化工系统工程_01_2系统模拟方法

1、过程系统模型过程系统模型决策变量决策变量状态变量状态变量参参数数过程系统的模拟分析过程系统的模拟分析 过程系统的模拟分析过程系统的模拟分析 对某个给定的过程系统模型进行模拟对某个给定的过程系统模型进行模拟求解，可得出该系统的全部状态变量，从求解，可得出该系统的全部状态变量，从而可以对该过程系统进行工况分析而可以对该过程系统进行工况分析过程系统设计过程系统设计状态变量状态变量参参数数参参数数过程系统模型过程系统模型满足设计规定否？满足设计规定否？决策变量决策变量调调 整整初值初值设计结果设计结果 过程系统参数优化过程系统参数优化约束约束特性指标特性指标状态变量状态变量目标函数模型目标函数模型参参

2、数数参参数数过程系统模型过程系统模型最优否？最优否？决策变量决策变量最优化模型最优化模型初值初值优化结果优化结果序贯模块法（序贯模块法（SMM, SMM, equential equential odular odular ethodethod）面向方程法（面向方程法（EOM, EOM, quation quation riented riented ethodethod）联立模块法（联立模块法（ imultaneously imultaneously odular odular ethodethod）的基本部分是模块（子程序），用以描述的基本部分是模块（子程序），用以描述物性、单元操作以及系

3、统其它功能。物性、单元操作以及系统其它功能。对过程系统的模拟以单元模块的模拟计算对过程系统的模拟以单元模块的模拟计算为基础。为基础。按照由各种单元模块组成的过程系统的结按照由各种单元模块组成的过程系统的结构，序贯的对各单元模块进行计算，从而完构，序贯的对各单元模块进行计算，从而完成该过程系统模拟计算。成该过程系统模拟计算。与实际过程的直观联系强与实际过程的直观联系强模拟系统软件的建立、维模拟系统软件的建立、维护和扩充都很方便，易通护和扩充都很方便，易通用化用化计算出错时易于诊断出错计算出错时易于诊断出错位置位置计算效率较低，尤其是解计算效率较低，尤其是解决设计和优化问题时计算决设计和优化问题时

4、计算效率更低效率更低优化计算设计规定计算流程计算过程单元计算物性计算图2-4 序贯模块法的迭代循环圈又称联立方程法，将描述整个过程系统又称联立方程法，将描述整个过程系统的数学方程式联立求解，从而得出模拟计的数学方程式联立求解，从而得出模拟计算结果算结果解算快速有效，对设计、优化问题灵活解算快速有效，对设计、优化问题灵活方便。效率较高方便。效率较高的的形成通用软件比较困难；不能利用现形成通用软件比较困难；不能利用现有大量丰富的单元模块；缺乏实际流程的有大量丰富的单元模块；缺乏实际流程的直观联系；计算失败之后难于诊断错误所直观联系；计算失败之后难于诊断错误所在；对初值的要求比较苛刻；计算技术难在；

5、对初值的要求比较苛刻；计算技术难度较大度较大优化计算物性计算单元计算流程计算设计计算12图面向方程法的迭代循环圈又称双层法，将过程系统的近似模型又称双层法，将过程系统的近似模型方程与单元模块交替求解方程与单元模块交替求解兼有序贯模块法和面向方程法的优点。兼有序贯模块法和面向方程法的优点。既能使用序贯模块法积累的大量模块，又能既能使用序贯模块法积累的大量模块，又能将最费计算时间的流程收敛和设计约束收敛将最费计算时间的流程收敛和设计约束收敛等迭代循环合并处理，通过联立求解达到同等迭代循环合并处理，通过联立求解达到同时收敛时收敛状态变量图联立模块法（双层法）开始赋初值严格模型收敛否？结束简化模型参数

