《电磁场理论》4

1、电磁场理论（第四章）第四章 时变电磁场 前面几章分别研究了电场和磁场,它们都是不随时间变化的。本章研究电磁场的一般情形。当电荷和电流随时间变化时，在周围空间会发现变化的电场和磁场，并且电场和磁场间存在着不可分割的联系，构成统一的电磁场。 1831年,法拉第首先发现电磁感应现象.当一个导体回路中的电流变化时,在附近的另一个导体回路中将出现感应电流.把一个磁铁在一个闭合导体回路附近移动时,回路中也将出现感应电流。4-1电磁感应定律和全电流定律4.1.1 法拉第电磁感应定律两种情形表示一个相同的现象，即穿过一个回路的磁通发生变化时，在这个回路中将有感应电动势出现,并且在回路中产生电流。 按照法拉第电

2、磁感应定律，设有导线构成的闭合回路l，当穿过以这个回路为周界的曲面S的磁通发生变化时，在回路中将引起感应电动势。SdBdtddtdSm这里规定，感应电动势和磁通的参考方向成右螺旋关系。式中的“-”号，由“棱次定律”所决定：感应电动势及其所产生的电流的方向总是企图阻止与回路交链的磁通的变化。 磁通变动的三种情况是： 1.时变场中的静止回路时变场中的静止回路 随时间而变化的磁场在静止的回路中引起感生电动势（也叫变压器电动势）。这时，磁通的变化可用对时间的偏导数表示，即：SSSdtBSdBt 2.静磁场中的运动导体静磁场中的运动导体 当导电回路或部分导电回路相对于恒定磁场运动时，即通常所说的导线切割

3、磁力线运动，产生动生电动势（工程上称为发电机电势）。设组成导电回路的元线段dl对磁场的相对速度为v，则其中的自由电荷dq所受的磁场力为df=dq(vB)，因此，感应电场ldBvl)( 3.时变场中的运动回路时变场中的运动回路 这是上述两种情况的复合，这时回路中感应电势应表示成两部分的总和。ldBvSdtBlS)( 上面假设变化的磁场引起感应电场是发生在导体构成的回路中。实验表明，感应电动势的大小与回路l的导电性能无关，不管回路是由低电阻导线还是高电阻导线构成的，得到的感应电动势是相同的，只不过感应电流的大小不同而已。可见，出现感应电动势是时变场本身的一种表现。因此，Maxwell将电磁感应定律

4、推广到任意媒质（包括真空）中所取的回路上。4.1.2 感应电场(涡旋电场) 在回路中出现感应电动势是在回路中出现感应电场的结果。感应电动势等于感应电场沿回路的线积分。因而法拉第电磁感应定律可写成SdBdtdldESlildElildBvSdtBlS)(对上式应用斯托克斯定理，可得相应的微分形式)(BvtBEi说明时变电磁场的电场强度不符合守恒性。因为除了电荷引起的电场外，还有电磁感应引起的电场，而后者是不符合守恒性的。可见，时变电磁场的电场是和其磁场的变化密切相联系的。tBEi 在静止媒质中，电磁感应定律的微分形式为4.1.3 全电流定律 现在来研究恒定磁场中安培环路定律的表达式按照这个式子，

5、沿任一闭合回路l的磁场强度的积分，等于穿过以l为周界的曲面的电流。但是,当我们把它应用到图4-1所示的电容器电路时，便发生了困难，如果我们取S2面作为以l为周界的曲面，则因穿过S2面的电流为i，故有IldHl图5-1S1S2liildHl如果我们取S1面作为以l为周界的曲面，则因无电流穿过S1面，故有0ldHl两种情况所的结果不同，这就产生了矛盾，显然，矛盾的由来在于电流（严格说是传导电流）的不连续。事实上，在时变场情况下的电流连续性原理，要由更为普遍的规律电荷守恒定律导出。2-3中已经讲过，电荷守恒定律的积分表达式是tqSdJS书p.74式（2-16）根据高斯定理，上式右方：SdDttqS图

