波的迭加原理 驻波

1、一一、波的叠加波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。在该处激起的振动的合成。波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理：区别：振动的叠加和波的叠加区别：振动的叠加和波的叠加 振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能

2、分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因第六节第六节 波的迭加原理波的迭加原理 驻波驻波 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的位相位相差位相位相差恒定恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉波的干涉。相干条件相干条件2. 2. 具有恒定的相位差具有恒定的相位差3. 3. 振动方向相同振动方向相同1. 1. 两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为满足相干条件的波源

3、称为相干波源相干波源。二、波的干涉二、波的干涉在现实中要产生明显的干涉现象，上述条件只能算必要条件，如果两波在现实中要产生明显的干涉现象，上述条件只能算必要条件，如果两波源的振幅相差悬殊，将导致干涉现象的可见度降低。源的振幅相差悬殊，将导致干涉现象的可见度降低。1S2SP传播到传播到p点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： )cos(10110tAy)cos(20220tAy在在p点的振动为同点的振动为同方向同频率振动方向同频率振动的合成。的合成。设有两个相干波源设有两个相干波源S1和和S2发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。 合成振动为：合成振动为：)tcos(Ayyy0

4、21 1r2r1S2Sp)rtcos(Ay110112 )rtcos(Ay220222 cos22122212AAAAA其中：其中：)rr()(1210202 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为： cos22121IIIII )tcos(Ay0 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象干涉现象。 )rsin(A)rcos(A)rsin(A)rsin(Atan 220211012202110102222 其中：其中：,.,kkrr32

5、10 22121020 ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII ,.,k)k()rr()(3210122121020 |21minAAAA 2121min2IIIIII 相长干涉的条件相长干涉的条件：相消干涉的条件相消干涉的条件： cos22122212AAAAA cos22121IIIII 波的相干叠加波的相干叠加当当两相干波源为同相波源两相干波源为同相波源时，相干条件写为时，相干条件写为,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉 称为波程差称为波程差波的非相干叠加波的非相干叠加2

6、1III 例例1 1 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，赫兹， 相位差为相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，波速为米，波速为400米米/ /秒，秒，求求: :A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，取轴，取A点的点的振动方程振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos( tAyB BAXxm

7、30 x30O分析：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为分析：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足静止的点满足在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程：)30(20cos xtAyB 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：为静止的点满足： )()(123022 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12()30

8、(22 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O 驻波的产生：驻波是两列驻波的产生：驻波是两列振幅、频率相振幅、频率相同同，但，但传播方向相反传播方向相反的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。三、驻波三、驻波1、驻波的产生、驻波的产生两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波。此相遇叠加而形成的波。uu节节点点电动音叉电动音叉+-腹腹点点弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧，调节音叉到弦线的一端系在音叉上，另一端系着砝码使弦线拉紧，调节音叉到适当的位置，可以看到适当的位置，可以看到ABAB段弦线被分成长度

9、相等的几部分，作稳定段弦线被分成长度相等的几部分，作稳定的振动。即在整个弦线上并没有波形的传播。线上各点的振幅不同，的振动。即在整个弦线上并没有波形的传播。线上各点的振幅不同，有些点始终静止不动，而有的点振动最强，即振幅为最大。有些点始终静止不动，而有的点振动最强，即振幅为最大。 驻波驻波 驻波也是经常在日常生活中见到的一种现象。当我们把驻波也是经常在日常生活中见到的一种现象。当我们把一块小石子投到水池中时，激起的水波将向四周漫延，到一块小石子投到水池中时，激起的水波将向四周漫延，到达池边后又会反射回来而与扩散波有的相加，有的相减。达池边后又会反射回来而与扩散波有的相加，有的相减。从而形既有波

10、峰又有波谷的许多同心圆环。从而形既有波峰又有波谷的许多同心圆环。 当室内的空气被音源激励时，情况便和投石入水的情当室内的空气被音源激励时，情况便和投石入水的情况相同。驻波便是在室内出现的那些声压有的高些而有的况相同。驻波便是在室内出现的那些声压有的高些而有的低些的固定区域。驻波系统由入射声（直达声）和房间四低些的固定区域。驻波系统由入射声（直达声）和房间四周墙壁的反射声之间的有益相加和有害的相减而造成的。周墙壁的反射声之间的有益相加和有害的相减而造成的。 正是因为入射波和反射波的如此相互作用，便会对室内正是因为入射波和反射波的如此相互作用，便会对室内每一共振频率产生一个低音有多有少的恒定区域的