6、简化模型优化计算流程设计单元计算计算计算物性计算图联立法的迭代循环圈 序贯模块法的基本思想序贯模块法的基本思想从系统入口物流开始，经过接受该物流变量的单从系统入口物流开始，经过接受该物流变量的单元模块的计算得到输出物流变量，作为下一个相邻单元元模块的计算得到输出物流变量，作为下一个相邻单元的输入物流变量。的输入物流变量。依此逐个的计算过程系统中的各个单元，最终计依此逐个的计算过程系统中的各个单元，最终计算出系统的输出物流。计算得出过程系统中所有的物流算出系统的输出物流。计算得出过程系统中所有的物流变量值，也即状态变量值。变量值，也即状态变量值。序贯模块法的求解与过程系统的结构有关。序贯模块法的

7、求解与过程系统的结构有关。具有反馈联结的系统（不可分割子系统），需要具有反馈联结的系统（不可分割子系统），需要用到断裂（用到断裂（Tearing）和收敛（）和收敛（Convergence）技术。）技术。通过断裂技术可以打开回路，以便采用序贯模块通过断裂技术可以打开回路，以便采用序贯模块法进行求解。在断裂物流处设置一个收敛单元。法进行求解。在断裂物流处设置一个收敛单元。对于复杂系统，收敛单元设置的位置不同，其效对于复杂系统，收敛单元设置的位置不同，其效果也将不同。果也将不同。最优设置要通过断裂技术去解决。最优设置要通过断裂技术去解决。如何得到新的变量值，如何保证计算收敛，如何如何得到新的变量值，

8、如何保证计算收敛，如何加快收敛，取决于收敛算法，与断裂物流变量加快收敛，取决于收敛算法，与断裂物流变量的特性有关。的特性有关。由于系统中各物流及其变量特性的不同，由于系统中各物流及其变量特性的不同，在收敛计算上常是有很大差异的。在收敛计算上常是有很大差异的。如何选择断裂物流、确定迭代序列，是实如何选择断裂物流、确定迭代序列，是实施序贯模块法进行过程系统模拟计算中施序贯模块法进行过程系统模拟计算中必须要解决的问题。必须要解决的问题。S1S2S4S2S5构成的回路不是一个简单回路，因为其中的单元和单元被通过了两次。含有回路的不可分隔子系统含有回路的不可分隔子系统s7s1s5 s6s4s2s3 25

9、 . 0135 . 023212235 . 031/ )33()81(/)4(xxxxxxxxx解：令猜值为解：令猜值为X X1 12 2；X X2 21010；X X3 35 5k kx1 kx2 kx3 1 2 10 5 2 0.5488 7.2111 3.1586 3 1.5229 8.4096 4.4735 4 0.7964 7.6596 3.7773 ： ： ： ： 12 0.9968 7.9960 3.9968 13 1.0017 8.0020 4.0022 14 0.9989 7.9989 3.9989 15 1.0006 8.0007 4.0007 解：令猜值为解：令猜值为X

10、X1 16 6；X X2 23.53.5；X X3 35 5Kkx1kx2kx3163.5521.5684.4728.72930.2561.5327.09941.5325.52621.2105发散单单调调收收敛敛衰衰减减振振荡荡振振荡荡发发散散单单调调发发散散方法系统直接迭代法有界Wegstein 法主特征值法Broyden法CHESSCAPESCONCEPTFLOWTRANASPEN一些过程模拟系统计算中采用的迭代方法一些过程模拟系统计算中采用的迭代方法直接迭代法直接迭代法直接迭代法是将计算值直接迭代法是将计算值yk作为下一轮迭代的猜值作为下一轮迭代的猜值xk+1而实施迭代计算而实施迭代计算

11、非线性方程组非线性方程组的另外一种形式为的另外一种形式为与牛顿公式相比较与牛顿公式相比较)()(11kxxkkxfxfxxk 直接迭代法的雅可比矩阵为单位矩阵直接迭代法的雅可比矩阵为单位矩阵方法简单，方法简单， 只需要一组初值，不需计算导数和逆矩阵只需要一组初值，不需计算导数和逆矩阵迭代次数多、收敛速度慢，迭代次数多、收敛速度慢， 对初值要求较高对初值要求较高为改善直接迭代法的收敛行为，提出了阻尼直接迭代法，为改善直接迭代法的收敛行为，提出了阻尼直接迭代法，或称加权直接迭代法：或称加权直接迭代法：q为阻尼因子，可以人为给定为阻尼因子，可以人为给定q0 直接迭代直接迭代0q1 加权直接迭代，可改