6、4-1S1S2liSdDtSdJSS则有即0)(SSdtDJtDJJJd 这是电流连续性原理的推广形式。式中 一项具有电流密度的量纲，并和J处于相同的地位，称为位移电流密度。以Jd表示之，tD称为全电流密度。这样，由任意闭合曲面流出的全电流恒等于零，也叫全电流连续性原理。全电流连续性原理 以上分析说明，安培环路定律要求电流是连续的才能成立，但在时变场的情况下，传导电流不一定连续。只有把位移电流考虑在内的全电流才总是连续的。因此，我们要把安培环路定律中的电流换成全电流SdDtSdJldHSSl所以称它为全电流定律。可见时变电磁场的磁场是与电场的变化密切相联系的。而恒定磁场中的安培环路定律，是时变

7、场中的全电流定律的特殊形式 应用斯托克斯定理lSSdHldH可得全电流定律的微分形式tDJH4.1.4 电磁场 1862年麦克斯韦在论物理的力线一文中，引进“位移电流”概念。这在当时还是一种假设，但这一假设具有深远的意义,也是电磁学上重大的突破。在此基础上，麦克斯韦以他的高度的抽象力和卓越的数学才华，于1864年导出了麦克斯韦方程组。1865年，他又在电磁场动力学一文中，用拉格朗日和哈密顿所创立的数学方法，从这组方程直接导出电磁场的波动方程，推算出电磁波传播速度恰好等于光速，即从理论上预言了电磁波的存在。麦克斯韦还推断，光也是一种电磁波。后来（1887年）赫兹用实验验证了电磁波确实存在，188

8、8年赫兹测定了电磁波的波速，其数值与麦克斯韦预料的完全相同。并用实验验证了电磁波具有光波的一切性质，能产生反射、折射、衍射、干涉等现象。此后大量的实践都证明麦克斯韦方程组是正确的。它同电荷守恒定律、洛伦兹力公式合在一起，构成了宏观电动力学的基础。)(BvEf4-2 电磁场的基本方程组 分界面上的衔接条件 Maxwell方程是电磁场的基本方程，是卖克斯韦在他提出位移电流的假设下，全面总结电生磁和磁生电现象后提出来的。归纳前面的内容，便可得到在静止媒质中其积分形式如下：SdtDSdJldHSSlSdtBldESl0SdBSqSdDS（1）（2）（3）（4）4.2.1 电磁场基本方程组将上面各式分别

9、化为对应的微分形式，并加上考虑媒质电磁性能的辅助方程，便得tDJHtBE0 B DEJHBED（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） 其中(1)、(5)是全电流定律,它表明传导电流和位移电流即变化的电场都能产生磁场；这里应注意到,在积分形式中,在一定的区域内可以同时存在传导电流和运流电流,但在相应的微分形式中,由于它所表征的是每一点上的电磁量之间的关系，因此,传导电流密度和运流电流密度不可能同时存在。 (2)、(6)式是电磁感应定律,它表明变化的磁场产生电场。 (3)、(7)式是磁通连续性原理,它表明不存在自由电荷。 (4)、(8)式是高斯定理,它表明电荷引起电场。 (9)、(10)、

10、(11)式是表明物质极化、磁化和导电性能的方程,也称为介质的特性方程。当导电媒质中有局外场强Ee时,(11)式改写成J=(E+Ee)。 全电流连续性没有单独用方程表示,因为它是第一方程的结果。 麦克斯韦方程是宏观电磁现象的基本规律，电磁场的计算都可归结为求麦克斯韦方程的解，静电场、恒定电场和恒定磁场的方程都可以由麦克斯韦方程导出，它们不过是 的特殊情形下的麦克斯韦方程。0t 例例4-1 在无源的自由空间中,已知磁场强度mAeztHy/)10103cos(1063. 295求位移电流密度Jd。 解解：由于J=0，麦克斯韦第一方程成为tDH所以，得)/()10103sin(1063. 200294

