概念教学必须体现概念的形成过程_平面向量的概念_的教学与反思

1、2010年 第49卷 第1期 数学通报25概念教学必须体现概念的形成过程/平面向量的概念0的教学与反思章建跃 陶维林(人民教育出版社中数室100081 南京师范大学附属中学210003当前, 不重视章节起始课的教学, 概念教学走过场, 以解题教学代替概念教学的现象比较普遍. 在章节起始时, 许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中; 概念教学常常采用/一个定义, 几项注意0的方式, 在概念的背景引入上着墨不够, 没有给学生提供充分的概括本质特征的机会, 认为让学生多做几道题目更实惠. 更令人担忧的是, 有些老师不知如何教概念.李邦河院士认为, /数学根本上是

2、玩概念的, 不是玩技巧. 技巧不足道也! 0以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨, 必须纠正. 否则, 学生在数学上耗费大量时间、精力, 结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少, /数学育人0终将落空.本文是我们继/函数的概念0教学案例2后做的又一个案例, 主要指导思想是/数学概念, , 首要表现在概念的形成0, 概念教学必须让学生经历概念的形成过程; 基本想法是聚焦概念教学, 探索概念教学的基本规律. 期待我们的案例能抛砖引玉, 希望广大教师积极参与/如何教好数学概念0的讨论.1 对教学内容的基本认识5平面向量6是/人教A 版0数学4的一章, 本节课包括/章引言0和/2. 1

3、平面向量的实际背景及基本概念0两部分.在配套的5教师教学用书6中, 介绍了章头图和章引言的编写意图, 其中有这样的叙述:/章引言说明了向量的研究对象及研究方法, 揭示了向量与几何、代数之间的关系, 运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算, 使几何问题通过, 11/章头图0 起/导游图0作用, 是本章学习的/先行组织者0, 应有充分的重视. 教学时, 可以渗透在具体内容中, 不必作抽象讲解, 以避免空洞说教. 许多老师认为, /平面向量的实际背景及基本概念0一节/概念多但不难理解0, 但我们认为/其实不然0. 事实上, 从/概念的形成0的角度看, 本节内容, 重要的不是向量的形式化定义及几

4、个相关概念, 而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法, 蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径, 这是一个带有/本源0性质的过程.这里, 为了帮助学生建立向量的概念, 与数、形的相关概念(数及其运算、直线(段 的平行关系等 类比与联系是值得重视的. 在学生的已有经验中, 与本节内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度 、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等, 这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供/固着点0. 具体教学时, 要设计一个能让学生开展概括活动的过程, 引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等 中领悟向量概念的本质特征, 类比数的概念获得

5、向量概念的定义及表示, 类比数的集合认识/向量的集合0, 类比直线(段 的基本关系认识向量的基本关系. 要使学生从中体会到认识一个数学概念的/基本套路0:从具体背景中抽象出共同本质特征 定义 表示 定义/相等0(这件事情很重要, 但往往不被注意 、/单位元0、/0元0 某些特殊关系. 由此看来, 向量概念的形成并不是一件容易的事情.2 教学过程概述2009年11月初, 在河南省举办的高中数学, 26数学通报 2010年 第49卷 第1期2010年 第49卷 第1期 数学通报27问题4 观察图1中的正六边形AB CDE F . 给图中的一些线段加上箭头表示向量, 并说说你所标注的向量之间的关系.

6、 (举例 何背景明确区分, 真正抓住向量的本质特征, 完成/数学化0的过程. 2. 3 阅读课本请同学们把课本看一遍, 看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致, 有什么遗漏? 有什么不同?意图:通过阅读, 对本课的内容再一次进行归整、明晰. 引导学生重视课本. 2. 4 课堂练习图1教科书P 77中的/练习0部分.2. 5 课堂小结问题7 (引导学生自己小结 能否画个图, 把今天学的内容梳理一下?(有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分, 与图2所呈现的内容基本一致, 只是把/特殊关系0说成了/向量的性质0, 这也是正确的. 教师肯定了她的结论, 展示了图2. 意图:不是先给出相等向量、平行向

