-转动惯量及其计算方法

1、-转动惯量及其计算方法渤海大学本科毕业论文（设计）转动惯量及其求法TheComputingMethodofMomentofInertia学院（系）：数理学院专业：物理师范学号:12022004学生姓名：郝政超入学年度：2012指导教师：王春艳完成日期：2016年3月21日渤海大学BohaiUniversity随着科学与技术的飞速发展，刚体的转动惯量作为一个十分重要的参数，使他在很多领域里受到了重视，尤其是工业领域。近几年来，伴随着高科技的飞速发展，关于刚体转动惯量的研讨，尤其是对于那些质地不均匀和形状不规则刚体的转动惯量的深入探究，已经全然对将来的军事、航空、以及精密仪器的制作等行业产生了极为

2、深远的影响。本篇文章将在这些知识基础上，遵循着循序渐进的原则，对常见刚体的转动惯量以及不同常见规则的刚体的转动惯量的计算进行深入的研究。本文主要分为四个部分。首先本文系统介绍了刚体以及刚体的动量矩，转动动能和转动惯量的基础知识。其次介绍了刚体的平行轴定理和垂直轴定理，并且给出了转动惯量常见的的计算方法。接着，本文介绍了几类常见的刚体的转动惯量，其中包括圆环、圆柱体、圆盘、杆、空心圆柱体以及六面体的转动惯量。最后，通过具体实例给出了不规则刚体的转动惯量的测量方法。【关键词】力矩；角加速度；摩擦力ThecomputeofmomentofinertiaAbstractDelveintotheirre

3、gularinhomogeneousalongwiththescienceandtechnologyrapiddevelopment,therigidbodyrotationalinertiaisaveryimportantparameter,makehiminmanyfieldsbytheattention,especiallyindustrialfields.Inrecentyears,alongwiththehigh-techrapiddevelopmentofrigidbodyrotationinertiaofresearch,especiallyforthosetextureands

4、hapeofrigidbodyinertiahasbeencompletelytothefuturemilitary,aviation,andprecisioninstrumentmanufacturingindustryproducedextremelyfar-reachingimpact.Thisarticlewillbeintheknowledgebase,followthegradualprincipleofcommonrigidbodyinertiaandcommonrulesofrigidbodyrotationThecalculationofinertiaisdeeplystud

5、ied.Thispaperisdividedintofourparts.Firstofall,thispapersystematicallyintroducedtherigidbodyandtheangularmomentumofarigidbody,rotationalkineticenergyandrotationalinertiabasedknowledge.Followedbytheintroductionoftheparallelaxistheoremofrigidbodyandverticalaxistheorem,andgivestherotationinertiacommonc

6、alculationmethod.Then,thispaperintroducestheseveralcommontypesofrigidbody'smomentofinertia,whichincludering,cylinder,disc,rod,hollowcylinderandhexahedronofthemomentofinertia.Finally,throughspecificexamplesaregivenirregularrigidbodyrotationalinertiameasurementmethod.KeyWords:Moment;AngularAcceler

7、ation；Friction摘要AbstractI.引言01刚体的转动惯量91.1 转动惯量的定义与物理意义11.2 刚体的动量矩11.3 刚体的转动动能与转动惯量32转动惯量的相关定理及计算方法82.1 刚体的平行轴定理72.2 刚体的垂直轴定理与伸展定则72.3 转动惯量的计算方法73常见刚体的转动惯量93.1 圆环的转动惯量93.2 圆柱体的转动惯量103.3 圆盘的转动惯量113.4 杆的转动惯量123.5 空心圆柱及六面体的转动惯量124不规则刚体转动惯量的测量144.1 实验方法测量144.2 对刚体的转动惯量的误差分析15参考文献18在定轴转动过程中刚体的转动惯量是的一个十分重要

8、的概念，在表征刚体的转动定理中刚体的转动惯量是一个不可或缺的概念。物体的大小以及形状保持不变的物体叫做刚体。刚体的转动惯量是表示刚体在转动时惯量的量度，是反应刚体的特性的物理量。刚体的转动惯量会受到刚体的形状、大小、质量、质量的分布以及转动轴的位置的影响。刚体的转动惯量对于许多设计工作、研究都具有极其重要的实际意义。关于刚体转动惯量的研究与讨论，绝大多数科学家主要集中在对刚体转动惯量的计算方法上。参看了许多关于转动惯量的文献，对于刚体转动惯量的计算主要有下列几种常见的方法，它们分别是：质量投影法1、积分法、垂直轴定理、平行轴定理、组合法2、标度变换法3、量纲分析法4等等。本篇文章在不同刚体的转