11、mAeztzHeHeeeHtDJxyxyzyxzyxd 例例4-2 在无源区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度)/()9 .201028. 6sin(1092mVeztEy求空间任一点的磁感应强度B。 解解：由麦克斯韦第二方程，有将上式对时间t积分，若不考虑静态场，则有xxyezteZEEtB)9 .201028. 6cos(109 .2092)()9 .201028. 6sin(1033. 3911TeztdteZEBxxy 在不同媒质的分界面处，由于媒质参数、或的突变，麦克斯韦方程的微分形式失去意义，代替它的是以积分形式的场方程导出的分界面处电磁场各分量的连续条件，即衔接条件。

12、在两种媒质分界面上一个小区域内，运用Maxwell方程组的积分形式，可推导出这些衔接条件，这与静电场和静磁场中所采用的方法相类似。通常在边界上取一个长边分别位于两种相邻媒质中的扁平的矩形闭合路径，对其利用旋度方程的积分形式（环路积分）可获得切向分量的衔接条件；而在分界面上取一个底面分别位于两种相邻媒质中的扁平圆柱体，对其利用散度方程的积分形式（闭合面积分）可获得法向分量的衔接条件。它们分别是：4.2.2 分界面上的衔接条件 E1t=E2t H1t-H2t=K B1n=B2n D1n-D2n= 以上是任意媒质分界面上的边界条件。现在我们讨论两种无损耗线性媒质之间的分界面 无损耗线性媒质可以用介电

13、常数和磁导率来描述，其电导率=0。在两种无损耗媒质之间的分界面上，一般不存在自由电荷和面电流。于是相应的边界条件可表示成：式中K为分界面相应点上的面电流密度，为自由电荷面密度。 E1t=E2t E1sin1=E2sin2 D1n=D2n 1E1cos1=2E2cos2 H1t=H2t H1sin1=H2sin2 B1n=B2n 1H1cos1=2H2cos2式中1、2分别为E1、E2与分界面法线间的夹角；1、2分别为H1、H2与分界面法线间的夹角。从上列各式可得到：以上两式就是电磁场的折射定律。21212121tgtgtgtgE1E212H1H221图4-2 对于理想导体（或完纯导体），其电导

14、率。因J=E，而J不可能为无限大，故E必定为零。又因为,在时变电磁场中，电场和磁场总是相互联系的,因此在理想导体中也就没有磁场。否则这个变化的磁场必将引起电场。根据这些讨论可得，在理想导体（设为媒质1）与电介质（设为媒质2）的分界面上,衔接条件为4.2.3理想导体表面上的边界条件H2t=KB2n= B1n=0E2t= E1t=0D2n=这里必须注意到磁场强度H和面电流K之间的右螺旋关系，上述边界条件中磁场强度H2t和面电流密度K之间的关系可表示成在电介质（媒质2）与理想导体（媒质1）之间的分界面上有KHetn2ne表示导体表面的外法线方向的单位矢量。 例例4-3 比较导体中的传导电流和位移电流

15、的大小。设导体中存在电场，电场强度为Emsint，导体的电导率=10-7 S/m，介电常数=0。 解解：根据欧姆定律的微分形式，导体中的传导电流密度为J=E= Emsint导体中的位移电流密度为fJJd7010tEtEtJmmdcos)sin(00其中=2f。当频率低于光波频率f=1013Hz时，在良导体中，位移电流与传导电流相比，是微不足道的。 例例4-4 已知媒质1中的磁场强度为 H1=ex+2ey+3ez A/m分界面上有以线电流密度K=2ex A/m分布的面电流（图4-3），试求媒质2中的磁场强度H2。xyzoK12图4-3 解解：媒质1中H1在分界面上的切向分量为xyzoK12图4-

16、3H1t=H1tet=H1xex+H1zez=ex+3ez其中，与面电流K相交链的磁场切向分量为H1z，根据公式H2z-H1z=K，有 H2z-H1z= H2z-3=2得 H2z=5由于H1x与面电流K平行，所以有H2x=H1x=1 又根据公式B2n=B1n，有B2y=B1y=1H1y=21所以有2122221yyBH最后得）（mAeeeeHeHeHHzyxzzyyxx/52212222 根据电磁场的完整方程组，可以分析一般电磁场问题。但是为了简化分析起见，也可以象恒定场中那样，引入某些位函数,通过它们来研究电磁场问题。当我们要研究电磁场与场源(电荷、电流)的关系时，引入位函数尤为必要。这些位