7、量、共线向量、相反向量的定义, 再做练习巩固, 而是让学生参与概念的定义过程, 使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.留给学生足够的时间, 并提出问题5, 组织学生交流.问题5 你是怎样研究的? 比如, 你画了哪几个向量? 你认为它们有怎样的关系?意图:不仅关注结果, 更要关注过程. 尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程.(课堂中, 有的学生首先关注大小; 有的学生首先画出向量ED 与A B 认为它们长度相等且方向相同, 是相等的向量; 也有学生首先画出向量与OB 认为它们是共线的向量; 等. 教师适时介入, 解释数学中的向量是自由向量, 可以平移, 因此, ED 与A B 也称为共线向

8、量. /平行向量0的产生比较顺利, 但/相反向量0的产生有困难, 其间还类比了/相反数0. 归纳得到:(1 从/方向0角度看, 有方向相同或相反的, 就是平行向量, 记为a M b ;(2 从/长度0角度看, 有模相等的向量, |a |=|b |;(3 既关注方向, 又关注长度, 有相等向量a =b , 相反向量a =6b .T :我们规定:零向量与任意向量都平行, 即0M a .问题6 由相等向量的概念知道, 向量完全由它的方向和模确定. 由此, 你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗? 另外, 向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别? :图2T :今天我们学习了向量的概念及

9、其表示方法, 并初步研究了向量这个集合, 发现了其中的两个特殊向量, 以及向量之间的一些特殊关系. 同学们要认真体会其中的基本思路, 即:从同类具体事例中抽象出共同本质特征 下定义 符号表示 认识特殊对象 考察某些特殊关系.这里特别要注意, 因为向量带有方向, 所以只用代数的形式已无法表示, 必须结合几何的形式. 因此, 向量具有代数形式和几何形式的/双重身份0. 随着学习的深入, 我们会看到这种身份给向量带来的力量.另外, 我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合. 我们知道, 数与运算分不开, 数的概念的发展也与运算不可分割. 例如, 为了解方程x 228数学通报 2010年 第49卷 第

10、1期=2, 我们需要有无理数概念, 于是要有/开方0运算. 引进一种新的数, 就要研究关于它的运算; 引进一种运算, 就要研究相应的运算律. 今天我们引进了一个新的量 向量, 下面我们该研究它的哪些问题? 如何研究? 请同学们课后认真考虑, 下节课来交流. (说罢, 教师在/特殊关系0的右边增加了省略号/, 0. 2. 6 布置作业(略 . 3 教学反思3. 1 起始课应把/基本套路0作为核心目标本课是/平面向量0的起始课, 具有/统领全局0的作用. 因此, 本课的目标应体现出这一地位. 具体有如下三个方面:(1 形成平面向量的概念, 特别是要让学生体会/向量集形与数于一身0的特征;(2 让学

11、生体会用联系的观点、类比的方法研究向量(主要是联系数及其运算、直线(段 的平行和共线等 ;(3 通过类比/数及其运算0而获得研究的内容与方法的启发, 再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路.如果从更深层次考虑, 上述目标更本质的是/数学育人0. 数学课堂应始终把育人目标放在首位, 当然要将它融入知识的教学中. 本课似乎/没什么东西可讲0, 也没什么难点, 因此不愁完不成教学任务, 但这只能指陈述性(或明确 知识目标的实现. 向量概念的重要性不言而喻, 而作为/起始0, 本课的教学必须要有/交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图0的大气. 要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程,

12、体会到研究数学问题的基本套路, 进而提高提出问题、研究问题的能力, 这才算充分挖掘了本课内容的育人资源, 才算体现了向量概念的教学价值.3. 2 概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动前已述及, 许多老师认为本课概念多但不难理解. 多次观摩本课的教学, 看到的大多是沉闷的课堂, 教师讲得乏味, 学生学得无趣. 事实上, 许多概念课都有这种弊端. 有的老师可以把解题讲得头头是道, 但概念教学就没词、没招了. 我们认为, 概念再多也不能成为/讲起来枯燥乏味0的理由.念课生动活泼、优质高效的关键. 这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾, 激发认知冲突, 把学生卷入其中; 另一方面要

