椭球基本知识学习教案

1、会计学1椭球基本知识椭球基本知识第一页，共35页。 P 点的法线 与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度(wid)。由赤道面起算，向北为北纬（090）；向南为南纬(090)。 P点在椭球面上的位置用L、B表示 。一、常用(chn yn)的四种坐标系 p 点的子午面NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面角L，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为东经（0180），向西西经（0180）。第2页/共35页第二页，共35页。 大地坐标系是用大地经度大地坐标系是用大地经度L L、大地纬度、大地纬度(wid)B (wid)B 和大地和大地高高H H表示地面点位。表示地面点位。 在大地坐标坐标系中

2、如果点不在椭球面上，点的位置用在大地坐标坐标系中如果点不在椭球面上，点的位置用 来表示。来表示。 从地面点从地面点P P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。它同沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。它同正常高及正高有如下关系：正常高及正高有如下关系：一、常用(chn yn)的四种坐标系 第3页/共35页第三页，共35页。 空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），Z 轴指向地球北极(bij)，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。一、常用(chn yn)的四种坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道

3、面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示 。第4页/共35页第四页，共35页。 设P点的大地(dd)经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。 一、常用(chn yn)的四种坐标系 第5页/共35页第五页，共35页。 M为椭球体面(t min)上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。 椭球面上点的极坐标（S

4、,A）与大地坐标(L,B）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。一、常用(chn yn)的四种坐标系 第6页/共35页第六页，共35页。二、坐标系间的转换(zhunhun)关系 椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于(yuy)所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。1 1）子午面直角坐标）子午面直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系同系同大地坐标系的关系大地坐标系的关系 过过p 点作法线点作法线 ，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过，过p点作子午圈的点作子午圈的切线切线TP，它与，它与x 轴的夹角为（轴的夹角为（90+B）。子午面直角坐标）。子午面直角

5、坐标x,y 同同大地纬度大地纬度B 的关系式如下：的关系式如下： 第7页/共35页第七页，共35页。2）空间(kngjin)直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 空间直角坐标系中空间直角坐标系中 的相当于子午平面直角的相当于子午平面直角坐标系中的坐标系中的y y，前者的，前者的 相当于后者的相当于后者的x x，并且，并且(bngqi)(bngqi)二者的经度二者的经度L L相同。相同。 二、坐标系间的转换(zhunhun)关系 第8页/共35页第八页，共35页。3）空间(kngjin)直角坐标系同大地坐标系的关系 同一地面点在地球空间直角坐标同一地面点在地球空间直角坐标(zubio)(zubio

6、)系中系中的坐标的坐标(zubio)(zubio)和在大地坐标和在大地坐标(zubio)(zubio)系中的坐系中的坐标标(zubio)(zubio)可用如下两组公式转换可用如下两组公式转换 式中：式中：ee子午子午(z w)(z w)椭圆第一偏心率，可由长短半椭圆第一偏心率，可由长短半径按式径按式 算得。算得。N N法线长度，可由式法线长度，可由式 算得。算得。二、坐标系间的转换关系 第9页/共35页第九页，共35页。椭圆(tuyun)的长半轴： a椭圆(tuyun)的短半轴： b椭圆(tuyun)的扁率： 椭圆的第一偏心率： 椭圆的第二偏心率： 五个基本几何参数 第10页/共35页第十页，

7、共35页。克拉索夫斯基椭球1975国际椭球WGS-84系椭球a637824563781406378137b6356863.01877304736356755.28815752876356752.3142c6399698.90178271106399596.65198801056399593.6258 f1/298.31/298.2571/298.257223563e20.0066934216229660.0066943849995880.0066943799013e20.0067385254146830.0067395018194730.00673949674227 我国所采用(ciyng)的

8、的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用(ciyng)的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。 几种(j zhn)地球椭球参数第11页/共35页第十一页，共35页。并得：推得： 同理可得：1、椭球的几何参数(cnsh)及其关系第12页/共35页第十二页，共35页。 垂线偏差：地面上一点的铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角(ji jio)，称为该点的垂线偏差。垂线偏差基本公式垂线偏差基本公式第13页/共35页第十三页，共35页。 当不存在垂线偏差观测M时，视准面OZM与水平面交(min jio)于R。故（R1R）即

