D114函数展开成幂级数49963学习教案

1、会计学1D114函数展开成幂级数函数展开成幂级数49963第一页，编辑于星期六：四点 五十六分。其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :第1页/共19页第二页，编辑于星期六：四点 五十六分。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?若函数的某邻域内具有任意阶导数

2、, 0)(xxf在第2页/共19页第三页，编辑于星期六：四点 五十六分。各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有第3页/共19页第四页，编辑于星期六：四点 五十六分。若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .第4页/共19页第五页，编辑于星期六：四点 五十六分。1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处

3、的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开第5页/共19页第六页，编辑于星期六：四点 五十六分。展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第6页/共19页第七页，编辑于星期六：四点 五十六分。展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0第7页/共19页第八页，编辑于星期六：四点 五十六分。类似可推出:),(

4、x),(x第8页/共19页第九页，编辑于星期六：四点 五十六分。利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例3. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 第9页/共19页第十页，编辑于星期六：四点 五十六分。展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第10页/共19页第十一页，编辑于星期六：四点 五十六分。展成解解: 的幂级数. 第11页/共19页第十二页，编辑于星期六：四点 五十六分。分别展成 x，x+1的幂

5、级数. 解解: 231x第12页/共19页第十三页，编辑于星期六：四点 五十六分。展成 x1 的幂级数. 解解: 第13页/共19页第十四页，编辑于星期六：四点 五十六分。1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式x2!21x式的函数 .第14页/共19页第十五页，编辑于星期六：四点 五十六分。x11当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x第15页/共19页第十六页，编辑于星期六：四点 五十六分。作业 P266 11 (1) , (3) , (4) , (5) ; 12 ; 14 第16页/共19页第十七页，编辑于星期六：四点 五十六分。第17页/共19页第十八页，编辑于星期六：四点 五十六分。)1 (lnxx