就就近近似似服服从从正正态态分分布布，这这就就是是为为什什么么正正态态分分布布在在概概率率论论中中所所占占的的重重要要地地位位的的一一个个基基本本原原因因2111( )nnniiiiiiXN近近似似，1121(0 1)nniiiiniiXN 近近似似， 对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其约束条件

6、改为约束条件改为独立同分布独立同分布，即，即2, , 1,2,iiEXDXi ，则则11121()limlim()( )nnniiiiiinnniiXEXXnPxPxnDXx 林德贝尔格林德贝尔格勒维勒维 中心极限定理中心极限定理2. 2. 林德贝尔格勒维（林德贝尔格勒维（LindebergLindeberg-Levy-Levy）定理）定理22111212 (1,2,), , 1,2,()limlim()1( )2iiinnniiiiiinnniitxXiEXDXiXEXXnPxPxnDXedtx 设设随随机机变变量量序序独独立立同同分分，布布列列，则则12111. (,)(0, 1)niin

7、iniiiXnXN n nNnnX 近近似似近近似似定定理理表表明明，独独立立同同分分布布随随机机变变量量之之和和，当当 充充分分大大时时，随随机机变变量量之之和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别有有22. ( ,) (0,1)XXN nNn 近近似似近近似似独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写为为11()() ()()niniiiXnanbnP aXbPnnnbnannn 1111()() ()()niniiiXabnP aXbPnnnnbann 例例1 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中次轰炸，每次轰炸命中目标的炸

8、弹数目是随机变量，其期望为目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为，方差为1.69.求在求在100次轰炸中有次轰炸中有180颗至颗至220颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.解：解：设设Xi - -第第i次轰炸命中目标的炸弹数，次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, ,100则则100次轰炸命中目标的炸弹总数为次轰炸命中目标的炸弹总数为iiXX 1001依题意，依题意，iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X1001001110010011()()()200()()()169例例1 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹

9、数目是随机变量，其期望为目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为，方差为1.69.求在求在100次轰炸中有次轰炸中有180颗至颗至220颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.由中心极限定理由中心极限定理, (200,169)XN近近似似于是，于是，(180220)PX180200200220200()131313XP2020020()131313XP 2020()()0.876441313 例例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则. 为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设误差误差 . 若一

10、项计算中进行了若一项计算中进行了100次数字运次数字运算，求平均误差落入算，求平均误差落入 上的概率上的概率.XU 1 1, 2 2 33,2020解：解：设设Xi - -第第i次运算中产生的误差，次运算中产生的误差，i=1,2, ,100则诸则诸Xi 独立，服从独立，服从 ，1 1, 2 2iXU 100次运算的平均误差为次运算的平均误差为iiXX 10011100()(),()(),iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X100100111001002111101001001111001001200于是，于是，依题意，依题意，由中心极限定理由中心极限定理, 1(0,)1200近似X

11、N3333()(10 1210 12)202020201/10 12( 33)(3)( 3)2 (3) 10.99731/10 12XPXPXP 对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将其约束条件改为其约束条件改为独立同独立同0-1分布分布，即，即1(1, ), , 1,2,niiAiiiXBpXnEXp DXpq i ，111()limlim()( )nniiiiAnnniiXEXnnpPxPxnpqDXx 拉普拉斯拉普拉斯 中心极限定理中心极限定理3. 3. 棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De De MoivreMoivre-Laplace-Lap

12、lace）定理）定理211112 (1,2,)(1, ), , 1,2,() limlim()1 ( )2iniiiiAinniiiiAnnniitxXiXBp EXp DXpq iXnXEXnnpPxPxnpqDXedtx 独独立立同同0-0-设设随随机机变变量量序序列列，布布即即，分分，1 1定理表明定理表明: : 二项分布的极限分布是正态分布二项分布的极限分布是正态分布 在在n重贝努利试验中，描述重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机事件发生次数的随机变量服从二项分布变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极当试验次数较多时，根据中心极限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即限

13、定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即1( , ),(1, ), ,niiAiiiXB n pXBpXXnEXp DXpq ()() ()()anpXnpbnpP aXbPnpqnpqnpqbnpanpnpqnpq 例例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的工作时间的80%. 求任一时刻有求任一时刻有70至至86台车床工作的台车床工作的概率概率. .解：解：则则iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X1001001110010011()()()80()()()160, 1,2,1001, iiXii 第第 台台床床不不工工作作

14、设设第第 台台床床工工作作iXB(1,0.8)依题意，依题意，例例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的工作时间的80%. 求任一时刻有求任一时刻有70至至86台车床工作的台车床工作的概率概率. .由中心极限定理由中心极限定理, 1001(80,16)iiXXN 近近似似于是，于是，7080808680(7086)()444580335()( )()0.972724222XPXPXP 1. 标准化因子标准化因子111()()nniiiinniiXEXYDX 01.nnEYDY， 中心极限定理其实是描述的随机变量序列和，中心极限定理其实是

15、描述的随机变量序列和，经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布.2. 中心极限定理的内容中心极限定理的内容111 ( )nnniiiiiiXN EXDX近近似似，从从而而111()(0 1 )()nniiiiniiXEXNDX 近近似似，即即01iX 独独立立李李雅雅普普诺诺夫夫中中心心极极限限定定理理相相互互独独立立的的独独立立同同分分布布勒勒维维中中心心极极限限定定理理独独立立同同分分布布拉拉普普拉拉斯斯中中心心极极限限定定理理111111()(0 1)() ()()nniinnniiniiiniiiiiXEXYNXN EXDXDX 近近似似近近似似，2111( )nnniiiiiiiXXN近近似似独独立立，22111( ), ( )nniiiiiXXN nnXXNnn 近近似似近近似似独独立立同同分分布布，10-1( )niiAiXXnN np npq 近近似似独独立立同同分分布布， 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为为100小时的指数分布小时的指数分布. 现随机地取现随机地取16只，设它们的只，设它们的寿命是相互独立的寿命是相互独立的. 求这求这16只元件的寿命的总和大只元件的寿命的总和大于于1920小时的概率小时的概率.由题给