12、善收敛的稳定性加权直接迭代，可改善收敛的稳定性q0 外推直接迭代，加速收敛，但稳定性下降外推直接迭代，加速收敛，但稳定性下降q1 1 无意义无意义)()1 (1kkkxGqqxxWegsteinWegstein法法求解一维代数方程求解一维代数方程 （1 1）WegsteinWegstein迭代公式为：迭代公式为： （2 2）其中：其中： （3 3）)(xgx )()1 (1kkkxgqqxx 11)()()1-/(kkkkxxxgxgSSSqWegstein法的几何意义法的几何意义考虑到连续函数都可进行考虑到连续函数都可进行Taylor展开，也展开，也即在足够小区域内用有限项多项式（特别是一即

13、在足够小区域内用有限项多项式（特别是一次多项式）近似原函数可获得足够精确性。次多项式）近似原函数可获得足够精确性。用直线用直线的根近的根近似曲线似曲线的根的根Wegstein法的几何意义法的几何意义如采用光滑曲线上某点的切线近似则导如采用光滑曲线上某点的切线近似则导出牛顿（出牛顿（Newton）法。）法。如采用光滑曲线上两点连线近似则导出如采用光滑曲线上两点连线近似则导出割线法。割线法。现考虑一次方程一般情形：现考虑一次方程一般情形：bkx 0kbx 方程的根为方程的根为Wegstein法的几何意义法的几何意义方程的根计算的是函数与方程的根计算的是函数与y = 0直线的交点，直线的交点，即下面

14、方程组的解：即下面方程组的解： 0ybkxy如要求解的方程组改为如要求解的方程组改为 xybkxy则对应的方程便是则对应的方程便是bkxx Wegstein法的几何意义法的几何意义x = kx + b属于不动点迭代标准形式。此情属于不动点迭代标准形式。此情况下方程的根为况下方程的根为kbx 1k = (g(x1)-g(x2)/(x1-x2)b = g(x2)-kx2带入可得：带入可得：x1x2)(xgy x = kx + b)(111223xgkxkkx x3对于隐式一维代数方程：对于隐式一维代数方程：（4 4）相应的迭代公式称作割线法，其迭代公式可从相应的迭代公式称作割线法，其迭代公式可从W

15、egsteinWegstein迭迭代公式导出代公式导出从（从（4 4）式可得出：）式可得出：（5 5）将上式代入（将上式代入（2 2）式）式 （6）0)()(xgxxf)()(kkkxfxxg)()1 ()()1 (1kkkkkkxfqxxfxqqxxx从（从（2 2）和（）和（3 3）式得到：）式得到：（7 7）上式代入（上式代入（5 5）式，则有：）式，则有：（8 8）式（式（8 8）就是割线法的迭代公式。由此可见，）就是割线法的迭代公式。由此可见，WegsteinWegstein法与法与割线法是相通的割线法是相通的)()(11111kkkkxfxfxxsq)()()(111kkkkkkk

16、xfxfxfxxxx隐式方程具有更大的普遍性，所以割线法常为人们所隐式方程具有更大的普遍性，所以割线法常为人们所熟知。熟知。在流程模拟领域中，物流回路多用显式方程描述的。在流程模拟领域中，物流回路多用显式方程描述的。因而多用因而多用WegsteinWegstein法。法。由（由（2 2）式可见，一维）式可见，一维WegsteinWegstein法需要有两个初值，其法需要有两个初值，其中第一个初值是设置的猜值，第二个初值可根据第一个初中第一个初值是设置的猜值，第二个初值可根据第一个初值按直接迭代法得到。值按直接迭代法得到。有界有界WegsteinWegstein法法阻尼因子阻尼因子q的取值不当可