9、动轴位置相同、质量相同的情况下，从形状方面入手。首先对那些常见的、质地均匀刚体的转动惯量进行计算与分析，随后利用它们在形状方面之间的潜在联系，找出一些具有代表性的固定模型，来代表所有常见的、质地均匀的刚体。然后通过对这些固定模型的转动惯量的变换，就可以十分容易的得到关于质地均匀的刚体的转动惯量。这样会让我们在计算常见质地均匀的刚体转动惯量的过程中，只需要牢牢记住上述常见刚体的固定模型的转动惯量的表达式，然后就可以在刚体转动惯量的计算过程中十分容易地推导出与其他相关的刚体的转动惯量，可以大量减少在计算过程中的工作量，从而使刚体转动惯量的计算更加简单和方便。转动惯量及其求法1刚体的转动惯量1.1

10、转动惯量的定义与物理意义刚体是一种特殊的质点系，由一系列质点系组成，任何情况下形状与大小都不改变的物体。即任意两个质点之间的距离保持恒定的质点系，是一种理想模型。刚体的转动惯量就是刚体围绕一个确定的转动轴转动的惯性度量，其数值可以表小为：2Imr其中m表示刚体中某一个质点的质量，r则代表该质点到转动轴的垂直距离。由刚体的定义式可知转动惯量与以下三个元素有关：(1)质量(2)质量的分布(3)转轴位置对于刚体转动惯量的物理意义，我们可以从平动动能和转动动能的数学表达式的对比中看出，转动惯量I就相当于质量m,与此类似的对应关系还有很多，例如：动量和动量矩m的对应；动量矩守恒定律Iw=，l!量与动量守

11、恒定律mw=，|S量的对应，我们可以从数学表达式中的位置与对应关系的比较中看出，I与m具有相同的物理意义，由此我们可以得出刚体的转动惯量是表示刚体在转动过程中惯性大小的量度。虽然两者的物理意义有很多相似之处，但是也存在很多不一样的地方。1.2 刚体的动量矩在质点组动力学与质点动力学的学习过程中，我们经常要用到动量矩定理，所以我们将使用大量的篇幅，来研究刚体的转动问题。现在我们先来研究一下，在转动的问题中，动量矩的表达式是什么样的？如图1所示，假设在某一时刻，刚体以恒定角速度绕定点转动。在刚体里面任取一个质点称之为R,这个质点的质量为m,速度为Vi（图1中没有画出）。如(1.(1)(1.(2)由

12、（1.2）我们可以得出，动量矩j与角速度一般不在同一条直线上；然而在果Pi对定点O的位矢是ri,那么此质点对定点O的动量矩则为rmM而对于整个刚体来说，对于定点O的动量矩是刚体中所有的质点对于同一点动量矩的矢量和，即：nJ(rimiVi)i1因为有viri所以nJmiri(«ri)i1n2Jmiwri(cori)i1平动过程中，线速度v与动量p总是在同一直线上的；所以在绕定点转动的过程中，动量矩J才和角速度共线的唯一条件是它们均在惯量主轴上。现在我们先来求出在通常情况下，动量矩J的分量表达式。我们把角速度矢量与动量矩矢量J都分为沿坐标轴X,y,z方向上的分量，那么由于：riXiiyj

13、Zikxiyjzk故得出J在x方向的分量Jx为:Jxn2mi*供i1n2xmi(yii12yi2Zi同理可得:Jznxmiyixii1nxmizixii1IxxIyyIzz以及IyzIzxIxyz2)xi(xxiyyizzi)(1.3)其中1,xxyyzzyi1nnmixiyii1nmi为zi1/2mN2)ymizyii1nmi(y：i1n2mi(zii1nmi(x2IzyIxzIyxi1ni1ni1zi1z2)X：)y：)miyiZimiZXinzmiyizii122mi(ziyi)1.4)1.5)1.6)分别叫做刚体对x轴、y轴和z轴的轴转动惯量，而1yz和Izxxy因为式中包含两个坐标的