9、为垂线偏差对方向观测值的影响。第14页/共35页第十四页，共35页。椭球定位主要是确定以上这些定位参数(cnsh)，若定位参数(cnsh)确定，大地测量的起算数据也就确定下来了。第15页/共35页第十五页，共35页。于是(ysh) 在大地原点处，铅垂线与椭球面法线重合，大地水准面与椭球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且两个起始子午面平行。 这样椭球位置便完全被固定下来，达到定位目的。（一点定位）一点定位难以保证椭球面与大地水准面最佳吻合。当天文大地测量完成后，按 经弧度测量计算求出原点的 再按上式确定出大地测量的起算数据。 （多点定位） 多点定位在在布设的天文大地网整个区域内，椭球面与大地

10、水准面最佳吻合。第16页/共35页第十六页，共35页。第17页/共35页第十七页，共35页。 P点处平行圈平面与卯酉圈平面间的夹角P点的大地纬度B，根据梅尼埃定理，过P点的平行圈半径r与卯酉圈半径N的关系为 由图可知， 上式表明，卯酉圈的曲率半径等于法截线介于椭球面和短轴之间的长度。 卯酉圈曲率半径可用下列(xili)两式表示： 五、椭球面上法截线曲率(ql)半径第18页/共35页第十八页，共35页。BN说明B=00N0=a卯酉圈变为赤道00B900aNcN随B的增大而增大B=900N90=c卯酉圈变为子午圈，N=c1、卯酉圈曲率(ql)半径五、椭球面上法截线曲率(ql)半径第19页/共35页

11、第十九页，共35页。五、椭球面上法截线曲率(ql)半径 子午椭圆的一部分上取一微分弧长子午椭圆的一部分上取一微分弧长 ，相应地有坐标增量，相应地有坐标增量 ，点，点n n是微分是微分弧弧 的曲率中心，于是的曲率中心，于是(ysh)(ysh)线段线段 及及 便是子午圈曲率半径便是子午圈曲率半径 M M。任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：子午圈曲率半径公式为：或 第20页/共35页第二十页，共35页。B BM M说说 明明B=0B=0（在赤道处）（在赤道处）0 0B B9090B=90B=90（在极点处（在极点处）M小于赤道aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径五、椭球面上法截线曲率(ql)半径

12、2、子午圈曲率(ql)半径第21页/共35页第二十一页，共35页。3、任意法截弧的曲率(ql)半径子午法截弧是南北方向，其方位角为子午法截弧是南北方向，其方位角为0或或180。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90或或270。对于方位角为的任意法截弧的。对于方位角为的任意法截弧的曲率半径曲率半径(bnjng)的计算公式。的计算公式。 任意方向的法截弧的曲率半径任意方向的法截弧的曲率半径(bnjng)的的计算公式如下：计算公式如下： 4、平均曲率(ql)半径 在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，

13、在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向 的平均值来作为的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径这个球体的半径是合适的。这个球面的半径平均曲率半径平均曲率半径R R： 或或因此，因此，等于该点子午圈曲率半径等于该点子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的几何平均的几何平均值。椭球面上任意一点的平均曲率半径值。椭球面上任意一点的平均曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径第22页/共35页第二十二页，共35页。即：纬度不同，椭球中心到法线(f xin)与短轴的交点之间的距离也不相同。第23页/共35页第二

14、十三页，共35页。1、相对法截线A、B两点既不位于同一平行(pngxng)圈，也不在同一子午圈上，它们的法线AKa、BKb并不相交，所以包含这两条法线的法截面ABKa和ABKb并不重合，二者与椭球面的交线分别为AaB和BbA，它们也不重合，这样椭球面两点之间出现了两条法截线。称之为两点间相对法截线定义：椭球面上定义：椭球面上A A、B B两点对向三角观测将形两点对向三角观测将形成两条相对成两条相对(xingdu)(xingdu)法截线法截线AaBAaB和和BbABbA它们它们通常不重合，称为相对通常不重合，称为相对(xingdu)(xingdu)法截线。法截线。六、地面(dmin)观测值归算至

15、椭球面第24页/共35页第二十四页，共35页。1、相对法截线正法截线：包含A点的法线与照准点B的法截面(jimin)与椭球面的交线称为A点的正法截线。反法截线：包含照准点B的法线与A点的法截面(jimin)与椭球面的交线称为A点的反法截线。六、地面(dmin)观测值归算至椭球面影响：相对法截线造成了几何图形的破裂。如右图所示，设椭球面上有A，B，C三点，显然(xinrn)， A，B，C的正法截线并不能构成一个三角形。大地线位于相对法截线之间。第25页/共35页第二十五页，共35页。六、地面(dmin)观测值归算至椭球面大地线的性质(xngzh)大地线是曲面上两点的最短线 大地线是无数法截线弧素

