第三章向量组的线性关系与秩

1、 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院第三讲第三讲 向量组的线性关系与秩向量组的线性关系与秩 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院考试大纲要求考试大纲要求（一）考试内容（一）考试内容向量的概念；向量的概念； 向量的线性组合和线性表示；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的等价； 向量组的线性相关性；向量组的线性相关性；向量组的极大无关组和秩；向量组的极大无关组和秩； 矩阵的秩。矩阵的秩。 联合班联合班线性代数教案线性代数教

2、案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院（二）考试要求（二）考试要求1、理解理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性维向量的概念，向量的线性组合和线性表示。表示。了解了解向量组等价的概念。向量组等价的概念。2、理解理解向量组的线性相关和线性无关的定义，向量组的线性相关和线性无关的定义，了解了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关并会用向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法。性质及判别法。3、理解理解向量组的极大无关组和秩的概念，向量组的极大无关组和秩的概念，理解理解矩阵矩阵的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会会求矩阵的求矩阵的秩及向量组的极大无

3、关组和秩。秩及向量组的极大无关组和秩。本章的理论本章的理论基础基础 线性表示线性表示 线性相关性线性相关性 极大无关组和秩极大无关组和秩 矩阵的秩矩阵的秩4、理解理解向量组等价的概念，向量组等价的概念，理解理解矩阵的秩与其行矩阵的秩与其行(列列)向量组的秩之间的关系。向量组的秩之间的关系。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院1、向量、向量 由由n个数组成的有序数组称为一个个数组成的有序数组称为一个n维向量维向量，这，这些数为它的些数为它的分量分量。向量可表示成向量可表示成12,na aa12naaa或或作为作为向量向量，它们没有，它们没有区别区别，但

4、是作为，但是作为矩阵矩阵它们是它们是不不同的同的！ 通常把它们分别称为通常把它们分别称为行向量行向量和和列向量列向量。一、基本概念一、基本概念 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院一个一个 的矩阵的每一行是一个的矩阵的每一行是一个n维向量，称为维向量，称为它的它的行向量行向量；每一列是一个；每一列是一个m维向量，称为它的维向量，称为它的列列向量向量。常常用矩阵的。常常用矩阵的列向量列向量组来写出矩阵。组来写出矩阵。m n111212122212nnnnnnaaaaaaaaa例如当矩阵的列向量为例如当矩阵的列向量为 时，记为时，记为12,n 12,nA

5、矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等，矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等，零向量等等。零向量等等。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院2、线性运算和线性组合、线性运算和线性组合向量组的线性组合向量组的线性组合s,21 设设 是一组是一组n维向量，维向量， 是一是一组数，则称组数，则称12,sc ccssccc2211为为 的的线性组合线性组合，它也是，它也是n维向量。维向量。s,21 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院二、二、 线性表示线性表示 设设 是一个是一个n维向量组维向量组.12,s 1.

6、 n维向量维向量 可用可用 表示，即表示，即 是是 的一个线性组合，也就是说存在数组的一个线性组合，也就是说存在数组 使得使得12,s 12,s 12,sc cc1122ssccc例如例如 cba1100 2010 3001 则则123abc 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院又如又如 cba1100 2010 3110 看看c,c 0,则不能表示则不能表示, c=0, 则则 12ab或或13abb 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院问题是问题是:判断判断 可否用可否用 线性表示线性表示? 表示表示方式是否

7、唯一？方式是否唯一？”这也就是问：向量方程这也就是问：向量方程12,s 1122ssxxx是否有解？解是否唯一？是否有解？解是否唯一？ 设设 则此向量方程就是则此向量方程就是 .12,sA AX反过来反过来,判别判别“以以 为增广矩阵的线性方程组是否为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？有解？解是否唯一？”的问题又可转化为的问题又可转化为“ 是否可是否可以用以用A的列向量组线性表示的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？表示方式是否唯一？”的问题的问题.A 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 如果向量组如果向量组 可以用可以用 线性线性表示表示

8、,则矩阵则矩阵 可可分解分解为为矩阵矩阵 和和一个一个矩阵矩阵C的的乘积乘积。 12,s 12,t 12,s 12,t 2.如果如果n维向量组维向量组 中的每一个都可以用中的每一个都可以用12,s 12,s 12,s 12,s 线性表示线性表示,就说向量组就说向量组 可以可以用用 线性表示线性表示. 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例如例如 1122233312,23,3则则 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3) 330022101 一般地一般地C可以这样构造可以这样构造: 它的第它的第i个列向量个列向量 就是对就是对i12,s 12,t 的

