导数、数列压轴题的破解策略：合理巧设函数与导数压轴题

1、合理“巧设”，轻松应对函数与导数压轴题函数与导数的交汇问题经常出现在压轴题(包括客观题和主观题中的压轴题)位置.解决这类问题时，往往会遇到某些难以确定的根、交点、极值点或难以计算的代数式倘若迎难而上，往往无功而返；这时，放弃正面求解所需要的量，先设它为某字母，再利用其满足的条件式进行整体代换以达到消元或化简的效果下面通过介绍几种具体的“设”的方法来解决这类难题一、根据函数的单调性，巧设自变量【例1】(2013四川卷理)设函数f(x)二exx-a(aR,e为自然对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点x°,y°，使得f(f(y°)=：yo，则a的取值范围是()A.1

2、,eB.|eA-1,1C.1,elD.一1,e1【解析】易知f(x)二.ex-a为单调递增函数.设f(t)=y°，又f(f(yo)=y°，由单调性则t=f(y°).下面证明t=y0.若t=y。，由单调性则f(t)=y。，贝yf(fy。)=y。与已知矛盾，.所以必有t*0.代入即f(y°)=y。.曲线y=sinx上存在点x。，y。，使得f(y。)=y。，等价为：ex，x-a=x在1.0,1上存在解.即exx-x2=a在x：.订。,1上有解.设h(x)=ex-x-x2,贝Uh(x)=e-2x在x三，。,11上ex1_2,2x_2,所以h(x)=ex7-2x_

3、。，贝Uh(x)在0,11上单调递增，所以1=h(0)乞h(x)乞h(1)=e.故a-1,e.故选A.【评注】由f(x)的单调性可知，对于f(f(y°)=y。，则必存在唯一的自变量t,使得f(t)二y。,从而有t=f(y。).这样方便表达.【变式1】(2015石家庄高三教学检测一)设函数f(x)二£，2x-a(aR,e为自然对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点x°,y。，使得f(f(y°)=y。，则a的取值范围是().A.|e-1,e1B.1,edC.Ie,edD.I.1,el【答案】易知f(x)二ex2x-a为单调递增函数同例1有f(y°

4、)=y°曲线y=sinx上存在点x°,y°，使得f(yo)=y，等价为：f(x)=ex2x_a=x在1-1,1上存在解即exx=a在x.|_1,1上有解.设h(x)=exx，h(xex10，贝Uh(x)在I-1,11上单调递增，所以1_1=h(_1)乞h(x)乞h(1)=e1.故a1-1,e1.故选A.e_e【变式2】(2016届广雅中学高三开学测试)已知f(x)是定义在0,;上的单调函数，f(x)-(x)二2的实数解所在的区间是且对-xW0,八,都有f(f(x)-log?x)=3，则方程C.1,2D.2,3【答案】因为f(x)是定义在0,；上的单调函数，所以存在

5、唯一x，使得f(x03.又f(f(x)-log2x)=3，故有f(x)-log2x0，解得f(x)=log2xx0.用代替x，则有f(x3)=log2X°x0.由解得x°=2.将x°=2代入化简f(x)-f(x)=2，得log2X0.令g(x)=log2X1xln2，因为11g(10,g=1v，又g("在1,2上单调递增，故g(x)在1,2上存在唯一零点，即方程f(x)fx)=2的实数解所在的区间是1,2.故选C.二、根据两个函数的图象，巧设交点的横坐标【例2】(2015四川卷理)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2亠ax(a：二R).对于不相等的实数

6、“2，设m二迪3,“).现有如下命题：x冷x-X2 对于任意不相等的实数x,X2，都有m0; 对于任意的a及任意不相等的实数xX2，都有n0; 对于任意的a，存在不相等的实数X1,X2，使得m=n；对于任意的a，存在不相等的实数X1,X2，使得m二-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).【解析】对于，由f(x)=2X的单调递增的性质可知，口=丄也紅型0，故正X1X2对于,由g(X)二2xa(xa先单调递减再递增的性质可知，存在f(x)f(X2)：0的情形，故不正确.X-X2对于,m=n等价于f(x)-f(X；)二g(x)-g(x)即2X2X2二x1a%-x；ax?，即2X1-X12_ax