14、相乘项，所以称它们为惯量积。把（1.5）式与（1.6）式中带入到（1.3）式和（1.4）两式可以得出:JxIxx叫IxyyIxzzJyIxy以IyyyIyzzJzIzx以IzyyIzzz(1.7)1.3 刚体的转动动能与转动惯量再来求刚体对定点O的转动动能，由图1可知:121212121n2-miri2i1nmiViVii1nmM(3i1n(miVii1xiyjzk)(JxiJyjJzk)把式（1.7）中的Jx，Jy和J的表达式代入到上式中，即可得到:122T2"（1xx3x1yy3y1刚体的转动动能也可以写成：2zz3z21yz3ywz21zxwzwx21xy3x3y)(1.(8)

15、T121n2i121|2nmi(3ri)(3ri)mi1n222.2nsini2mii1(1.(9)表示从已到转动瞬轴的垂iPi上式中代表角速度矢量（1与P的位矢r之间的夹角,i3Pli直距离（见图1）,而I则表示刚体绕瞬时转动轴的转动惯量。我们也可以这样认为：刚体在转动过程中与集中在某一点上的一个质点的质量相等效，用1r来表示这个质点与转动轴线之间的距离，这个等效质点对这一转动轴线k(1.10)的转动惯量即为刚体对于这条条轴线的转动惯量，可以表示为：Imk2或者(1.11)转动惯量及其求法上式中的k表示刚体对该条轴线的回转半径。回转半径是一个等效量，在计算过程中k常常用来简化问题，所以质量m

16、就可以约去了。刚体的转动惯量还取决于转动轴的位置。对于同一刚体来说，绕不同的转动轴转动，它们的转动惯量大小也不相同。但是，如果两条转动轴是相互平行的，并且其中一条转动轴线通过刚体的质心，那么另外一条转动轴线的转动惯量，就等于通过其质心转动轴的转动惯量再加上两平行轴之间的垂直距离的平方与物体质量的乘积，即为IICmd2(1.12)上式中I表示平行于通过质心轴线的转动惯量，IC表示与通过质心相平行的转动轴线的转动惯量，d代表两条平行转动轴之间的垂直距离。这个表达式就叫做平行轴定理。2转动惯量的相关定理及计算方法2.1刚体的平行轴定理在刚体转动时，刚体上的各个质点作曲线运动，因此从刚体的惯性与惯性运

17、动的含义以及动力学来看，可以定义刚体的动量和动量矩均守恒的运动，称为刚体的惯性运动，即：mv常量,LI常量(2.1)为了更准确地定义刚体的惯性运动，还需要满足作用在刚体上的合作用力与合作用力矩均为零，即F0,M0(2.2)由(2.1)(2.2)得出的这一刚体的惯性运动，也是质点惯性运动的推广。根据(2.1)(2.2)式其中的一个就可以判断出一个刚体是否作惯性运动。如图2所示，我们设Zc轴为通过刚体质心的轴线，对于这个轴线来说刚体的转动惯量为I-假如有另外一条轴线Z与通过质心的轴线Zc相互平行，利用平行轴定理可以得出相对于轴线Z的刚体的转动惯量为：11crnd2(2.3)式中m表示刚体的质量，d

18、表示两平行轴之间的距离，这就是平行轴定理，这一定理有助于计算转动惯量的大小，对于研究刚体的滚动有极大的帮助。证明：在图(2)中，Cz轴和Oz轴与纸面垂直，带撇坐标系代表质心坐标系刚体对Oz轴的转动惯量可表小为：22Im/xyi)22m(xxc)(yyc)2222、甲(XiV)2XcmiXi2ycmiy(Xcyc)mi(24)图2刚体绕定轴转动m表小刚体的总质量。根据质心坐标式，则有m,xim4,m/myc,Xc与yc分别表示质心坐标中的坐标，因为这一坐标的原点正在质心，因此Xcyc0,则上式中两项消掉，mi(Xi2y2)就表示对于Cz轴刚体的转动惯量I。，且X：+yc=d2,可得:2Imn1

