考研教学二考试重点难点总结

1、考研教学二教材下载电子教材我们讲义共写了八章，数学一的考生全部要学，而其它考生只需要其中的一部分。根据共同需要的内容先讲的原则，讲课内容与顺序安排如下：第一章函数、极限、连续（全体）第二章一元函数微分学（全体）第三章一元函数积分学（全体）第六章多元函数微分学（全体）第七章§ 7.1二重积分（全体）第四章§ 4.1一阶微分方程§ 4.3 微分方程的应用（数学四考生结束）§ 4.2 高阶微分方程（数学二考生结束）第八章 无穷级数（数学三考生结束）第五章向量代数与空间解析几何第七章§ 7.2三重积分§ 7.3 曲线积分§ 7.4

2、曲面积分数学一全部内容结束第一章函数、极限、连续§ 1.1函数（甲）内容要点一、函数的概念1.定义yf ( x) ， xI4隐函数F ( x, y)0确定 y 与 x 的函数关系有 些 隐 函 数 能 化 为 显 函 数 ， 例 ： x2y21 ，y1x2和 y1 x 2 。另外有些隐函数则不能化为显函数。例：ex ysin(3x2 y)50二、基本初等函数的概念、性质和图像（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）例 1：考察limarctan xx( x)( x)ya r c t axn的图像x 为自变量， y 为因变量或称为函数值 f : x y 为对应关系自变量在定义域里

3、面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。口诀（ 1）：函数概念五要素；对应关系最核心。2.分段函数（考研中用得很多）x2, x1例 1：f ( x)3x1, x1x , x0例 2： x0x , xx 2, x0例 3： max( x, x2 , x3 )x,0x 1x3, x1口诀（ 2）：分段函数分段点；左右运算要先行。3反函数例： y x2的反函数xy由于不单值，所以要看作xy 和 xy ，它们的图像与 yx 2 一致。如果改变符号，写成yx 和yx ，那么它们的图像要变。1例 2：考察 lim e x2x 0因为 lim (12 )x 0x指数函数 yex 的图像1因此 lim e

4、 x20x 0三、复合函数与初等函数1.复合函数（ i）已知f ( x) ， g( x) ，求 f g(x)（ ii ）已知f g (x) ， g( x) ，求 f ( x)2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说，分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数（ 1） ylimf n xn（ 2） ylimf t , xt x2用变上、下限积分表示的函数xdy（ 1） yF ( x)ft dt其中 f t连续，则f xadxx（ 2） yG( x)21 x ， 2x 可导， f t 连续，f t dt其中1 x则 dyf2

5、 x2 xf1 x1 xdx口诀（ 3）：变限积分是函数；出现之后先求导。五、函数的几种性质1有界性：（ i）定义：设函数 yfx 在 X 内有定义， 若存在正数M ，使 xX 都有f xM ，则称 fx在 X 上是有界的。（ ii ）例： f ( x)1在（ 0， 1）内无界，在（1/2， 1）内有界x2奇偶性：X ，都有 fxfx，则称 fx（ i ）定义：设区间 X 关于原点对称，若对x在 X 上是奇函数。若对 xX ，都有 fxfx，则称 fx在 X 上是偶函数。（ ii ）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。af ( x)dx0当f为奇函数常用公式：aa2

6、f (x)dx当f为偶函数0口诀（ 4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。3单调性：fx在 X 上有定义，若对任意x1X ， x2X ， x1（ i ）定义：设x2 都有 fx1fx2fx1f x2则称fx 在 X 上是单调增加的单调减少的；若对任意 x1X，X，x2 都有 fx1fx2fx1fx2，x2x1则称 fx 在 X 上是单调不减 单调不增 （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）（ ii ）判别方法：在（a， b）内，若 f (x)0 ，则 f (x) 单调增加；若f(x)0 ，则单调减少。口诀（ 5）：单调增加与减少；先算导数正与负。4周期性

7、：（ i）定义：设f x 在 X 上有定义，如果存在常数T0 ，使得任意xX ， xTX ，都有 fxTfx ，则称 fx是周期函数，称T 为 fx 的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。（ ii ）例：f ( x)sinx(0) 周期为 T2； f ( x) sin xcos x 周期为 12是 4和 6的最小公倍数；f (x)sinxsin 2x 不是周期函数，因为232 和没有最小公倍数。（乙）典型例题一、定义域与值域例 1设 fx 的定义域为a, aa0 求 fx21 的定义域解：要求ax21a ，则 1ax2x 21a ，当 a1时， 1 a0

