数值分析-第五版-考试总结

1、第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差.?=?-?近似值的误差(为准确值)近似值的误差限0|?-?<?近似值相对误差?(猊小时约等)d?=西分近似值相对误差限?:c?=囱函数值的误差限?(?(?):?(?(?)|?(?夕)|?(?夕)近似值?=±(?,?x10?有n位有效数字:1?=1x10?-?+12?=?v1画.2?X10-?+1第二章：插值法1 .多项式插值其中：2 .拉格朗日插值?次插值基函数:?=?+?+?+?=?0,1,?,?+?+?+?=?+?+?+?=?+?+?+?=?4x)=E?阙=汇?而?=0?=0('>?电+1(?)

2、?)?+1(?豺?(?=,?=0,1,?,?(?-?)?(?-?-1)(?-?+1)?(?-?3(?丁?)?(?%-?-)(?)?-?+1)?(?-?>引入记号:?3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?冽余项:3 .牛顿插值多项式:?=?-?%=?+1)(?(?+1)!?%+1(?,?至(?)?(?=?)+?,?(?)+?+?,?,?,?田(0?)?(?-?-1)?阶均差把中间去掉,分别填在左边和右边?,?,?,?-1,?|=?,?,?2-1,?q-?,?,?,?-1?-?余项:?(?=?,?,?,?m?+1(?4 .牛顿前插公式令?=?+?计算点值,不是多项式?(?1)2?,+?

3、=?+?2!?2?+?(?1)?(?1)+?!?阶差分:?-1?-?-1?余项:?二?1)?(?+1(?+1)!?+"(?,?至(?),?)5 .泰勒插值多项式:?(?=?)+?(?)(?)+?+?(?)?!(?-?)?阶重节点的均差:?,?,?,?=?(?)?,?,?(?)(?)+?)(?)(?-?)6 .埃尔米特三次插值:?=?)+?,?(?)+其中,A的标定为：?(?)=?(?)7 .分段线性插值:就=?+1?-?-?+1?仍+?+1-?多?仍+1第三章:函数逼近与快速傅里叶变换?=汇?=02.范数:ML=m强!例?缈器?)?I?1i=E|?|?(?)?=i?i1?12=(三为

4、2?=i?i?(?(?)?)?3 .带权内积和带权正交:?(?=汇(x?x?x?(?(?)?)?=0?(?,?)=/p(x)?=0?4 .最正确逼近的分类(范数的不同、是否离散)：最优一致(8-范数)逼近多项式(?)：II?-?3(?)L=minI?-?(?)L?6湖''''最正确平方(2-范数)逼近多项式(?)：I?-?外?)帐=mn?-?(?)2最小二乘拟合(离散点)人?)：?12=minI?-?/?1122?e25 .正交多项式递推关系:6 .勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：?P?+i(?=(?我-?3?-i(?(?=i,?i(?=0一?於id?)

5、(?)?(?,?%?)'"(?：?,?刎?)(?-i(?,?)?-i(?)i0,?%?)?(?)?2-i2?+i?(-?)=(-i)?既)?w?=?7.切比雪夫多项式:递推关系:正交性:?%?在-1(?+1)?+1(?=(2?+1)?-?2i(?)?»+1(=2?-?-i(?1?刑?)照(?)?=-1Vl-?.1上有升零点:?=?私+1?在?上有?+1个零点:?二?,/cos?5bs?2cos2?1?=2?最优一致逼近2?+1?+C0S2(?+1)?+2?=,?,?1,?,?w?W0?=0?,?=0,1,?,?首项?钠系数:2?-18.最正确平方逼近:I?-?(?)

6、112=min?(?)?息?-?(?)2=?m?vjp(x)?-?x)2?法方程:?汇(?=(?>?=0正交函数族的最正确平方逼近:9.最小二乘法:情12=?m?n)?I；?(x?S(x?)?-?帝?=0法方程:?2(?=(?=0正交多项式的最小二乘拟合第四章数值积分与数值微分1 .求积公式具有欲代数精度?求积公式(多项式与函数值乘积的和),对于次数不超过硝多项式成立,?+1不成立?(?)?E?(?)?=02 .插值型求积公式?=?/?)?汇?倒)(=汇(?)?=0-?=/?-?；?)?；?)?/?=0?+1)(?(?+1)!?+1(?)?3 .求积公式代数精度为?时的余项?=?-?E?

7、因=?=01r(?+1)!?/?+1?汇?+1?=04 .牛顿-柯特斯公式：将?我IJ分为舞份构造出插值型求积公式?解=(?-?)汇?)?(?)?=05 .梯形公式：当n=1时,?1)?-?(?212(?2?(?)?-?=2?+?(?)?(?=-6 .辛普森公式：当n=2时,?2)=6,?=4,?2)=67 .复合求积公式:?=?!?+4?+-?+?(?)?«?=-62?-?,?=?+?+1/2=?+2复合梯形公式:T?=2?+复合辛普森公式:S?=6附+?2?,180-()4?4)(?)?-12汇?(?+?(?)?«?=-?-?2?(?)12?=1?-14二?(?+1/2

8、)+?=0?-12汇?(?+?(?)?%?=-?(-)4?4)(?)1802?=18 .高斯求积公式(求待定参数?W?：(1)求高斯点(?)：令3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?)与任何次数不超过酌多项式?(?辨?_一权?(?*父,即那么J?(?)?+1(?(?)?0,由?+1个万程求出局斯点?,?求待定参数?6?(?)?(?)即限?=0?史?(?)?(?也为次数不超过的多项式.9 .高斯-勒让德求积公式：取权函数为?=1的勒让德多项式?+1(?两零点即为求积公式的高斯点.12?+110 .高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为?=/钙的切比雪夫多项式的零点?=cos去?;2?卿为求积公