7、i=2X2-xf-ax2.设h(x)=2X-x2-ax,则h(x)=2XIn2一2xa.此时由y=2x1n2和y=2xa的图象(如下图)可知，调整合适的a可使y=2x亠a的图象全在y=2xIn2的图象之下，这时h(x)=2XIn22xa0恒成立，所以h(x)=2X-x2-ax单调递增.据此分析可知：存在a,使得对于不相等的实数Xi,X2,不可能有2X1-x：-axi=2X2-X2-ax2,即不可能有m=n,故不正确.对于Q,m=-n等价于f(ix)f2(=x)-ig(-x)2即Pg(x)2Xi-2X2=_x；axxf-ax2，即2Xi-Xa%=2X2x；ax2.设h(x)=2Xx2ax，贝Vh

8、(x)=2X|n2-2x-a.此时由y=2xln2和y=-2x-a的图象(如下图)可知，两者必有交点，设交点横坐标为X).由简图可知，当x".，x时，2X|n2：-2x-a,则h(X0：,h(x)单调递减；xGx0,：时，2xln2.Tx_a，则h(x)0,h(x)单调递增.于是，对于任意的a,由单调性可知：存在不相等的实数x,x2,使得2沟亠x；亠axi=2%2-x2亠ax2，即m-_n成立.故)正确.综上，所给命题中的真命题有【评注】当导函数为超越函数时，有时我们无法直接求得零点，即便二次求导也难以奏效.这时不妨将其转化为研究两个简单函数的图象的交点问题.由图象可直观获得两图象的

9、.为了方便表述，可高低情况(对应函数值的大小比较)，从而轻松判断导函数的正负情况-sinx-1=0，探究该方程2设两图象的交点的横坐标为xo.【变式3】(2015郑州市质量预测节选)给定方程:在-:：,0的实数根的个数.【答案】设h(x)心吃丿亠sinx-1，贝Vh(x)二2x1In'cosx=cosx-In2.由简图可知，f(x)=cosx与g(x)=jO，ln2在,0有l2丿i'唯一交点.设两图象的交点的横坐标为x0.由简图可知，当<1丫X二iX。时，cosx:2In2,则h(x)：0,h(x)单调递减；xE(x0,0)时，cosx>f1In2，则h"

10、(x)>0,h(x)单调2J递增.所以h(x)在X。处取得极小值.2x结合h(0)=0和h(_1)=：1_sin10，可得h(x)的简图如下，所以给定方程在：,0的实数根的个数为根属于区间-1,0.三、根据导函数的性质，巧设极值点【例3】(2015全国卷I文)设函数f(x)=e2xalnx.(1) 讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；2(2) 证明：当a0时，f(x)_2a，aln.a【解析】(1)f(x2e2x-a(x0).当a_0时，因为f(x)0，所以f(x)没有零点；x当a0时，令h(x)二f(x)=2e2x-a(x0)，因为h(x)=4e2x-a20，所以h(x)在0,；上

11、xx单调递增.f(x)Xr0时，又x.0,所以h(x)=2e2x)-:，结合h(a)=2e2a-1.0，可得h(x)即x在0,：:上存在唯一零点(2)证明：由(1)可知，当a0时，(x)在0,：:上存在唯一零点.设该零点为X。，则有f(x。)=2e2x0-仝=0.0x0此时由y=2e2象可知，当X，0,x。时，2e2xa<xf(x)=:,f(x)单调递减；2xa2ex则f(x)二2e2x-0，f(x)单调递增x所以f(x)在xo处取得最小值f(Xo)和x三二e%得e2x0af(x)=e2x0_alnx-alna2x02e“oX。2x2e2x2xoa2a22ax0-aln22ax0aln2