17、使迭代计算收敛缓的取值不当可使迭代计算收敛缓慢甚至发散；慢甚至发散；Wegstein法虽然无须人为选定法虽然无须人为选定q值，但是也值，但是也会因为会因为q值不当导致坏的收敛行为；值不当导致坏的收敛行为；有界有界Weigstein法就是凭借经验人为地把法就是凭借经验人为地把q值值限定在一定的范围内，以改善收敛行为。限定在一定的范围内，以改善收敛行为。FLOWTRANFLOWTRAN流程模拟系统中取为流程模拟系统中取为-5-5、0 0CHESSCHESS系统中当系统中当q q0 0或或q q-10-10时令时令q q=0=0maxminqqq有界有界Wegstein法法简易多维简易多维Wegst

18、einWegstein法法分别用于每一个分量。令初始猜值为分别用于每一个分量。令初始猜值为x x0 0, ,则第二则第二个初值可由直接迭代得到个初值可由直接迭代得到), 1(),(21nixxxgxnii )x(Gx01 ), 1(),()1 (211nixqxxxgqxkiiknkkiiki) 1/(iiiSSq), 1()()(11nixxxgxgSkikikikii忽略了变量之间的交互作用,在数学上不严格严格多维严格多维WegsteinWegstein法法用向量代替变量，通过矩阵运算进行迭代求解用向量代替变量，通过矩阵运算进行迭代求解对于对于n n维方程，这一方法需要维方程，这一方法需要

19、n+1n+1组初始猜值（组初始猜值（x x0,0, x x1 1, , x, xn n）)x(GQI Qxx1kkk 11)X)(G(AA)AI (Q ;Gx2121 NnGGGxxx ), 1(GGGxx11nkxkkkkkk 收敛判据收敛判据)()(kkkxGxxFkkxxF)(序贯模块法解设计问题序贯模块法解设计问题序贯模块法具有计算方向不可逆的特点，单元模序贯模块法具有计算方向不可逆的特点，单元模块的计算只能按从输入到输出的方向进行块的计算只能按从输入到输出的方向进行只能通过调整某些决策变量或系统参数使计算结只能通过调整某些决策变量或系统参数使计算结果满足设计要求果满足设计要求D D设

20、计规定向量设计规定向量 H H过程系统方程组过程系统方程组p p决策变量与系统参数向量决策变量与系统参数向量0)()(DpHpC估计反应单元的温度为估计反应单元的温度为T T估计再循环物流估计再循环物流S4S4依次计算混合单元、反应单元、分离单元，得到新的依次计算混合单元、反应单元、分离单元，得到新的S4S4的的比较比较S4S4与与S4S4，若两者相等则进行下一步，若不相等则返回，若两者相等则进行下一步，若不相等则返回 在收敛单元内比较在收敛单元内比较S5S5和设计值，若两者不相等则返回和设计值，若两者不相等则返回，若，若相等则计算结束相等则计算结束控制模块图2-19 具有再循环物流的过程系统

21、混合器S1S2反应器分离器S3S4S5控制模块的设置增加了迭代循环圈，导致计算量的控制模块的设置增加了迭代循环圈，导致计算量的增加增加为了提高收敛速度可以联立求解再循环物流方程和为了提高收敛速度可以联立求解再循环物流方程和设计方程，这就是同时收敛。使断裂物流变量设计方程，这就是同时收敛。使断裂物流变量x x和系统和系统参数参数p p同时逼近收敛解，从而大大的提高了收敛速度同时逼近收敛解，从而大大的提高了收敛速度0),(0),(DpxHxpxG序贯模块法由于具有收敛计算的循环圈以致大序贯模块法由于具有收敛计算的循环圈以致大大的增加了计算量。大的增加了计算量。对于过程系统的设计计算问题和参数优化问