17、函数要根据电磁场的性质引入,并可将场的方程转化为位的微分方程。在时变场条件下,这些位函数也是时间的函数,故称为动态位。4-3动态位及其积分解4.3.1 动态位 在时变电磁场中，空间各点的场量应满足电磁场的基本方程组。为了方便起见，将电磁场方程组重写于下tDJH0 B D（1）（2）（3）（4） 根据上面的第（3）式，因旋度的散度恒为零，可引入动态矢量磁位AAB（5） 将（5）式代入（2）式，得到)()(tAAtEtBE0)(tAE即： 因梯度的旋度恒为零，故可引入动态标量电位：tAE或：（6） 至此，我们已根据（2）式和（3）式引入了动态矢量位A和标量位。只要求得A和，就可由（5）、（6）两式

18、求得B和E。tAE4.3.2 达朗贝尔方程 下面我们来讨论A和的方程： 将（5）式和（6）式代入（1）式，便得)(1tAtJA22)(tAtJA 根据矢量恒等式，将上式改写2222)()()(tAtJAAAAAtAJtAA)(222或（7）将（6）式代入（4）式，便得)(tAD)(2At即：（8） 由（7）式和（8）式确定了A和，就可由（5）、（6）式确定B和E。但是给定的B和E并不对应于唯一的A和。tAA，AAA)(tAAtttA)()(则有：例如设：可见，A和与A和对应于同样的B和E。要单值的确定动态位，除了规定A的旋度外，还应规定A的散度。为了方便起见，可令tA0tA上式称为洛仑兹条件。

19、则（7）和（8）式便化为非齐次波动方程或达朗贝尔方程：JtAA222222t在场量不随时间变化时，上面两式便退化为泊松方程。（9）即：（10）（11）4.3.3 达朗贝尔方程的解 在线性、均匀、各向同性的媒质中，达朗贝尔方程是线性微分方程，如果场源分布在有限空间，可以把它分解成无穷多个点源。解出存在点源的达朗贝尔方程以后，任何分布场源的解将是各点源单独作用的解的迭加。图4-4orP(x,y,z)q(t) 我们先研究空间某一点有一个随时间变化的点电荷q(t)所产生的动态标量位。（如图4-4所示） 依题意，除了r=0的点之外，空间任意点的标量位满足齐次的达朗贝尔方程0222t（12）由于点电荷在它

20、周围空间产生的场具有球对称性，即在球坐标系中=(r,t)，上式简化为只与r有关的形式11)(112222222vtvrrrrrrr22222)(1)(trvrr（13）或：这是一个一维波动方程，在数学中称为弦振动方程。它的通解是)()(21vrvrtftfr（14）式中f1、f2是存在二阶偏导数的两个任意函数，其具体形式可根据定解条件来确定。 上面推出的（14）式右端有两项，从数学上看，都是达朗贝尔方程的解，然而，物理意义却不同。 先看第一项，因当t增加t，r增加r=vt时vrvtvrttt)(不变，故f1(t-r/v）不变。也就是说，在r处，t时刻的F1值，在时间增加t时，将出现在r+r=r

21、+vt处。故f1(t-r/v)代表沿r方向离开场源以速度v推进的波，称为入射波。同理可知，f2(t-r/v)代表沿着(-r)方向以速度v推进的波，称为反射波 对于入射波，空间任意点（x,y,z)在t时刻的值，并不决定于此时刻体积 V内场源的分布，而是决定于此时可之前即(t-r/v)时刻场源的分布，相差r/v秒，这正好是源的扰动以速度传播r的距离到达场点P所需的时间，因此又称动态位为推迟位。1v对于反射波，从形式上看具有超前的意义。但反射波是由于入射波在前进过程中遇上媒质不均匀处发生反射而形成的，它沿（-r）方向前进，它的推迟时间是从激励源经过反射到达空间某一点所经历的时间，所以推迟得更多。 我