11、特别图每一共振频率产生一个低音有多有少的恒定区域的特别图形。形。 虽然像这样的声压不均匀分布是不希望有的。但却可以虽然像这样的声压不均匀分布是不希望有的。但却可以对驻波加以利用。如果在听音室内摆放好音箱后听到的低对驻波加以利用。如果在听音室内摆放好音箱后听到的低音有些过重。便可试着将椅子稍微向前或往后移动，直到音有些过重。便可试着将椅子稍微向前或往后移动，直到找到能听到浑厚圆润些和清晰些的低音的位置。反过来，找到能听到浑厚圆润些和清晰些的低音的位置。反过来，当听到音箱的放声稍微有些单薄时，仍可用同样的方法找当听到音箱的放声稍微有些单薄时，仍可用同样的方法找到低音听来丰满些和更有力度的地方。到低

12、音听来丰满些和更有力度的地方。 2、驻波方程、驻波方程 讨论两个振幅相同、频率相同、传播方向相反的讨论两个振幅相同、频率相同、传播方向相反的两列波的简谐波方程：两列波的简谐波方程：)xtcos(Ay 21 )xtcos(Ay 22 tcosxcosAyyy 2221 tcos)x(Ay xAxA2cos2)( 时间坐标和空时间坐标和空间坐标分开，间坐标分开，是驻波的典型是驻波的典型表达式表达式)x, t ( y)tux, tt ( y 函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的

13、率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。不同而不同。 驻波的驻波的特点特点1 1：不是振动的传播，而是媒质中各质不是振动的传播，而是媒质中各质点都作同频率简谐振动。点都作同频率简谐振动。tcos)x(AtcosxcosAy 223、驻波的特点、驻波的特点（1）tcos)x(Ay 12cos x xAxA2cos2)( 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)( kx2, 2 , 1 , 02kkx02cos x振振幅幅最最小小，波波节节0)( xA)21(2 kx, 2 , 1 , 02)21(kkx（2 2）、波腹与波节）、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点相邻波腹间的距

14、离为：相邻波腹间的距离为：221 k|kx相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为： 4 , 2 , 1 , 0 2kkx波腹, 2 , 1 , 0 2)21(kkx波节n驻波：波形虽然随时间而改变，却看不出波形向任何方向移动的现象 说明n可用测量波腹间的距离，来确定波长。可用测量波腹间的距离，来确定波长。n波节和波腹在空间的位置不是移动的，波节和波腹在空间的位置不是移动的，而是固定不变的。因此驻波并不是振动而是固定不变的。因此驻波并不是振动的传播，它只是特殊的两列相干波叠加的传播，它只是特殊的两列相干波叠加而成的特定的振动状态。而成的特

15、定的振动状态。txAy cos2cos2 （3）、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。而空间变化带来的相位是不同的。在在波节两侧点的振动相位相反波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或。同时达到反向最大或同时达到反向最小。同时达到反向最小。速度方向相反速度方向相反。两个两个波节之间的点其振动相位相同波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或。同时达到最大或同时达到最小。同时达到最小。速度方向相同速度方向相同。XY2/4obcda（4）、驻波能量、驻波能量驻波振动中无位相传播

16、，也无能量的传播驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。yBA当当AB间体元达到最大位移：间体元达到最大位移：1.各体元速度为各体元速度为0，动能也为，动能也为02.各体元发生不同程度的形变，越靠近波节，剪切各体元发生不同程度的形变，越靠近波节，剪切形变越明显，形变势能越大。形变越明显，形变势能越大。AB间体元达到最大位移时驻波能量以形变势能的形间体元达到最大位移时驻波能量以形变势能的形式主要集中于波节附近。式主要集中于波节

17、附近。yBAv当当AB间体元达到平衡位置时，形变势能为间体元达到平衡位置时，形变势能为0，能量以动能，能量以动能的形式主要集中在波腹处。的形式主要集中在波腹处。总结：总结： 在弦线上形成驻波时，动能和势能不断相互转换，形成了在弦线上形成驻波时，动能和势能不断相互转换，形成了能量交替地由波腹附近转向波节附近，再由波节附近转向波腹能量交替地由波腹附近转向波节附近，再由波节附近转向波腹附近的情形。附近的情形。 驻波没有能量的定向传播。驻波是整个物体进行的一种特驻波没有能量的定向传播。驻波是整个物体进行的一种特殊形式的振动。殊形式的振动。例题2n在无阻尼各向同性均匀介质中，有两个平面简谐波源作同振幅、同频率、同方向的振动。二波相对传播，波长为8m，波射线上A、B两点相距20m。一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为 n求：AB连线上因为干涉而静止的各点的位置。2n解法一：利用相位差公式求解n解法二：利用驻波