9、分解系数的分解系数.称称C为为 对对12,s 的一个表示矩阵的一个表示矩阵. (C不是唯一的不是唯一的)记号记号: 可以表示可以表示 不可以表示不可以表示 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 3等价关系等价关系：如果：如果 与与 互相可互相可表示表示s,21t,21ts,2121就称它们就称它们等价等价，记作，记作 ts,2121 向量组的线性表示关系有传递性向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组即如果向量组12,s 12,t 12,r 12,s 12,t 可以用可以用 线性表示线性表示,而而 可以用可以用 线性表示线性表示,则则 可以用可以用1

10、2,r 线性表示线性表示.等价关系也有传递性等价关系也有传递性. 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院三、三、 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 意义和定义意义和定义-从三个方面看线性相关性从三个方面看线性相关性 如果向量组如果向量组 中有向量可以用其它的中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示个向量线性表示,就说就说 线性相关线性相关. 12,s 12,s 如果向量组如果向量组 中每个向量都不可以用其中每个向量都不可以用其它的它的s-1个向量线性表示个向量线性表示,就说就说 线性无关线性无关.12,s 12,s 0011a0102a1003a如

11、如线性无关。线性无关。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如如123123,aa a abb b b112233,bca bca bca线性相关线性相关,不妨设不妨设 ，即，即bca0011a0102a1003a1014a线性相关。线性相关。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 2、定义、定义 设设 是是n维向量组维向量组,如果存在不如果存在不全为全为0的一组数的一组数 使得使得 s,21sccc,2102211ssccc则

12、说则说 线性相关线性相关,否则就说它们线性无关否则就说它们线性无关.12,s 说明说明: 意义和定义是一致的意义和定义是一致的.比如设比如设 不为不为0,则则sc112121sssssscccccc 当向量组中只有一个向量当向量组中只有一个向量(s=1)时时,它相关它相关(无关无关)就就是它是是它是(不是不是)零向量零向量. 线性无关即要使得线性无关即要使得 必须必须 全为全为0.12,s sccc,2102211ssccc 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院02211ssccc3、 “线性相关还是无关线性相关还是无关”就是向量方程就是向量方程s,2

13、1“有没有非零解有没有非零解”.如果令如果令 ，则，则12,sA 线性相关线性相关(无关无关) 齐次方程组齐次方程组 AX=0有有非零解非零解(无非零解无非零解(只有零解只有零解).12,s n个个n维向量维向量 线性相关线性相关12,n 12,0n n个个n维向量维向量 线性无关线性无关12,n 12,0n 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院与线性相关性有关的性质：与线性相关性有关的性质： 线性相关线性相关 至少有一个至少有一个 可以用其可以用其他向量线性表示。他向量线性表示。12,s i线性无关向量组的每个部分组都无关。线性无关向量组的每个部分组

14、都无关。当向量的个数当向量的个数s大于维数大于维数n时，时， 一定线一定线性相关。性相关。12,s 例如若例如若 无关，则无关，则 一定无关。一定无关。 54321,421,如果如果 无关，而无关，而 相关，则相关，则s,21,21ss,21 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院当当 时，表示方式唯一时，表示方式唯一 无无关。（有唯一解）关。（有唯一解） s,1s1如果如果 可以用可以用 线性表示，并且线性表示，并且t s,则则 线性相关。线性相关。12,t s,2112,t 推论推论 如果两个线性无关的向量组互相等价，则它如果两个线性无关的向量组互相

15、等价，则它们包含的向量个数相等。们包含的向量个数相等。12,0s 表示方式不唯一表示方式不唯一 （有无穷解）（有无穷解） 相关相关s112,0s 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院A. 线性相关。线性相关。 C. 线性相关。线性相关。D. 线性无关。线性无关。 例例1设设 线性无关，而线性无关，而 线线性相关，性相关，C是任一常数，则（是任一常数，则（ ）,321,321c ,321B. 线性无关。线性无关。 c ,321c,321c,321D 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例2（07）设向量组）设向

16、量组 线性无关，则下列向线性无关，则下列向量组线性相关的是量组线性相关的是( )(A) (B)(C) (D) 123, 122331, 122331, 1223312,2,2 1223312,2,2 A 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院四、向量组的四、向量组的极大无关组极大无关组和和秩秩 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 1定义定义 的一个部分组的一个部分组 称为它的一个称为它的一个极大极大无关组无关组，如果满足：，如果满足：s,21 I i） 线性无关。线性无关。 ii） 再扩大就相关。再扩大就相关。