22、题，对于过程系统的设计计算问题和参数优化问题，情况将更为严重。情况将更为严重。因此，人们把注意力投向了面向方程法因此，人们把注意力投向了面向方程法面向方程法的原理面向方程法的原理把描述过程系统的所有数学模型汇集到一起，把描述过程系统的所有数学模型汇集到一起，形成一个非线性方程组进行求解形成一个非线性方程组进行求解 x x状态变量向量状态变量向量 w w决策变量向量决策变量向量 F F系统模型方程组，其中包括系统模型方程组，其中包括0),(wxF物性方程物性方程物料、能量、化学平衡方程物料、能量、化学平衡方程过程单元间的联结方程过程单元间的联结方程设计规定方程等等设计规定方程等等比之序贯模块法，

23、在决策变量的确定上要随意的比之序贯模块法，在决策变量的确定上要随意的多，决策变量和状态变量的地位是等同的多，决策变量和状态变量的地位是等同的通常可以把设计规定的变量（如系统出口浓度）通常可以把设计规定的变量（如系统出口浓度）直接指定为决策变量。直接指定为决策变量。面向方程法在求解一般模拟问题和设计问题上是面向方程法在求解一般模拟问题和设计问题上是没有差异的没有差异的通常过程系统模型方程组总是稀疏方程组通常过程系统模型方程组总是稀疏方程组 过程系统模型的方程数和变量数往往都很大，过程系统模型的方程数和变量数往往都很大，但每个方程涉及的变量数一般只有几个但每个方程涉及的变量数一般只有几个10001

24、,)1000, 2 , 1(jjijiibxa100512512,1007575,1005050,100bxaxaxa面向方程法的核心问题是求解超大型稀疏非线面向方程法的核心问题是求解超大型稀疏非线性方程组，求解方法大致分为两类性方程组，求解方法大致分为两类 降维求解法降维求解法 联立求解法联立求解法2)(nN方程组阶数非零系数个数方方程程的的稀稀疏疏性性可可以以用用稀稀疏疏比比来来衡衡量量大型稀疏非线性方程组的降维解法大型稀疏非线性方程组的降维解法把大型稀疏方程组分解成若干个小的非稀疏方程把大型稀疏方程组分解成若干个小的非稀疏方程组，然后依次分别求解，从而达到降维和增大稀疏比的组，然后依次分

25、别求解，从而达到降维和增大稀疏比的目的目的（1 1） 方程组的分解概念方程组的分解概念对于对于稀疏方程组，常常可以找到一个包含有稀疏方程组，常常可以找到一个包含有个变个变量的量的子方程组。这个子方程组。这个子方程组可以单独求解。其余子方程组可以单独求解。其余的的个方程中还可以再找出包含有个方程中还可以再找出包含有个变量的个变量的子方程子方程组，这个子方程组也可以单独求解。组，这个子方程组也可以单独求解。重复这一过程，最终将把原方程组分解成一系列可顺重复这一过程，最终将把原方程组分解成一系列可顺序求解的子方程组序求解的子方程组0606308) 5( 06 010531514447 . 12135

26、43222411xxxfxxfxxxfxxxxfxxf54321xxxxx101010100101011111100100154321fffff53241xxxxx 1111111111111125341fffff63 10414411xxfxxf08)56(48)5(7 . 1247 . 1213xxxxf6466)5034. 1 (535315532543222xxxxxfxxxxxxf（2 2）回路搜索法分解方程组）回路搜索法分解方程组在描述方程组的有向图上进行回路搜索。在描述方程组的有向图上进行回路搜索。 为了用有向图表示方程组的结构，首先必须对每个为了用有向图表示方程组的结构，首先必

27、须对每个方程指定一个变量作为其输出变量方程指定一个变量作为其输出变量 输出变量是可通过其所存在的方程中其它变量求解输出变量是可通过其所存在的方程中其它变量求解的变量，且每个变量只能被指定一次作为输出变量的变量，且每个变量只能被指定一次作为输出变量选事件矩阵中元素最少的行和元素最少的列的交点处元选事件矩阵中元素最少的行和元素最少的列的交点处元素对应的变量作为优先指定的输出变量，然后从事件矩素对应的变量作为优先指定的输出变量，然后从事件矩阵中删去该输出变量对应的行和列重复上述过程直至矩阵中删去该输出变量对应的行和列重复上述过程直至矩阵中所有的行和列都被删掉阵中所有的行和列都被删掉54321xxxx