19、22 2mrmu12I1I2由平行轴定理可知，刚体不同转动轴的转动惯量，越靠近质心越小，且质心所在位置的转动惯量最小。转动惯量及其求法2.2 刚体的垂直轴定理与伸展定则在物理学中，垂直轴定理5(亦称之为“正交轴定理”)可以计算薄片的转动惯量。设刚体为厚度无穷小的薄片，建立直角坐标系Oxyz,z轴与薄片垂直，Oxy坐标面在薄片平面内，则刚体对z轴的转动惯量为：2ImiPimg2m,y2(2.5)等号右方的两部分顺次表示刚体对y轴和x轴的转动惯量，即为：IzIxIy(2.6)因此，厚度无穷小的薄片对与其垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄片对薄片平面内另外两直角坐标轴的转动惯量之和，这就是垂直轴定理。在

20、物理学中，伸展定则表述如下：如果把一个物体上的任意一个点，沿某一直轴平行任意大小的位移，那么刚体对这一转轴的转动惯量保持不变。我们可以想像，把一个物体平行于直轴向两端拉伸。在物体向外伸展的同时，保证物体上任意一个点离直轴的垂直距离保持不变，那么伸展定则表明这个物体对这一转轴的转动惯量保持不变。垂直轴定理、平行轴定理和伸展定则，这些定理都可以用来计算出很多不同形状的刚体的转动惯量。2.3 转动惯量的计算方法根据公式I(Amiri2),我们可以看出，刚体的转动惯量的求法很简单。并且，如果刚体上的各个质点是连续分布的，那么它的转动惯量就可以使用积分的形式来进行计算，即：2,Irdm(2.7)一般的求

21、解转动惯量的步骤如下：(1)在刚体上截取一个质量元：dm；(2)计算dm与转动轴的距离r;(3)求出其积分。对于那些形状不规则的刚体来说，它们的转动惯量的求法，我们可以尽量避免大量不易测量的物理量，转而去测量那些相对来说容易测量的物理量。有以下几种方法来供参考：(1)动力法：用一个大小和方向均固定的力来给刚体提供力矩，通过MJ来计算。转动惯量及其求法(2)三线摆法：根据能量守恒和刚体的转动定律来计算。(3)复摆法：在重力的作用下，绕水平转轴且在竖直面内小角度摆动时适用(4)扭摆法：气垫摆。已知转动惯量的代数可加性，那么通过转动惯量的代数可加性来计算。例如物体由1和2两个部分组成，用I来表示1加

22、2对于z轴的转动惯量，用I1来表示1部分对于z轴的转动惯量，用上来表示2部分对于z轴的转动惯量。就可以得出物体的转动惯量：2Imr1222mumx12I112(2.8)如果I和I1都很容易计算，那么就可以利用上式(2.8)计算出I2,而不必对2区域再作积分，从而避免复杂的计算过程。Ixx惯量张量是运用理论力学的知识，已经知道物体在通常情况下惯量张量可表示为：IyxIxyIxzIyyIyz(2.9)IzyIzz并且将它称做对O点的惯量张量。这个惯量矩阵里的每一个元素就称作惯量系数，也可以称作惯量张量。(2.9)式中各分量如下：n22、Ixxm(yzi)i1nIyym(z2X)(2.10)i1n2

23、2、Izzmi(Xiyi)i1nIyzIzymiyizii1nIzxIxzmziXi(2.11)i1nIxyIyxmiXyii1转动惯量及其求法对于形状规则并且质量分布均匀的刚体来说，我们可将上面两个式改写为积分的形式：xx(y2x2)dmyy(z2x2)dm(2.12)zz(z2y2)dmyzIzyyzdmzxIxzzxdm(2.13)xyIyxxydm所以Ixx,Iyy与Izz就可以称为刚体分别对于转动轴X、'、Z轴的转动惯量，而Iyz,Izx,Ixy则因为包含有两个坐标的乘积项，所以称之为惯量积。3常见刚体的转动惯量3.1圆环的转动惯量将圆环（图3）分成若干等份质量为dm的质量元

