例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

1、例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。【例题1】在

2、图 8-4 甲所示的电路中，Ri=R2=R3=R4=R5=R，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB。模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、D 缩为一点 A 后，成为图 8-4 乙图。图8-4答案：RAB=3R。8【例题2】在图 8-5 甲所示的电路中，Ri=1Q,R2=4a,R3=3a,R4=12a,R5=10a，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB。模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将 A、B 两端接入电源，并假设 R5不存在，C、D 两点的电势相等。因此，将 C、D 缩为一点 C

3、 后，电路等效为图 8-5 乙fflfi-5对于图 8-5 的乙图，求 RAB是非常容易的。事实上，只要满足电路平衡。答案：RAB=9。4【例题 3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为间的等效电阻 RAB。【例题 4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体,求 AB 间的总电阻。2、电流分布法设有电流 I 从 A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组,电流与四=生的关系，该桥式R2R4R，试求 A、B 两点之每段导线的电阻都是 1C。RABUAB,再由UABI即可求出等效电阻

4、。【例题 1】7 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出 A、B 两点之间的等效电阻RAB。【例题 2】10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B 两点之间的等效电阻RAB。【例题 3】8 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络，C、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出 A、B 两点之间的等效电阻RAB。解出各支路CD总电流 I 的关系，然后经任一路径计算 A、B 两点间的电压【例题 4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R,求 A、B 间等效电阻。3、Y一变换法在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y型或,如图所示， 有时把 Y 型联接代换成等效的型联接，

5、或把型联接代换成等效的 Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求丫型联接个端纽的电压U12、U23、U31及流过的电流11、I2、I3与型联接的三个端纽相同。将 Y 型网络变换到型电路中的变换式：R12RRR2R3R3R1R3RR2R2R3R3R1R2R1R2R2R3R3R1R1将型电路变换到 Y 型电路的变换式:R12R31R12R23R31R12R23R12R23R31R31R23R12R23R31以上两套公式的记忆方法：一Y:分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支

6、路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。YA:分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。当 Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当联接的三个电阻相等时，与之等效的 Y 形联接的三个电阻相等，且等于原来的 1/3。【例题 1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻 RAB。提示：法一：“A-Y”变换；法二：基尔霍夫定律【例题 2】试求如图所示电路中的电流 I。 （分别应用两种变换方式计算）【课堂练习】分别求下图中 AB、CD 间等效电阻。（答案：0.5R;RPQ=4Q）一x-a=0

7、。所以114ax二2这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。一维无限网络【例题 1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R,试求 A、B 两点间的电阻 RAB。4、无限网络(a0)在求 x 值时，注意到 x 是由无限多个0a组成，所以去掉左边第一个aa+对 x 值毫无影响，即剩余部分仍为 x,这样，就可以将原式等效变换为 x=%a+x,即A解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个 R 再串联一个 R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级白叠加。在图 8-11 乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即RAB/R+R=RAB

8、解这个方程就得出了 RAB的值。解法二：可以，在 A 端注入电流 I 后，设第一级的并联电阻分流为 Ii,则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图 8-12所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有图8-12(I-I1)R+(I-I1)；R-IIR=0解得 I1=I很显然 UA-IR-I1R=UB即 UAB=IR+-IR=1IR22最后，RAB=立=止均R。I2【例题 2】如图所示，由已知电阻 r1r2 和 r3 组成的无穷长梯形网络，求a、b 间的等效电阻 Rab.（开端形）【例题 3】如图所示，由已知电阻等效电阻 Rab.（闭端形）r1、r2 和 r3 组成的无

9、穷长梯形网络，求 a、b 间的双边一维无限网络【例题 4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻【例题 5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻 r2,求 f、g 之间的等效电【例题 6】如图所示，求 g、f 间的等效电阻。（完整形）小结：一维无限网络利用网络的重复性。二维无限网络【例题 7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为 R,由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处.A 和 B 为网络中任意两个相邻节点，试求 A、B 间的等效电阻 RAB.模型分析：如图，设有一电流 I 从 A 点流入，从无穷远处

10、流出.由于网络无穷大，故网络对于 A 点是对称的，电流 I 将在联接 A 点的四个电阻上平均分配.这时，电阻 R（指 A、B 两节点间的电阻）上的电流为 I/4,方向由 A 指向 B.%=箍=型”=（口）I22【例题 8】对图示无限网络，求 A、B 两点间的电阻 RAB。r2,求 e、f 之间的等效电阻。（中间缺口形）阻.（旁边缺口形）同理，再设一电流的对称点，因此在电阻方向也是由 A 指向 B.将上述两种情况叠加,I 从无穷远处流处，从节点R 上分得的电流也为 I/4其结果将等效为一个从节点 A 流入网络，又从节点 B 流出网络的稳恒电流在无穷远处既不流入也不流出.每个支路上的电流也是上述两

11、种情况下各支路电流的叠加.因此，电阻上的电流为 I/2.所以 A、B 两节点间的电势差为：I,B 流出.由于网络无穷大，B 也是网络11tI【例题 9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为R0,求：(1)结点 a、b 间的电阻。(2)如果有电流 I 由 a 点流入网络，由 g 点流出网络，那么流过 de 段电阻的电流 Ide为多大。解：(1)设有电流 I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I/3电流由 a流向 c,有I/6电流由 c 流向 b。再假设有电流 I 由四面八方汇集 b 点流出，那么必有I/6电流由 a 流向 c,有I/

12、3电流由 c 流向 bo将以上两种情况综合，即有电流I 由 a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知Iac36IIIcb362（由 a 流向 c）2（由 c 流向 b）因此，a、b 两点间等效电阻(2)假如有电流 I 从 a 点流进网络,UABIacRoIcbRo=RoII流向四面八方，根据对称性，可以设11=I4=I7=IA12 =I3=I5=L=I8=I9=IB应该有3IA6IB=I因为 b、d 两点关于 a 点对称，所以1I=IIdebeA2同理，假如有电流 I 从四面八方汇集到 g 点流出，应该有ITdeB最后，根据电流的叠加原理可知.111Ide=IdeIde=IAIB=-31A6IBI266三维无限网络【例题 10】假设如图有一个无限大 NaCl 晶格，每一个键电阻为r,求相邻两个 Na 和 Cl 原子间的电