8、，x21 a ，则 x1 a当 0a 1时， 1 a0 ，1 a x1 a也即 1 a x1a 或 1 a x1 a3x3 , x2例 2求 yfx5x,2x2 的值域，并求它的反函数。1x2 2 , x2解： x2 ， y 38 11 ， x3 3y ，2 x 2 ， 3 y5 x 7 ， x 5y ，x 2 ， y 1x 2 21， x 21 y ，所以 yfx 的值域为,13,711,21 y , y 1反函数 x5y,3 y7.3 3y , y11二、求复合函数有关表达式例 1设 f xx，求 f ff xf n x1 x2n 重复合解： f 2 xf f xfxx1x 2x2 ，1

9、f 2 x1 x 21 x21 2 x若 f kxx，1kx2则 f k1xf kxx1x2x1 f k2 x1 kx 21 kx21 k 1 x2根据数学归纳法可知，对正整数n ， f n xx1 nx2例 2已知 fexxe x ，且 f10 ，求 fx解：令 ext ， xln t ，因此 fexftln t，xtf xf 1x ln t12t12xdtln1ln1t22f 10 ，fx1ln 2x2三、有关四种性质例1设Fxfx ，则下列结论正确的是（ ）（ A ）若 f x 为奇函数，则 F x 为偶函数（ B ）若 f x 为偶函数，则 F x 为奇函数（ C）若 f x 为周期函

10、数，则 F x 为周期函数（ D ）若 f x 为单调函数，则 F x 为单调函数解：（ B ）的反例f ( x)3x 2； F (x)x31 ；（ C）的反例f (x)cos x 1;F ( x)sin xx ； (D) 的反例 (,) 内 f ( x)2x ； F ( x)x 2（ A ）的证明：F ( x)F (0)xF (x)F (0)xF ( x)F(0)xf (t )dtf (t )dtf (t )dt000作变量替换utx则 F (x)F (0)u)d (u)f (0f 为奇函数，f ( u)f (u)于是 F(x)xf (u)duF ( x)F (0)0F ( x) 为偶函数例

11、2求I15exe x ln xx21 dxx x1解： f1xexe x 是奇函数，f1xe xexf1xf2 xln xx21是奇函数，f 2xlnxx21ln x 21x2xx21ln 1ln xx21f 2x因此 x exe xln xx21是奇函数于是 Ix6 dx 0 2 x 6dx211107例 3设 fx ，g x 是恒大于零的可导函数，且 fx g x f x g x 0 ，则当 ax b 时，下列结论成立的是（ ）（ A ） f x g bf b g x（ B ） f x g af a g x（ C） f x g xf b g b（ D ） f x g xf a g a解：（

12、 A ）等价 f ( x)f (b)，只需f ( x)单调减少；g ( x)g(b)g( x)（ B ）等价 f ( x)f ( a)，只需f ( x)单调增加；g( x) g (a)g ( x)（ C）只需（ D ）只需f ( x)g (x) f ( x)g( x)单调减少单调增加现在f ( x)f( x) g (x)f ( x) g ( x)0，所以 f (x) 单调减少，故（A ）成立。g (x)g 2 (x)g( x)四、函数方程例 1设 fx在 0,f00g xfxx 2ex ，求 f x上可导，反函数为，且g t dt。0解 ： 两 边 对 x求 导 得 gfxfx2xexx 2e

13、x， 于 是 xf xx 2x ex ， 故f xx 2 ex ，f xx 1 exC ，由 f 00，得 C1，则 f xx 1 ex1。口诀（ 6）：正反函数连续用；最后只留原变量。例 2设 fx满足 sinfx1 sinf1 xx ，求 f x33解：令 gxsin fx ，则g x1 g1 xx ，3311x1g1x1x3 g3323232，12 g12 x13g 13x14 x ，333331g1x1g1x1x ，3n 13n 13n3n32 n 1g x11x 111各式相加，得3n g3n x99 n 1g x，lim1g1x01nnn33lim 1111999n118n19因此

