2023年北京市初三一模数学试题汇编：圆的有关性质

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编圆的有关性质一、单选题1．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，的半径为2，是的内接三角形，半径于E，当时，的长是（

）A． B． C． D．二、解答题2．（2023·北京通州·统考一模）在中，，给出如下定义：作直线分别交边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”．（点可与点重合，点可与点重合）(1)在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．①当时，写出点的坐标__________；②连接，求长度的取值范围；(2)的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接．当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．3．（2023·北京平谷·统考一模）已知：如图，为锐角三角形．求作：以为一边作，使，．作法：①作边的垂直平分线；②作边的垂直平分线，与直线交于点O；③以O为圆心，为半径作；④连接并延长，交于点M，连接；即为所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O∴∴点A、B、C都在上∵为的直径∴______°∵∴（_____________）（填推理依据）∴即为所求作的三角形．4．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于线段和点C（点C不在直线上），给出如下定义：过点C作直线的平行线l，如果线段关于直线l的对称线段是的弦，那么线段称为的点C对称弦．(1)如图，，，，，，在线段，中，的点H对称弦是___________；(2)等边的边长为1，点，若线段是的点C对称弦，求t的值；(3)点M在直线上，的半径为1，过点M作直线的垂线，交于点P，Q．若点N在上，且线段是的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．三、填空题5．（2023·北京顺义·统考一模）如图，是的直径，C，D是上两点，若，则的度数为_______．6．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在中，为弦，于点C，交于点D，E，连接，，则图中存在的相等关系有_________（写出两组即可）．7．（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦，相交于点，若，，则=________°．8．（2023·北京西城·统考一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为,则该门洞的半径为__________m．

参考答案1．A【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．(1)①；②(2)的最小值为，最大值为【分析】（1）①根据题意得出直线与轴分别交于点，，进而得出四边形是正方形，即可求得的坐标；②过定点，根据为等腰直角关于直线的“直角对称点”，得出在为圆心，为半径的圆上运动，根据圆外一点到圆上的距离求得范围即可求解；（2）根据（1）②可得点在以为圆心长为半径的圆上运动，当取得最大值时，最大，画出图形，根据图形即可求解．【详解】（1）解：①当时，当时，，当时，，则直线与轴分别交于点，，如图所示，∴，则是等腰直角三角形，∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．∴，即，∴四边形是菱形又，∴四边形是正方形∴，②解：∵过定点，∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．∴，∴在为圆心，为半径的圆上运动，连接，∴

，则，∴，（2）解：以点为直角顶点作等腰直角，其中，则到线段的距离为，∵点是上一点，则，由（1）②可知,点在以为圆心长为半径的圆上运动，∴当取得最大值时，最大，∵，则三点共线时，取得最大值，此时，∵与关于，即对称，则当在轴时，取得最大值，如图所示，此时轴，∴∴，同理可得在轴时，取得最小值，此时,∴综上所述，的最小值为，最大值为【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，正方形的性质与判定，点到圆上一点的距离，勾股定理，坐标与图形，旋转的性质，轴对称的性质，理解新定义是解题的关键．3．(1)见解析(2)90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等【分析】（1）按照所给方法作图即可；（2）根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧（或等弧）所对的圆周角相等，可得．【详解】（1）解：尺规作图，如下所示：（2）证明：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点O∴∴点A、B、C都在上∵为的直径∴∵∴（同弧（或等弧）所对的圆周角相等）∴即为所求作的三角形．故答案为：90，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的作法及性质、圆周角定理，解题的关键是找出外接圆的圆心．4．(1)，；(2)，，，；(3)，且．【分析】（1）根据题目中新定义，分别求出，，，，再判定这些点是否在上即可；（2）分类讨论，当点C在边下方时，当点C在边上方时，分别求解即可；（3）如图所示，分别求出m最小值与最大值，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∵的半径为2．∴，在上，∴线段是的点H对称弦；∵，，，∴，，∵的半径为2．∴，在上，∴线段是的点H对称弦．（2）解：如图，当在x上方，点C在边下方时，线段是的点C对称弦，为弦，设与y轴交于点M，与y轴交于点G，连接，∴点M是的中点．∵等边的边长为1，∴，．∵的半径为2，∴．∴．∴．当点C在边上方时，可以得到．当在x下方时，利用圆的轴对称性，同理可以得到，．（3）解：如图所示，m取得最小值与最大值，过点M作轴于S，交直线于点K，则，，，由勾股定理得，∴，设，∴解得，又因点N不在直线上，所以，∴点M的横坐标m的取值范围为且．【点睛】本题考查新定义，等边三角形的性质，轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，避免漏解．5．/20度【分析】先根据邻补角的性质求出，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵是的直径，，∴，∴，故答案为【点睛】本题主要考查了圆周角的性质和邻补角的性质，解题的关键是熟知圆周角的性质定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．6．；（答案不唯一）【分析】利用垂径定理和圆周角定理得出相等关系即可.【详解】∵在中，为弦，，∴，∴，故答案为：；（答案不唯一）.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，正确应用定理是解题的关键.7．32【分析】根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都