28、x 1111111111111154321fffff有向图有向图图中每个节点代表一个方程。如果方程图中每个节点代表一个方程。如果方程fi的输出变的输出变量存在于量存在于fj中，则从节点中，则从节点fi向向fj作一有向边作一有向边这个图代表了方程间的信息流动方向这个图代表了方程间的信息流动方向图2-20 相应于 (2-30)式方程组的有向图44(b)(e)( )图2-21 回路搜索过程(c)回路搜索回路搜索25231fffff31ff 141fff它它们们分分别别代代表表原原方方程程组组分分解解后后得得到到的的小小方方程程组组，其其求求解解按按从从后后到到前前的的顺顺序序进进行行。不可分解稀疏方

29、程组的断裂降维解法不可分解稀疏方程组的断裂降维解法654321xxxxxx 11111111111111111654321ffffff图2-22 (2-31)式方程组的有向图表示该方程组是不可分解方程组，该方程组必须联立求解需要通过断裂可达到进一步降维和增大稀疏比的目的断裂与收敛是相辅相成的，断裂后的系统断裂与收敛是相辅相成的，断裂后的系统必须通过收敛得以求解。必须通过收敛得以求解。为了易于收敛，因而总是希望断裂的变量为了易于收敛，因而总是希望断裂的变量数最少数最少。所以，总是要选择包含变量数最少的方程所以，总是要选择包含变量数最少的方程中的变量作为断裂变量，断裂变量数等中的变量作为断裂变量，

30、断裂变量数等于该方程中的变量数减于该方程中的变量数减1 1。然后给断裂变。然后给断裂变量赋初值，再进行迭代计算直至收敛量赋初值，再进行迭代计算直至收敛f3，f4，f5行的变量数最少，都只有两个。行的变量数最少，都只有两个。选择选择f3中的中的x5为断裂变量。从而解出为断裂变量。从而解出x6把把f3行和行和x5,x6列删去，得到左式列删去，得到左式该式为五行四列，有一个多余方程（它是由删除断该式为五行四列，有一个多余方程（它是由删除断裂变量裂变量x5产生的）。对其余的四行，四列进行重排，产生的）。对其余的四行，四列进行重排，可得到右式可得到右式4321xxxx11111111111165421f

31、ffff11111111111165241fffff4231xxxx断裂可以使不可分解的稀疏方程组继续分解联立拟线性方程组法解联立拟线性方程组法解 大型稀疏非线性方程组大型稀疏非线性方程组大型稀疏非线性方程组的另一种求解方法是把大型稀疏非线性方程组的另一种求解方法是把非线性方程组线性化。然后联立求解线性方程组。非线性方程组线性化。然后联立求解线性方程组。由于线性化引入了误差，所以要借助迭代使线由于线性化引入了误差，所以要借助迭代使线性化方程组的解逐渐逼近非线性方程组的解性化方程组的解逐渐逼近非线性方程组的解线性化方法线性化方法对于对于n n维非线性方程组维非线性方程组用用n n维线性方程组逼近

32、维线性方程组逼近该拟线性方程组的解（用下标该拟线性方程组的解（用下标QLQL表示）为：表示）为：作台劳展开可得到牛顿迭代解（下标作台劳展开可得到牛顿迭代解（下标NRNR）0)(xF0)(BAxxFBAxQL1)()(11kkkkNRxFJxx令令J = AnnnnxfxfxfxfJ1111)()(11kkkkkkNRBxAJxx1111)()()(kQLkkkkkkkkNRxBABxAAxx牛顿迭代具有二阶收敛特性。下面方程也具有牛顿迭代具有二阶收敛特性。下面方程也具有二阶收敛。二阶收敛。系数系数A A和和B B均是向量均是向量x x的函数。的函数。从从x x的第的第k k次近似解次近似解x