22、们知道，静电场是时变场的一个特例，这时达朗贝尔方程就蜕变成泊松方程。因为点电荷的泊松方程的解为rqr4)(（15）点电荷的达朗贝尔方程可根据上式通过类比的方法得到。即rtqrtqvrvr4)(4)(（16）P(x,y,z)dVVRP(x,y,z)图4-5、 如果时变电荷以密度分布在体积V内，如图4-5所示，可把分布电荷分解为许多点源，每个点源上的电量是dV,它在空间任意点所产生的动态标量位是4), , , (4), , , (),(dVRtzyxdVRtzyxtzyxdvrvr式中, 整个分布电荷在场点P(x,y,z)所产生的标量位是上式在电荷分布区域V内的积分，即 rrR4141), , ,

23、 (), , , (),(VvrVvrdVRtzyxdVRtzyxtzyx 在体积V内分布有时变电流源时，同理得出动态矢量位A的解是44), , , (), , , (),(VvrVvrdVrtzyxJdVrtzyxJtzyxA（17）（18） 在无限大均匀媒质中，不存在反射波，所以41), , , (),(VvrdVRtzyxtzyx4), , , (),(VvrdVRtzyxJtzyxA 电磁场的波动性说明，任何电磁扰动在介质中都以一个有限的速度传播，这个速度称为波速，它由媒质的特性决定。rrrrcv0011smc/1031800其中 是电磁波在自由空间传播的速度，即光速。BHDEme21

24、21 在研究静电场和恒定磁场时，我们已经知道，电能储存在电场中，电场能量的分布密度为 ；磁能储存在磁场中，磁场能量的分布密度为 。 BHm21DEe21 在时变电磁场中，既有电场，又有磁场。因此，电磁场中总的电磁能量的分布密度为4-4电磁功率流和坡印亭矢量 由麦克斯韦方程连同电场能量和磁场能量的表示式可以推导出反映电磁场中能量守恒及转换关系的坡印亭定理。如果闭合面S包围的区域V中介质均匀且各向同性时，由矢量恒等式在上式右边代入Maxwell第一方程和第二方程)()()(HEEHHEtBEtDJH，tDEJEtBHHE)(代入，得到P.334倒1行当和是常数（不随时间而变化）时类似地HBttHH

25、tHHtBH21)(21)(EDttDE21于是我们得到JEEDHBtHE2121)(将上式两边对体积V积分，再应用高斯散度定理，即可得到VVAdVJEdVEDHBtAdHE2121)(式中A为限定体积V的闭合面。VVdVHBEDdVW2121)(eEEJeEJE即： 如果以和代入上式，则有dVJEdVJtWAdHEVeVA2)( 上式是在时变电磁场情况下，能量守恒定律的表达式，称为电磁能流定理或坡印亭定理（ Poyntings Theorem ）。各项的意义可叙述如下：等号右边第一项表示体积V内电磁场能量的增加率；第二项为体积V内由于传导电流而损耗的热功率；第三项为体积V中由外源（局外场Ee

26、）提供的电功率。第一项外源提供的功率减去后面三部分后，剩下的功率通过包围体积V的闭合面S向外输送，这就是等号左边一项的意义。HES 引入矢量称为坡印亭矢量（Poyntings Vector）。它表示在单位时间内通过与能流方向相垂直的单位面积的电磁能量。在国际单位制中，它的单位是每平方米瓦特（W/m2）。由它的积分可以计算通过某一面积的电磁能量。 在静态情况时，坡印亭定理表达式中，电磁场储能对时间的导数为零；且不存在局外场Ee。则流入闭合面的总功率等于耗散在封闭体积内的欧姆功率，即dVJAdHEVA2)(若在所考虑的场域内也不存在传导电流，则上式变为0)(AdHEA表明对于一个闭合面，它的部分表