24、，根据转动惯量的定义式Ir2dm可得(b)ImR22(3.1)图3圆环在（3.1）式中我们已经求出了圆环绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理：IzIxIy,对于圆环有IxIy,所以圆环绕直径轴的转动惯量（图3b）为：ImR22转动惯量及其求法把圆盘分为许多半径为X,宽度为dr的薄圆环(图4a),用来表示面密度，用dm表示薄圆环的质量为：dm2xdx,薄圆环对轴的转动惯量表示为：23dlrdm2xdx对上式积分可得：R32I02x3dxmR2/2(3.2)图4圆盘在上式中已经求出圆盘绕中心轴的转动惯量，根据垂直轴定理可亦推导出圆盘绕直径轴的转动惯量(图4b):ImR2.4(3.(3)3.2圆柱体的

25、转动惯量我们已经计算出圆盘绕中心轴的转动惯量为：ImR2,因为对中心轴的转动惯量跟刚体的厚度L无关，并且厚度归于质量6,所以以圆柱体的中心轴线为刚体的转动轴的转动惯量(图5a)可表小为：ImR2(3.4)(a)图5圆柱体由定义式：dIr2dm2上式积分可得R2I2r3drm(R12R22)/2Ri奉m(a)m工4图6月、形圆盘在上式中我们已经求出环形圆盘绕中心轴的转动惯量为：垂直轴定理我么可以求出环形圆盘绕直径轴转动惯量(图II，2m(R12r3dr(3.6)m(b)Iim(R：R22)/2,根据6b)为：R22)/4(3.7)如图5b,将圆柱体分成厚度为dx的若干等份的薄圆盘，将圆柱体的密度

26、设为，那么薄圆盘的质量可表示为：2dmRdx。我们知道薄圆盘绕直径轴的转动惯量为ImR2/4,根据平行轴定理IIcmd2我们可以得出：dlR2dm4x2dmdlR4dx.4R2x2dx即：上式积分可得L2_4_22I(R4Rx)dxL2mR2.4mL212/_(33.3 圆盘的转动惯量如图6a,同理将环形圆盘分为半径为r,宽度为dx的若干等份的圆环，并用来表示环形圆盘的密度，那么dm2rdr3.4 杆的转动惯量如图7,在细棒上取长度元为dx,dx表示距离转轴z的距离为x,那么质量元dmdx(m/L表示线密度)，由定义Ir2dm可得7:*LI3.5空心圆柱及六面体的转动惯量(3.8)我们已经知道

27、决定刚体转动惯量的些聚皎素，分别是刚体的形状、质量、和转动轴位置。所以我们让刚体的转轴的位置与质量相同的情况下，从形状入手。那么以上计算的这些常见的质地均匀的刚体的质量，我们均将它们设为m,转动轴则可以分为两大类：一类是中心轴线，另一类是中心直径轴线。通过仔细的分析和对比，我们可以发现这些刚体可通过空心圆柱体绕下面两类转动轴(如图8a、b),变换而得到。(a)(b)图8空心圆柱体空心圆柱体围绕中心轴线转动(见图8(a)时的转动惯量可表示为Im(R2R22)2网(3.9)经过参量的变换，由上式可以推导出下面几种常见的质地均匀的刚体围绕中心轴线的转动惯量的表达式：若RiR2时，可知圆环(见图3a)

28、的转动惯量可表示为：ImR2(2)若L=0,R0时，可得圆盘(见图4a)的转动惯量可表示为：ImR2/2若Ri0时，可得实心圆柱体(见图3b)的转动，卜M量为：ImR2/2若L=0时，可得环形圆盘(见图6a)的转动，卜M量为：Im(R12R22)/2(5)如果空心圆柱体的转动轴为中心直径时(见图8b),它的转动惯量可表示为：Im（R21R22）4mL212（3.10）当当当I通过参量的变换，我们可以从上式中推导出以下几种常见的质地均匀的刚体围绕中心直径轴时的转动惯量：0,R1R2时，我们可以求出圆环（图3b）的转动惯量为：ImR2/20L=0,R0时，我们可以求出圆盘（图4b）的转动惯量可表示