33、xk k可以计算得到可以计算得到J Jk k、F(xF(xk k) )，从而得到从而得到A Ak k和和B Bk k。将。将A Ak k和和B Bk k代入，得到线性方程组。代入，得到线性方程组。过程系统的模型方程组一般由线性方程和非线过程系统的模型方程组一般由线性方程和非线性方程组成，因而线性化的对象应该是非线性方程性方程组成，因而线性化的对象应该是非线性方程kkkQLBAx11)(0)(ijxfnikikikijnikikijfxxfxxf111)()( 组分组分A A的稀溶液在常温下离解：的稀溶液在常温下离解：质量平衡质量平衡热力学平衡热力学平衡求当求当k=2，A的初始浓度的初始浓度1时

34、平衡态的组分浓度时平衡态的组分浓度质量平衡式是线性方程，热力学平衡式是非线质量平衡式是线性方程，热力学平衡式是非线性方程，首先利用对热力学平衡式线性化性方程，首先利用对热力学平衡式线性化BA2ABACCC2102BACkC2)()()(2pBBpBACCCkC此外，还可以得到原方程的另一种线性化方程此外，还可以得到原方程的另一种线性化方程（即直接迭代式）（即直接迭代式）两种方法都可以收敛到解。第一种方法的收敛两种方法都可以收敛到解。第一种方法的收敛速度明显比第二种方法快。这是由于牛顿迭代法具速度明显比第二种方法快。这是由于牛顿迭代法具有二次收敛的特点，而直接迭代法只是线性收敛有二次收敛的特点，

35、而直接迭代法只是线性收敛2)(*)(2121pBABApBCCCCCk令令初初值值)0(BC1.5，对对上上式式求求解解，经经四四次次迭迭代代，可可得得到到收收敛敛值值BC10211*)(ABApBCCCCk迭代次数牛顿法直接迭代法01.51.511.06750.821.0012501.11111131.0000010.94736841.0000001.02702750.98666761.006771170.99665681.001675稀疏线性方程组的解法稀疏线性方程组的解法稀疏非线性方程组经线性化后得到的线性方程组仍稀疏非线性方程组经线性化后得到的线性方程组仍然是稀疏的，从而把求解稀疏非线

36、性方程组的问题转化然是稀疏的，从而把求解稀疏非线性方程组的问题转化成求解稀疏线性方程组的问题成求解稀疏线性方程组的问题常规的消去法是不经济的，且计算效率低。为了减常规的消去法是不经济的，且计算效率低。为了减少计算时间和存储空间，常用下列两方面的技术少计算时间和存储空间，常用下列两方面的技术只对非零元素进行计算只对非零元素进行计算只存储非零元素（如压缩存储技术）只存储非零元素（如压缩存储技术） 用高斯消去法进行消元过程的同时，会在原来用高斯消去法进行消元过程的同时，会在原来零元素处引入非零元素零元素处引入非零元素新出现的非零元素称作填充量，填充时与消元新出现的非零元素称作填充量，填充时与消元成零

37、的非零元素之差称作填充增量。填充量与主元成零的非零元素之差称作填充增量。填充量与主元选取的次序有关选取的次序有关 54321543211234512345填填充充量量达达到到最最大大填填充充量量=0 在求解大型稀疏线性方程组时，应尽可能减少填充，在求解大型稀疏线性方程组时，应尽可能减少填充，否则会使计算效率下降。否则会使计算效率下降。 减少填充与提高数值稳定性和计算精度是矛盾的。减少填充与提高数值稳定性和计算精度是矛盾的。如，为减少填充，需把如，为减少填充，需把5555作为主元素，但如果它的绝对作为主元素，但如果它的绝对值很小，会引入较大的误差，使计算精度、数值稳定性值很小，会引入较大的误差，