27、面上有功率流入而在其余部分有功率流出，两者量值相等，因而整个闭合面积分为零。图4-6IUabARR1R2R 例例4-5 用坡印亭矢量研究直流能量沿同轴电缆传输的情况。设电缆导体本身的电阻可略去不计。解解：考虑任一截面ab，通过ab面作一包含负载的大闭合面A如图4-6所示。计算这个面上坡印亭矢量的积分值，便是电源送到负载去的功率。 对本题而言，在电缆外部空间没有电、磁场，在导体内部电场为零，从而坡印亭矢量为零故只要计算内导体合外导体之间的环形截面上坡印亭矢量的积分就可以了。 考虑到同轴电缆为完纯导体（），其内外导体表面无电场的切向分量，故只有电场的径向分量。因已知U、I，可求得半径为R处的电、磁

28、场为eRRUE12lneIH2zeRRUIeeRRUIHES122122ln2ln2所以通过ab面传输给负载的功率为UIdRRUIAdSAdSPRRabA212ln2122由此可见，能量是在两导体之间的空间沿轴线方向传输的。在导体内部，由于E=0，故S=0，因而没有能量流。导体只起引导能量流的作用。 例例4-6 上题，设导体的电阻不为零，研究能量的传输情况。 解解:当导体的电阻不为零时，将有沿电流方向的切向电场分量JEz磁场的分布状况仍和例4-5相同,只有e 方向的分量，此时电、磁场的分布状况如图4-7所示。E图4-7HEEzSzSSzI 在导体内部，电场只有z方向的分量，没有方向上的分量，所

29、以坡印亭矢量只有S分量而无Sz分量。这就是说，在导体内部没有沿z方向传输能量，所以能量仍在导体之间的空间传输。 在内外导体之间，由于导体电阻不为零，因而有 Ez分量存在，这样S就有两个分量Sz和S。 沿z方向传输的功率，可用与上例类似方法进行计算：zzeHEHES通过A面输入的功率为IzUsdSPSzz)(（“-”号表示输入）因为沿导线有电压降，所以两导线间的电压是z的函数。 再来讨论S的含义。截取单位长度的内导体，把它的表面作为A面，根据坡印亭定理可知，由S面进入的坡印亭矢量的通量，应等于这段导体电阻上的消耗功率Pr，下面我们就来进行计算： 因在A面上（两端面除外，因S与端面平行，没有通过端

30、面的坡印亭矢量的通量，所以我们不去考虑）12121RIHIRRIJEz，)(2)(12eRRIeHEHESzzRIdzRRRIP21101222“”号表示穿入A面 由这个例子的结果可见，对有损耗的传输线，能量仍在两导体间传输。只是在传输过程中有部分能量为导体所吸收，变为导体电阻上的能量损耗罢了。如果仅凭直觉，往往会认为能量是通过电流在导体中传输的。但是经过分析，说明实际情况不是这样。大量科学实践的事例，说明电磁能量是在空间传输的。例如在一处发射电磁波，中间隔了广大的空间，而另一处都能接收到电磁波，就是一个例子。 这个结果正是我们熟知的电阻消耗功率的公式。同样，通过计算外导体表面的坡印亭矢量通量

31、,可得到单位长度外导体上电阻消耗的功率为I2R”。4-5 正弦电磁场 在时变电磁场中有一类最常见的情况就是随时间作正弦变化的电磁场，由电路理论可知，对任意正弦量，可以应用相量来简化分析。 4.5.1正弦电磁场的复数表示法 例如有场量F=Fmcos(t+)或F=Fmsin(t+)，可引入相量 来表示正弦量的有效值和初相， ，它和场量的关系为： FjmeFF22)(tjmeFItF22)(tjetjetteFjReFRtF2)(tjeeFRtF把这些关系代入Maxwells Equations中，就可得到Maxwells Equations的相量形式(即复数形式)为EJHBEDDBBjEDjJH0 在时变场的情形下，用复数可以导出功率流的更有用的表示式，并且可以把研究的范围扩大到有损耗介质。 用 分别表示 的共轭复数，并设介质的及都是复数复数，由恒等式HE 和HE和HEEHHEEEjHHjEHE及在上式中代入 的旋度：4.5.2坡印亭定理的复数形式EEHHEEjHEEEEEjHHjHE)(得：上式左边表示进入单位体积的复功率。将上式对体积V积分并应用散度定理将左边