12、aa2x0a2x0aIn2，a所以当a0时，f(x)丄2a亠aln.a【评注】当我们研究函数的极值大小时，经常遇到一些较难确定大小的代数式(如f(x0)=e2x0-alnx。)，而x°又是一个无法算得的数值，这时我们利用极值点处的导数为零这一条件(如f(人)=2e2X0-亘=0),消去某些式子，得到较为简单的代数式(如X0a2f(xj2ax0aln)，使研究更为简便2x0a【例4】设函数f(xx2aln(1x)有两个极值点x1,x2,且：x2.(1) 求实数a的取值范围；(2) 求f&2)的取值范围.12x2+2x+a【解析】(1)求导得f(x)=2xa=一x占T1+x1+x

13、'令函数g(X2x22xa，则由函数f(x)有两个极值点X1,x?可知，X1,他必为方1程g(x)=0在1,；上的两个不等根，又注意到函数g(x)图像的对称轴为x，所以(-48a011只需一一，解得0汩：丄故实数a的取值范围是(0,).g(_1)=a>022222(2)x2为g(x)=2x2xa=0的根，则有2x22x2a=0,即a=-2x22x22f(x2)=x2?2x22x2ln(1x2).1 f1由(1)可知，g(0)=a.0，而对称轴x，故有冷,0.2 I2丿设h(x)=x2-?2x22xln(1x),x,0,1则h(x)=2x_4x2ln(1x)_2x22x22x1ln

14、(1-x).0.11-2ln2cY'丿二w,°1x所以h(x)在-1,0上单调递增，则h(x)h1),h(0)I2丿V21_o|n2故f(X2)的取值范围是(,0).4【评注】X2为函数f(xx2aln(1x)极值点，若直接求解沁,再代入f(xO,显然运算量较大.不妨由f(x2)=竺2x2=0,求得a=-2x22-2x2,将f(x2)=x22aln(lx)2中的1+x2a消去即可迅速求解.【变式4】(2013-新课标全国卷H节选)已知函数f(x)=ex-ln(x，2)，证明f(x)0【答案】易知函数f(x)=ex-在(-2,；)单调递增.由f(1f0：知f(x)=0x+2在(

15、-1,0)有唯一实根Xo.当xG.2,沧时，f(x)：0，故f(x)单调递减；当xGXo,:时，f(x)0，故f(x)单调递增故f(x)取得最小值f(X。).11由f(X0)=0得f(X0)=eX00即eX0,则e02即ln(x-2)=-X0.X0+2X0+22所以f(x°)=e"-ln(X02)-x。小°,0,则有f(x)_仏(x)=f(xj0得证.X0十2X0+2【变式5】(2013惠州二模第21题节选)已知函数f(x)二axxln|xb是奇函数，且图像在点(e,f(e)处的切线斜率为3(e为自然对数的底数).(1) 求实数a,b的值；(2) 若k三Z，且k：

16、丄对任意x1恒成立，求k的最大值.x1【答案】(1)由题意易得a=1,b=0f(x).mink：(x-1当x1时，设g(x)=丄凶x_1x亠xlnx则g'(x)二x-2_lnx(x-1)2(2)当x1时，由k：丄凶恒成立，得x_1、1设h(x)=x2lnx，则h'(x)=10,h(x)在(1,；)上是增函数.x因为h(3)=11n3：0,h(4)=21n40，所以xo(3,4)，使h%)=0.x(1,x。)时，h(x)：0,g'(x)：0，即g(x)在(1,x。)上为减函数；同理g(x)在(冷，：)上为增函数故gmin(X)二g(x).由山(花)=x02-Inxfj=0得Inx=x2.于是，gmin(X)=g(x0)=人二_=人，所以k：gmin(X)=x0(3,4)，又kZ,故k的最大值为3.【变式6】(2012新课标全国卷文节选)设函数f(x)=ex_ax-2.(1)求f(x)的单调区间；若a=1,k为整数，且当x.0时，(x-k)f(x)亠xT.0，求k的最大值.【答案】(1)易得若a乞0,f(x)在R上单调递增；若a0,f(x)在-:：,lna上单调递减,在lna,；上单调递增.(2)当a=1时，(x-k)f(x)x1=(x-k)(ex-1)x10等价于k：£x(x0).令e-1g(x)xx，则k:gmin(x).e-1x.x,xx