17、 I I就称就称(I)为为 的一个的一个极大无关组极大无关组.称称(I) 中所包中所包含向量的个数为含向量的个数为 的的秩秩。记作。记作s,21s,2112 ,sr 条件条件ii）可换为：任何）可换为：任何 都可用都可用 线性表示。也就线性表示。也就是是 与与 等价。等价。i I Is,21 如果如果 每个元素都是零向量，则规定其每个元素都是零向量，则规定其秩为秩为0。s,21 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院由定义可以看出，如果由定义可以看出，如果 ，则，则12,srk i ） 的每个含有的每个含有多于多于k个向量的部分组个向量的部分组相相关关。

18、12,s ii） 的每个含有的每个含有k个个向量的向量的无关无关部分组部分组一定是一定是极大无关极大无关组。组。12,s 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院秩有以下秩有以下性质性质： 无关无关 。s,2112 ,srs 12121, , ,sssrr 11111, , ,tsstsrr 11, ,tsrr ts,111111 , , ,ssttrrr 向量组的秩的计算方法：向量组的秩的计算方法： 阶梯形矩阵阶梯形矩阵B 行s,211 ,srB的非零行数。的非零行数。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院阶梯形

19、矩阵阶梯形矩阵 41020012510002300000如果有零行，则都在下面。如果有零行，则都在下面。各非零行的第一个非各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格元素的列号自上而下严格单调上升。（或各行左边连续出现单调上升。（或各行左边连续出现0的个数自上而的个数自上而下严格下严格单调上升单调上升，直到全为，直到全为0。）。）台角台角：各非零行第一个非：各非零行第一个非0元素所在位置。元素所在位置。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院简单阶梯形矩阵简单阶梯形矩阵（最简形矩阵）：（最简形矩阵）：（1）台角位置的元素都为）台角位置的元素都为1；是特殊的

20、阶梯形矩阵，是特殊的阶梯形矩阵，特点特点为：为：（2）台角正上方的元素都为）台角正上方的元素都为0。 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。简单阶梯形矩阵。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院0000023100015210020140000032000152100201419410034020213130120012022330001000122000000000000000231000213021081902101一个矩阵用一个矩阵用行初等变换行初等变换化得化得的的阶梯形矩阵不是唯一的阶梯

21、形矩阵不是唯一的，化出的化出的简单阶梯形矩阵是唯简单阶梯形矩阵是唯一的一的。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例3 (03四四)给定向量组给定向量组() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)当当a为何值时为何值时()和和()等价等价? a为何值时为何值时()和和()不等价不等价? 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例4（06）设）设 均为均为n维列向量，维列向量，A为为 矩矩阵，

22、下列选项正确的是（阵，下列选项正确的是（ ）(A)若若 线性相关，则线性相关，则 线性相关线性相关. (B)若若 线性相关，则线性相关，则 线性无关线性无关. (C) 若若 线性无关，则线性无关，则 线性相关线性相关. (D) 若若 线性无关，则线性无关，则 线性无关线性无关. 12,s m n12,s 12,s 12,s 12,s 12,sAAA12,sAAA12,sAAA12,sAAAA 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 例例5（05）已知）已知 ， ， ， 线性相关，并且线性相关，并且 ，求，求 。 1 , 1 , 1 , 2aa, 1 ,

23、2a, 1 , 2 , 31 , 2 , 3 , 4a1a12a 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例6（10）设）设 ，若由，若由 形形成的向量组的秩为，则成的向量组的秩为，则 。 a112,2011,0121321321,_a6 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 3有相同线性关系的向量组有相同线性关系的向量组 两个向量组若有相同个数的向量：两个向量组若有相同个数的向量：ss,2121并且向量方程并且向量方程0,2211ssxxx02211ssxxx同解同解，则称它们有，则称它们有相同的线性关系相同的

24、线性关系。 例如，当例如，当A经过经过初等行变换初等行变换化为化为B时，时，A的列向的列向量和量和B的列向量组有的列向量组有相同线性关系相同线性关系。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院它们它们对应的部分组对应的部分组有一样的线性相关性。有一样的线性相关性。 的对应部分组是的对应部分组是 ， 421,421,当两个向量组有当两个向量组有 相同的线性关相同的线性关系时，系时，1212,;,ss 若若 相关，有不全为相关，有不全为0的的 使得使得421,421,ccc0442211ccc 即即 是是 的解，的解，从而也是从而也是 的解，则有的解，则有0

