双曲线几何性质(上课用)

1、222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2aa0e 1（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e与与a,ba,b的关系：的关系：2222222211abababaacace也也增增大大增增大大且且时时，当当ab,e), 0(ab), 1(e 研究双曲线研究双曲线 的几何性质的几何性质) 0b, 0a( 1byax2222 开口大开口小，, 1ee)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点,实轴长实轴长虚轴长虚轴长焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线Ryaxax,或对称轴：对称轴：x

2、轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点baa2 ,2)0 ,(e1,对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点baa2,2),0(e1,e越大，张口开阔越大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭e越大，张口开阔越大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭xabyxbay(c,0) (-c,0)(0,c) (0,-c)Rxayay,或xyo例例1、求双曲线、求双曲线14491622 yx的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率,渐近线方程渐近线方程,并画出图形。并画出图形。把方程化为标准方程得把方程化为标准方程得,116922yx可得可得:实半轴长实半轴长:

3、53422c虚半轴长虚半轴长:半焦距半焦距:焦点坐标是焦点坐标是: (-5,0),(5,0)离心率离心率:35ace渐近线方程渐近线方程:xy34解解:a=3b=4典例剖析例例2、已知双曲线的焦点在、已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如轴上，中心在原点，如果焦距为果焦距为8，实轴长为，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。其渐近线的方程。例例3、 求焦点在求焦点在y轴上轴上,一条渐近线为一条渐近线为 ,实轴长为实轴长为12 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程;xy431643622xyxyyx37179222214xy2xy 2244xy的渐近线方程为

4、：的渐近线方程为： 2214xy 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2244xy 2xy2xy 2xy）（的双曲线方程可以设为有相同渐近线与双曲线具0122222222byaxbyax的渐近线方程为：的渐近线方程为： 练习3：458) 1 (ex，且离心率轴上，两顶点的距离是顶点在3416)2(ey，离心率轴上，焦距是焦点在），且过点（双曲线的渐近线为21) 3(xy求适合下列条件的双曲线的标准方程。求适合下列条件的双曲线的标准方程。解：解：1916).1 (22yx12836).2(22xy3).3(22 xy 例例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一

5、部分双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为半径为12米，被旋转的双曲线的离心率为米，被旋转的双曲线的离心率为 ，请选择适当的坐标系，求出双曲线的方程。请选择适当的坐标系，求出双曲线的方程。53e Axyo解：如图建立直角坐标系解：如图建立直角坐标系xoy,使最小圆的直径使最小圆的直径x在轴上，在轴上，圆心与原点重合圆心与原点重合,则则A(12,0)0, 0( 12222babyax设双曲线的方程为222,2035,35,12baccacea又根据题意：12561441622yxb双曲线的方程是变式变式1：

6、若上题中的通风塔的：若上题中的通风塔的上口直径是上口直径是18米，下口直径米，下口直径是是36米，试求通风塔的高度。米，试求通风塔的高度。椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=0

7、0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0,解得解得a=a=1.1. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径

8、的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称， 若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.不存在。上，所以这样的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段），那么由（的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数）、解：方法（axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132, 312*22AB4112L221121),B(,A12212211不存在。所以这样的，显然不符合上式，上，那么

9、直线，又（，）在即：）（）（）（两式做差得：（那么有中点为（，），线段由题意与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axnmxxxyxyxaaxyyxyx2,2,2,1313AB, 21),B(,A21212121212121212222222122111、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 五、五、综合问题综合

10、问题1317, 06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以【分析分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定 的的.利用利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件的关系式，根据两者的约束条件直线直线l与双曲线交于与双曲线交于不同的两点不同的两点，确定，确定k的取值范围的取值范围.2.(2008天津卷天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是 .(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜

11、率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围.520 xy8122222x1(0,0).(1)yCabab双曲线 的方程为设222(54)844200.kxkmxkmxm得22952abba由题意，得2245ab解得22145ykxmxy联立因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，解析解析).0()2(kmkxyl的方程为设直线4554222kkm且即. 15422yxC的方程为所以双曲线0)204)(45(4)8(222mkkm所以24,54kmk00ykxm25.54mk22514y()5454mkmMNxkkk 线段的

12、垂直平分线的方程从为而550.24kk或解得【回顾与反思】本题主要考查直线与直线，直线与双曲线的位置关系问题，考查学生的推理与运算能力，今后仍是高考考查的重点.),(),(),(002211yxMNyxNyxM的中点设2210 xxx所以),459, 0(),0 ,459(22kmkkmyx轴的交点坐标分别为轴、此直线与281|459|459|2122kmkkm由提设可得, 54|)45(2222kkkm所以).,45()25, 0()0 ,25()45,(k所以 2 22 21 12 21 1 2 21 12 21 12 2y y例例3 3: :已已知知双双曲曲线线方方程程: :x x - -= =1 1. .2 21 1 过过点点A A 0 0, ,1 1 作作直直线线l l交交双双曲曲线线于于P P, ,P P两两点点, ,1 1若若线线段段P PP P的的中中点点在在直直线线x x= =上上, ,求求直直线线l l斜斜率率k k的的取取值值范范围围, ,2 22 2 过过点点B B 0 0, ,b b 作作斜斜率率为为k k k k0 0 直直线线, ,交交双双曲曲线线于于QQ, ,QQ 两两点点, ,1 1若若线线段段QQQQ的的中中点点在在直直线线x x= =上上, ,求求b