29、为：ImR2/4R10时，我们可以求出实心圆柱体（图5b）的转动惯量可表示为:mR2,4mL212当L0时，我们可以求出环形圆盘（图6b）的转动惯量可以表示为：Im（R12R22）4当R1R20时，我们可以求出棒（图7）的转动，卜M量为：ImL2.12接下来我们从质地均匀的六面体（图9）的转动惯量来入手9,推导出其它几种常见的刚体的转动惯量。运用垂直轴定理与质量投影法我们可以得出质地均匀的六面体的转动惯量为:22.12(3.11)将质地均匀的六面体的进行变换，我们可以得出以下几种常见刚体，当它们绕转动轴z转动时的转动惯量为：当L1转动惯量为：L2L3L时，我们可以得出正方体（图10）绕转动轴z

30、转动时的L图10ImL2/6z当L10时，我们能够得到一个长度为L2,宽度为L3的长方形（图11a）绕转动轴z转动时的转动惯量为：ImL22/12L13一图11长方形当L3=0时，我们可以得到一个长度为Li,宽度为L2的长方形(图11b)绕转动轴z轴转动时的转动惯量为：Im(L12L22)/124不规则刚体转动惯量的测量4.1实验方法测量对于那些不规则的刚体来说，我们只能通过实验来测量它们的转动惯量。基本方法与实验装置如图13:1,承制台2.遮光细棒3.税线塔伦4.光电门5.滑轮6.隹母图13不规则刚体转动惯量测量仪器图13即为测量刚体转动惯量的实验装置，承物台上放置着质量为m的刚体，再用整码

31、和细线连接起来。(测量出整码所下降的距离h,时间t,记录下来)滑轮的质量与滑动摩擦力年均可以忽略不计。实验装置的原理：此装置中有两种类型的运动，一种是转动，另一种是匀变速机械运动，我们可以运用这两种运动的规律，来计算形状不规则的刚体的转动惯量的大小。如果用I。来代表形状不规则的刚体的转动惯量、而圆盘的转动惯量为I:所以刚体总的转动惯量就可以表示为：II。I(4.1)转动部分的运动规律则可以表示为：MFrI(4.2)其中代表圆盘的角加速度，F的大小与整码所乘受的重力大小相等，它与圆盘切向加速度a的关系可表示为：ar(4.3)测量出整码所下降的距离为h,时间为t以后，那么整码的运动方程就可表示为h

32、-at2(4.(4)a的大小。(4.(5)(4.(6)2因高度是确定，且时间可以用秒表来记录。从而就可以计算线加速度从式(4.2)(4.3)(4.4)可以计算出I,它的值可表示为：2-2I口2h12代入数据即可以得出,并且有：I2mr2将(4.5)(4.6)代入式(4.1)中，那么形状不规则刚体的转动惯量就可表示为：r22I0(Fthm)2h(4.7)4.2对刚体的转动惯量的误差分析利用上述实验装置，对形状不规则的、质地不均匀的刚体的转动惯量进行测量，作为一个物理实验，误差是实验过程中不可避免的。下面我们就一起来探讨一下误差产生的原因，以及如何减小误差。根据刚体转动惯量的定义式我们可以看出，刚

33、体的转动惯量等于刚体上各个质点质量与各个质点到转动轴之间的距离平方的乘积之和。并且如果刚体的质点是连续分布的，那么它的转动惯量就可以用积分的形式来进行计算，即：Jr2dm。下面我们针对本实验装置进行具体的误差分析。(1)时间测量的误差：在实验过程中需要使用秒表来测量整码下落的时间t,由于实验员需要大约0.1秒的反应时间，并且在开始计时与停止计时时需要一定的操作时间，将这一过程的时间误差认定为大约0.2秒，秒表自身的仪器误差相对来说比较小，我们可以忽略不计。(2)下落高度h的误差：我们难以准确测量整码下落的高度h,人为判断的误差远远大于米尺的仪器误差，这个误差可以达到1mm以上，下落高度h通常约为1m左右，由此产生的相对误差可以达到大约0.1%,如果想要减小误差。塔轮不同的半径r可以使用游标卡尺以便精确测量，整码的质量则需要用天平来测量，这两个量的相对误差很小，主要是由于仪器的误差以及随机误差产生的。(3)不能保证g远大于a产生的误差：转动惯量及其求法当所加的整码质量较大时，这时候的加速度a会随着所加整码的质量增大而增大，但是通常不能完全满足条件g远远大于a,因而导致产生系统误差。(4)细线的质量不能忽略所产生的误差：实验室使用的细线直径约为=0.88mm,一