25、, 0 , 0 ,421ccc02211ssxxx02211ssxxx0442211ccc124, 也相关。也相关。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 极大无关组相对应，从而极大无关组相对应，从而秩相等秩相等。 有相同的内在有相同的内在线性表示关系线性表示关系。 如如 421342132323 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例7设设1232,1,2,3,1,1,5,3,0, 1, 4, 3,TTT 451,0, 2, 1,1,2,9,8TT求求 ，找出一个极大无关组，找出一个极大无关组，并将其余向量

26、用线性无关组表示。并将其余向量用线性无关组表示。12345,r 21011111022542933318A极大无关组：极大无关组：1234512345124, 134, 125, 135, 或或或或或或11102032130001200000B 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院2101111102111020321325429000123331800000AB151003321010330001200000BC31212,33 51245123331212,33 512451233 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工

27、大学广州学院例例8（11）123,(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTT不能由不能由123,(1, ,1)(1,2,3)(1,3,5),TTTa线性表示。线性表示。（1）求）求 。a（2）将）将 由由 线性表出。线性表出。123, 123, 1a 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院五、矩阵的秩五、矩阵的秩1. 定义定义 一个矩阵一个矩阵A的的行行向量组的秩和向量组的秩和列列向量组的向量组的秩相秩相等等,称此数为矩阵称此数为矩阵A的秩的秩,记作记作r(A). 在在mn矩阵矩阵A中，任取中，任取k行行k列列( )，位于这些行列交叉处的位于这些行

28、列交叉处的 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的的k阶子式阶子式。,km kn2k 设在矩阵设在矩阵A中有一个不等于中有一个不等于0的的r阶子式阶子式D，且，且所有所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于阶子式（如果存在的话）全等于0，那么，那么D称为矩阵称为矩阵A的的最高阶非零子最高阶非零子式，数式，数r称为矩阵称为矩阵A的的秩秩，记作，记作r(A)。并规定。并规定零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于0。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院10312130212172

29、54214010A 行0000001000313302130110302011010001000000C 行 A的的行行向量组的向量组的秩秩=C的的行行向量组的向量组的秩秩= C的的列列向量组的向量组的秩秩=A的列向量组的的列向量组的秩秩 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 2矩阵的秩的简单矩阵的秩的简单性质性质 nmAr,min0 00AAr若矩阵若矩阵A为为m n 矩阵，则矩阵，则 mAr如果如果 ，则，则A行满秩行满秩；如果如果 ，则，则A列满秩列满秩； nAr对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果，如果 ，则，则A满秩满秩。 nArA满秩满秩 的行（

30、列）向量组的行（列）向量组线性无关线性无关。 A0 AA可逆可逆 只有零解只有零解， 唯一唯一解。解。 0 AxAx命题命题 初等变换初等变换保持保持矩阵的矩阵的秩秩。 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院 3矩阵秩的矩阵秩的性质性质 ArArT 时，时， 0c ArcAr BrArBAr BrArABr,minA可逆时，可逆时， BrABrB可逆时，可逆时， ArABr BrABrABAB1 ABrBrA可逆时，可逆时，于是于是 BrABr证：证： 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例9(99) 设设A是

31、是mn矩阵，矩阵，B是是nm矩阵，则（矩阵，则（ ）A. 当当 时，时，B.当当 时，时，C.当当 时，时，D.当当 时，时，mnnm0AB 0AB 0AB mnnm0AB B例例10（08数一数一）设）设 为为3维列向量，矩阵维列向量，矩阵证明：证明：()秩秩 ；()若若 线性相关，则线性相关，则 。, TTA =+ ( )2rA, ( )2rA 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院若若 ，则，则 （A的列数，的列数，B的行的行数）数）ABO r Ar Bn矩阵的矩阵的等价等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就

32、称就称它们它们等价等价. 矩阵的矩阵的等价等价的充分必要条件为它们的充分必要条件为它们类类型相同型相同,秩相等秩相等. 联合班联合班线性代数教案线性代数教案 华南理工大学广州学院华南理工大学广州学院例例11（04）设）设A,B为满足为满足AB=O的任意两个非零矩阵，的任意两个非零矩阵，则必有则必有( )(A)A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关的行向量组线性相关. (B)A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关的列向量组线性相关. (C)A的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关的行向量组线性相关. (D)A的行向量组线性相关，的行向