14、 g x9 x ，于是892k 19f x ar c s i n x 2k 或arcsin x （ k 为整数）88口诀（ 7）：一步不行接力棒；最终处理见分晓。思考题设 ba 均为常数，求方程sin xb lnxbxb 21sinx a lnxax a 210 的一个解。解：令 f (t )sint ln tt 21，则原方程相当于f ( xb)f ( xa) ，而 nist 和 ln tt 21 都是奇函数， 故 f (t )为偶函数，于是只要( xb)( xa) ，x1 (ba)2§ 1.2极限（甲）内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念lim xnA（ 1）数列的极限n

15、（ 2）函数的极限limfxA ； limfxA ； limf xAxxxlim f xA ； limfxA ； limfxAx x0xx0xx02极限的基本性质定理 1（极限的唯一性）设limfxA ， limf xB，则 AB定理 2（极限的不等式性质）设limfxA ， lim g xB若 x 变化一定以后，总有f xg x，则 AB反之， AB ，则 x 变化一定以后，有f xg x （注：当 g x0 ， B0 情形也称为极限的保号性）定理 3（极限的局部有界性）设limfxA则当 x 变化一定以后，f x是有界的。定理 4设 limfxA ， lim g xB则（ 1） limfx

16、g xAB（ 2） limfxg xAB（ 3） limfxg xA Bf xAB0（ 4） limBg x（ 5） lim f xg xA BA0二、无穷小1lim fx0，则称f x为无穷小（注： 无穷小与x的变化过程有关，lim10，当 x时无穷小定义：若xx为无穷小，而xx0或其它时，1 不是无穷小）x2无穷大定义：任给M0 ，当 x 变化一定以后，总有 f xM ，则称 fx 为无穷大，记以lim f x。3无穷小与无穷大的关系：在x 的同一个变化过程中，若 f x 为无穷大，则1为无穷小，f x1x若 f x 为无穷小，且fx01为无穷大。，则f x4无穷小与极限的关系：lim f

17、 xAfxAx ，其中 limx05两个无穷小的比较设 lim f x0， lim g x0 ，且 limf xlg x（ 1） l0 ，称 fx是比 g x 高阶的无穷小，记以f x o g x称 g x 是比 f x 低阶的无穷小（ 2） l 0 ，称 f x 与 g x 是同阶无穷小。（ 3） l1，称 fx 与g x 是等阶无穷小，记以f x g x6常见的等价无穷小，当x0 时sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x ，1 cos x 1 x 2，x， x，1xa1 ax。2e1 x lim 1 x7无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小。

18、口诀（ 8）：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则 1：单调有界数列极限一定存在（ 1）若 xn1xn （ n 为正整数）又xnm （ n 为正整数），则 lim xnA 存在，且 Amn（ 2）若 xn1xn （ n 为正整数）又xnM （ n 为正整数），则 lim xnA存在，且 AMn准则 2：夹逼定理设 g xfxh x 。若 lim g xA ， lim h xA ，则 lim f xA3两个重要公式公式 1： lim sin x1x0xnu111公式 2： lim1e ； lim1e； lim 1v venunuv04

19、用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当 x0 时， ex1 xx2x no x nx 22!n!x 3ex1 x23o( x3 )例：求 lim32用 ex1xxxo x 3（最后一项比x3 高阶无穷小）原式lim631 ，x0x2! 3!x 0x6这样比用洛比达法则简单sin xxx3x 51 nx 2n1o x2 n13!5!2n1 !cos x1x 2x 41nx2 no x2n2!4!2n !ln 1 xxx 2x31 n 1 x no xn23nx3x5n1x2n1o x 2n1arctan xx11352n1 x a1 axa a

20、1 x 2a a 1a n 1 xno x n2!n!6洛必达法则专门来处理七种比较困难的极限：0 ； 0 *； 1； 00；00第一层次：直接用洛比达法则可处理0 和两种0法则 1：（0 型）设（ 1） lim f x0 ， lim g x00（ 2） x 变化过程中，fx ， g x 皆存在（ 3） limfxA （或）gxfxA （或）则 limg x（注：如果 lim fx不存在且不是无穷大量情形，则不能得出limf x不存在且不是无穷大量情形）g xg x法则 2：（型）设（ 1） limf x， lim g x（ 2） x 变化过程中，fx， gx皆存在（ 3） limfxA （或）xg则 lim fxA （或）g x1cos x例： limx2x 0cos x 1 x2方法一：等价无穷小替换12方法二：洛比达法则分子分母求导得sin x ，然后可以用公