16、的连线第26页/共35页第二十六页，共35页。 将水平观测方向归算到椭球面，通常需要进行垂线偏将水平观测方向归算到椭球面，通常需要进行垂线偏差改正差改正(gizhng)(gizhng)、标高差改正、标高差改正(gizhng)(gizhng)和截面差改和截面差改正正(gizhng)(gizhng)，简称三差改正，简称三差改正(gizhng)(gizhng)。六、地面(dmin)观测值归算至椭球面第27页/共35页第二十七页，共35页。 垂线偏差垂线偏差(pinch)(pinch)改正（改正（11） 地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以椭球面法线

17、为准的水平方向值时，顾及测站点垂线偏差椭球面法线为准的水平方向值时，顾及测站点垂线偏差(pinch)(pinch)的影响所加的改正。的影响所加的改正。六、地面(dmin)观测值归算至椭球面 如下图所示，以测站如下图所示，以测站(c (c zhn)zhn)为中心作出单位半径的辅为中心作出单位半径的辅助球，助球， 是垂线偏差，它在子午圈是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以和卯酉圈上的分量分别以、表示，表示，M M是地面观测目标是地面观测目标m m在球面在球面上的投影。上的投影。 z z1 1第28页/共35页第二十八页，共35页。垂线偏差垂线偏差(pinch)(pinch)改正改正公式：公

18、式：式中：式中： 为测站点上的垂线为测站点上的垂线(chu xin)(chu xin)偏差在子午圈及卯酉圈上的分偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线量，它们可在测区的垂线(chu xin)(chu xin)偏差分量图中内插取得；偏差分量图中内插取得； 为测为测站点至照准点的大地方位角；站点至照准点的大地方位角； 为照准点的天顶距；为照准点的天顶距； 为照准点的垂为照准点的垂直角。直角。六、地面(dmin)观测值归算至椭球面 垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差、观测方向的方位角和天顶距（或垂直角）有关。第29页/共35页第二十九页，共35页。 标高差标高差(o (o ch)ch

19、)改正改正定义：地面水平方向观测值，沿法线方向定义：地面水平方向观测值，沿法线方向归算至参考归算至参考(cnko)(cnko)椭球面上时，顾及照椭球面上时，顾及照准点标高，所加的改正称为标高差改正，准点标高，所加的改正称为标高差改正，以以22表示表示原因：由于原因：由于(yuy)A(yuy)A、B B两点的法线不两点的法线不在同一平面所产生的。在同一平面所产生的。 计算公式：计算公式： H2： 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；B2 ：照准点大地纬度：照准点大地纬度M1：测站点子午圈曲率半径：测站点子午圈曲率半径 ；A12：测站点至照准点的大地方位角。：测站点至照准点的大地方位角

20、。六、地面观测值归算至椭球面第30页/共35页第三十页，共35页。截面截面(jimin)(jimin)差改差改正正(3)(3)定义：法截线方向化为大地线方向所定义：法截线方向化为大地线方向所加的改正，称为截面加的改正，称为截面(jimin)(jimin)差改正，差改正，以以33表示。表示。原因：由于原因：由于(yuy)(yuy)相对法截线不重相对法截线不重合而采用大地线代替产生的。合而采用大地线代替产生的。计算公式：计算公式： 3 3为为0 0的情况：的情况：A1=0A1=0，9090 ，180180 ，270270照准点与测站点在同一子午圈或接近于同照准点与测站点在同一子午圈或接近于同一平行

21、圈一平行圈六、地面观测值归算至椭球面第31页/共35页第三十一页，共35页。4 4、三差改正、三差改正(gizhng)(gizhng)计算计算 现行现行(xinxng)(xinxng)作业规定，各等三角测量归算时，一等算至作业规定，各等三角测量归算时，一等算至0.0010.001，二等算至，二等算至0.010.01，三四等算至，三四等算至0.10.1。 项目原因主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差改正1法线与垂线不一致， 加加酌情标高差改正2照准点不在椭球面上加加酌情截面差改正3法截线与大地线不一致加不加不加H H2 2s s六、地面(dmin)观测值归算至椭球面第32页/共35页第三十二页，共35页。 电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点