函数的三要素典型例题

1、函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法(一)常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自 变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)，即得函数定义域。例1.求函数y = 'x2-2x-15的定义域。|x 3| -8(二)抽象函数1 .有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区问；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；2 .四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为m,n,如何求复合抽象函数y=f(g(x)的定义域?例题2.已知函数y=f(x)的定义域0,3,求函数y

2、=f(3+2x)的定义域强化训练：1 .已知函数y=f(x)的定义域-1,5,求函数y=f(3x-5)的定义域；2 .已知函数y=f(x)的定义域1/2,2,求函数y=f(log 2x)的定义域；3 .已知f(x)的定义域为2, 2,求f (x2-1)的定义域。题型二：已知复合抽象函数 y=f(g(x)定义域m,n,如何求抽象函数y=f(x)的的定义域?例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域0,3,求函数y=f(x)的定义域.强化训练：1 .已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域0,3,求函数y=f(x)的定义域.2 .已知函数y=flg(x+1)的定义域0,9,求函数y=f(x)的定

3、义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x)定义域m,n,如何求复合抽象函数y=f(h(x)定义域 的定义域？例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域0,3,求函数y=f(3+x)的定义域.强化训练：1 .已知函数y=f(x+1)的定义域-2,3,求函数y=f(2x-1)的定义域.2 .已知函数y=f(2x)的定义域-1,1,求函数y=f(log 2x)的定义域.3 .已知f(x+1)的定义域为-1/2 , 2,求f(x 2)定义域。题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。例6.已知f(x)的定义域为-3 , 5,求小(x) =f(-x)+f(2x+5) 定义

4、域强化训练：1.已知f(x)的定义域为(0, 5,求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1 <a三。二、与函数定义域相关的变形题型(一)逆向型R,求即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例7.已知函数6mz+ m + X的定义域为R,求实数m的取值范围。一一kx 7例8.已知函数f(x)= 2 一的定义域是R,求实数k的取值范围 kx 4kx 3(二)参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9.已知f(x)的定义域为0, 1,求函数F (x) = f (x + a) + f (x-

5、a)的定义域(三)隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐 含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此， 求函数的单调区问，必须先求 定义域。2例10.求函数y =log2(x +2x+3)的单调区|可。(四)实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍 注意，并形成意识。例11.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的 定义域。例12.用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。求函

6、数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。此法较适合简单题目。例 1、(1)已知 f(x+1)=x 2+2x,求 f(x)及 f(x-2).1 c 1(2)已知 f (x+) =x2+-2 (x>0)，求 f(x)的解析式 x x2、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 2 (1)已知 f (、仅+1) =x+24 ,求

7、 f (x + 1),一 ，1、 x I，-，、 如果f () =，则当x 0 0,1时，求f (x).x 1 - x3、待定系数法：当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。例 3、已知 f(x)是二次函数，且满足 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方 程组，通过解方程组求得函数解析式。1、例 4 设 f(x)满足 f(x) -2f (-) =x,求 f(x)x五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化

8、、简单化，从而求得解析式。例5 已知：f (0) =1 ,对于任意实数x、y,等式f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)何成立，求f (x)x - 1 - 2,例6、(分段函数)设f(x)= «11 x x2，变式训练：1、已知 f(x+1)=x 2-2x,求 f(x)及 f(x-2).2、已知 f ( x+ +1) =x+27, x +1,求 f(x)3、已知 f(x)为多项式，f(x+1)+f(x-1)=2x4、已知 f(x)=2x+a,*(x)= (x 2+3),且'4x M 1g(x) = 2x+1，求fg(x)的表达式.x > 1的解

9、析式。2-2x+4.求f(x)的解析式。f(x)=x 2+x+1,贝U a= .5、如果函数f(x)满足方程af (x)+f (1) =ax, xw R且x#0,a为常数，且2*±1,求*乂)的解 x析式。6、设函数f(x) = (x 1)4 - ：x - 1x ： 1求使得f(x)之1的自变量x的取值范围.x _ 17、已知函数f(x)对任意正数m,n均有f(mn)=f(m)+f(n) 成立，且f(8)=3,试求f( J2 )的值函数的值域求解方式1.已知函数 支小仃话 的定义域为集合 和(CrA) n (CrB).A,函数尸己)算+1的值域为集合B,求ACB262.已知函数 f (x) =x2- bx+3,且 f (0) =f (4).(1)求函数y=f (x)的零点，写出满足条件f (x) <0的x的集合;(2)求函数y=f (x)在区间(0, 3上的值域.3.求函数的值域:4.求下列函数的值域：(1) y=3x2 - x+2 ;(2)户J ” -6广 5 ；(3) 尸:(4) y=x+4/1 - X j(5)尸肝五-4(6)行华；x +x+l5 .求函数的值域：y=|x - 1|+|x+4|.6 .求下列函数的值域.(2) y=3-2x, x -2, 9;(1) y=-x2+x+2；(3) y=x2-2x