38、使计算精度、数值稳定性变差变差通常把绝对值最大的元素作为主元，进行消元。目通常把绝对值最大的元素作为主元，进行消元。目的是提高计算精度。但如果这样选取的主元导致较大的的是提高计算精度。但如果这样选取的主元导致较大的填充，将引起计算效率的下降填充，将引起计算效率的下降往往选择一个绝对值不是最大，且不会引起填充量往往选择一个绝对值不是最大，且不会引起填充量过大的元素作为主元过大的元素作为主元人为规定一个界限人为规定一个界限 e0。当矩阵元素的绝对值大。当矩阵元素的绝对值大于于e，该元素就具备了作为主元的资格，若它引入的填，该元素就具备了作为主元的资格，若它引入的填充量也不是很大，就可定为主元。充量

39、也不是很大，就可定为主元。经验给定，但应满足提高计算精度和减少填充量的经验给定，但应满足提高计算精度和减少填充量的统一要求统一要求该算法是在全元消去法的基础上派生出来的一种求该算法是在全元消去法的基础上派生出来的一种求解稀疏线性方程组的算法。解稀疏线性方程组的算法。：凡与被选作主元的元素有关的方程和变量凡与被选作主元的元素有关的方程和变量都称作都称作“用过的用过的”，反之为，反之为“未用过的未用过的”；未用过的方程中包含的未用过的变未用过的方程中包含的未用过的变量数；量数；未用过的变量在未用过的方程中出未用过的变量在未用过的方程中出现的次数现的次数1 1 选择纵列最小的变量，如不止一个，任选其

40、一；选择纵列最小的变量，如不止一个，任选其一；2 2 在与此变量有关的方程中，选择橫列最小的方程在与此变量有关的方程中，选择橫列最小的方程所对应的元素作为主元所对应的元素作为主元3 3 如果橫列最小的方程不止一个，则选择绝对值最如果橫列最小的方程不止一个，则选择绝对值最大的元素作为主元大的元素作为主元4 4 检验选出主元的绝对值是否大于用户给出的主元检验选出主元的绝对值是否大于用户给出的主元容限。不大于，则返回容限。不大于，则返回. .否则进行下一步；否则进行下一步；5 5 用这样选择出的主元进行常规的高斯消元，然后用这样选择出的主元进行常规的高斯消元，然后返回返回。例例 一个物流分割器及混合

41、器构成的简化流程一个物流分割器及混合器构成的简化流程。(0. 667)(0. 333)(0. 667)混合器2分割器2分割器1混合器1s5s1s2s4s6s3s7图2-23 由分割器及混全器组成的简化流程分割器3s8s9 = 1(0. 333)(0. 667)(0. 333)021*333. 01 1*333. 02SSFSS变量名方程号123456789右侧1-0.33312-0.66713 1-1-14-0.33315-0.667160.33317118-0.66719-11-1列列2和列和列8只含一个元素，即纵列只含一个元素，即纵列=1。这两个元素分别为这两个元素分别为方程方程1 1和和

42、8 8的主元。这两列中无其它元素，不用执行消元过程。的主元。这两列中无其它元素，不用执行消元过程。第第3 3，5 5，7 7，9 9列均含两个非零元素，即纵列列均含两个非零元素，即纵列=2=2。选列。选列3 3，非零元素存在于方程非零元素存在于方程2 2和和9 9中，方程中，方程2 2橫列橫列=2=2，方程，方程9 9橫列橫列=3=3，选方程选方程2 2中的该元素为主元。中的该元素为主元。消去方程消去方程9 9中第中第3 3列的元素，这将导致方程列的元素，这将导致方程9 9中的第一列中的第一列产生一个非零元素。产生一个非零元素。反复进行上述过程，然后进行回代过程反复进行上述过程，然后进行回代过

43、程变量名方程号123456789右侧1-0.33312-0.667131-0.33314-0.33315-0.667160.33317118-0.667190.667-110.333变量名方程号123456789右侧1-0.33312-0.667131-0.33314-0.33315-0.667160.33317118-0.66719-0.5550.667完完成成主主元元选选择择后后的的增增广广矩矩阵阵变量号123456789值1.400.460.931.200.400.800.260.531.00回回代代后后得得到到的的变变量量值值方方程程的的主主元元素素选选择择过过程程选择主元素消去元素产生元素改变元素(a) V2E1(V变量，E方程，RHS右侧)B8E8V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3