9、式的高斯点.第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数:?I?lloo=1max,?|?!?行元素绝对值之和中最大的)?=1?|?11=maxE|?4列元素绝对值之和中最大的)1w?w?=1I?12=V?)2.条件数:?(A)I?1ILl?8?外?/?)?|?)|?2(A)aA行I当?=?,?(A)-?)|?仰?)|第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法:?=?(?-?=?=?-?+1)=?)+?2.迭代法收敛:lim?-8?夕?)存在.?<1,谱半径?=ma?J?,、m103.迭代法收敛的充分必要条件:4 .渐进收敛速度：=-ln?,迭代次数估计：?>?()5 .雅可比迭代法:

10、?=?=?-(?+?)=?-?(?-?=?=?6.高斯-塞德尔迭代法:?,?+1)=?)+?=?=(?-?)-?=?-?(?-?=?=?-?夕?+D=?")+?-塞德尔迭代法均收敛.7 .严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵,其雅可比迭代法与高斯?I?1?>.|?b?=1?w?8 .弱对角占优矩阵：假设此矩阵也为不可约矩阵,那么其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛.?I?|?I?=1?丰其中,可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式,否那么为不可约矩阵.?/?!(?1?2)(?2)9 .超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正.?=(?-?)-?=(-?-?)-(-?+?-?)?

11、=(?-?)?=(?+?-?)(?-?=?=?-?=?=(?-?)/?+,?)?)=(?-?1(1-?+?)?=?产?=?7?-?1?+1)=?夕?)+?10 .最速下降法：是对称正定矩阵?=?+1)=?+?能?)使下式最小:/CC八/cc、/cc、/cc、/cc、/cc、?/cc、/CC、?(?%?+1)=?(?(?)+?")=?(?/)+?(?)-?,?)+(?(?),?)那么:?(?(?-?)(?)?(?)-0?2_()_(')?'?'-(?)一(?)夕?),/其中:?)=-?(?)=-(?(?-?)=?夕?)故而:?+1)=?+?初1?)11.共辗梯度

12、法:(1)令7?0)=?计算?=-(?*-?),取伊)=?.)对?=0,1,?,计算(3)?+)=?+?)(?),?)?3?=(?),?夕?+1)=?夕?)-?+)=?+1)+?(?+1)?夕?+1)?=(?),?)假设?)=0或(?夕?,?)=0,计算停止.第七章非线性方程与方程组的数值解法1二分法：1)计算?(?京有根区间?的端值?(?)?(?)2计算区间中点值?+?3判断?:个-)=?+?),、?+?0或者?6)(?)<02 .不动点迭代法:?=0?=?7?=?+?+1=?3 .不动点迭代法收敛:lim?=?-84 .?(?平?上存在不动点2?(压缩映射)|?-?(?尸?<1

13、5 .不动点迭代法收敛性：满足上条,那么不动点迭代法收敛,误差为：?I?-?lw?-?|6 .局部收敛：存在?的某个邻域内的任意的,迭代法产生的序列收敛到.7 .不动点迭代法局部收敛：其中7?1为?(?的不动点,(?庇?邻域连续.I?(?)|<18 .P阶收敛：当k-8时,迭代误差?=?-?,满足缪一W09 .牛顿(座根)法：?+1=?-?(?),?+1=?-10 .简化的牛顿法:?+1=?-?(铜?(?)11 .牛顿下山法:?+1=?-入行"o,1'?从入=1开始试算,之后逐次减半,直到满足下降条件：|?(?+1)|<|?(?|为止.12 .弦截法:?私+1=?

14、-?-1)?)-5?(?-?-1).第八章矩阵特征值计算1 .格什戈林圆盘：以?前圆心,以效半径的所有圆盘?=汇|?小?0?=?|?师?<解?C?=1?大2 .?勺每个特征值必属于某个圆盘之中：|入-?只?3 .?有叶圆盘组成一个连通的并集药和余下?个圆盘是别离的,那么的恰包含?个特征值.4 .哥法:设?勺特征值满足条件：|?|>|?|刁?|>?|?|任取非零向量?3,构造向量序列,=?=?,?,?+1=?声+1?8?假设：?=?+?+?+?初丰0那么:?OO?3?=?1?+?就+?+?粉?=?+汇?3?司?"?=?1(?+i)?lim?=?-8(?初15 .收敛速

15、度:?=|?|6 .哥法改良:?)=?w?.?=?加-1,?2?=不,?=?询3?lim?=一?叫,?=?7 .加速方法原点平移法：构造矩阵应用哥法使在计算其主特征值的过程中得到加速.?=?-?2另1,可得：?=?,?=?孩?,那么?=1,那么可推导出:?-?=1承"5?<8 .假设?=1,称矩阵?；?=?2?1为初等反射矩阵10 .设为两个不等的难向量,口2=U?b,令二?(?2?夕?=?11 .豪斯霍尔德约化定理:I?2=I?12?b=sgn(?)I?2?=-(T?+(T?=-l?+b?2口12CC?1C?=?2?夕?=?2-=?1?西?=-|?|2=b(+?)1?片2212 .吉文斯变换:?=v?+?,cos?=?rz,sin?=i,(?-cos?sin?sin?cos?12 .矩阵的QR分解：1设毒奇异,那么存在正交矩阵使?其中效上三角矩阵.2设徘奇异,那么存在正交矩阵芍上三角矩阵使?=?当寸角元素为正分解唯一.13 .豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵:?7-2?7-2=?2计算对称三对角矩阵的全部特征值.14 .?法：1计算上海森伯格矩阵的全部特征