13、让学生有参与的时间与机会, 特别是有思维的实质性参与.概念的形成过程充满矛盾冲突, 这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件. 比如, 考察司空见惯的/量0, 有的/只有大小没有方向0, 有的/既有大小又有方向0, 在比较中就产生了区别的需要, 这就是向量概念的生长点. 与人出生后要起名字一样, 我们要给新的数学对象命名, 并且要与它的本质相吻合, 要区别于其他概念, /方向0就成了区别的标准, 没有/方向0的叫数量, 有/方向0的叫向量, 概念的产生自然而然.概念抽象需要典型实例. 谁来找例子? 教师自作自画, 自己举例、概括, 自己给定义, 就可能枯燥乏味. 比如, 告诉学生什么叫平行向量、相

14、等向量、相反向量等, 学生被动听, 没有参与机会, 不仅枯燥乏味, 而且会使学生理解不透. 如果让学生举例, 要求尽量举不同的例, 就会迫使他们开动脑子, 就有可能举出不同的、有趣的例, 就会百花齐放. 这样, 生动活泼的场面自然形成, 而且在举例过程中, 有独立思考、合作交流, 甚至有争辩, 这就形成了促进概念理解的机制. 让学生举例可以促进学生思维的深度参与, 因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础. 实际上, 概念教学中的/参与0, 其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动.举例后, 还要让学生讲理由, 让其他同学来补充, 相互启发、交流互动, 生动活泼的局面自然就出现了. 比如

15、, 探索/向量的表示0时, 一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力, 但没有用字母标注起点、终点. 笔者没有替他标上, 而是问:/大家有什么要补充的吗? 0有几位同学不请自来, 有的标上字母, 有的标出大小, 经过教师启发和全班努力, 终于明确了向量的几何表示的正确方法. 在这个过程中, 全体同学热情参与, 自我教育, 互帮互学, 想让课堂不生动活泼都难. 也许有人认为, 这是小题大做, 浪费时间. 但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼, 更重要的是体现概念的形成, 这才是落实双基的教学, 长期坚持可以让学生养成好的学习习惯. 如果总是老师替学生完善表,2010年 第49卷 第1期 夺了学生的思

16、考机会.数学通报果.29事实上, 由于数学概念的高度抽象性, 对任何一个貌似简单的概念, 学生往往都要费很大周折才能理解. 许多教师对此不能保持高度警觉, 常常认为自己容易的学生也然, 没有意识到自己的/容易0是经历了千辛万苦、长期积累才得到的. 这种心理导致了师生交流的许多障碍, 是造成教师不是从学生的角度出发, 针对学生的理解困难展开教学的主要原因. 因此, 教师要对这种心理保持高度警惕, 努力从学生的认知水平出发, 保证学生参与概念本质特征的概括活动, 确保学生有自己想明白的机会和时间, 这是非常要紧的.3. 3 概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现/概念的形成0/人教A 版0的主编寄

17、语中说:/数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的. 如果有人感到某个概念不自然, 是强加于人的, 那么只要想一下它的背景, 它的形成过程, 它的应用, 以及它与其他概念的联系, 你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物, 不仅合情合理, 甚至很有人情味. 0我们认为, 这应该成为概念教学的基本指导思想. 概念课就应该使概念出得自然、水到渠成, 否则就不叫做/教数学0、/学数学0. 本课的教学, 我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程, 了解为什么要引入这个概念, 怎样定义这个概念, 怎样入手研究一个新的课题.从课堂教学的要求看, 概念教学的自然和水到渠成应包括两方面:一是知

18、识的逻辑顺序自然; 二是学生心理逻辑的自然, 主要是思维过程的自然. /自然的概念教学过程0是上述两方面的融合. 因此, 向量概念的教学中, 我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路, 使学生能/抬头看路0, 知道往哪里走, 这是起始课的重要任务; 微观上, 引导学生通过类比, 有序地给出向量的定义(区别于/只有大小没有方向的量0 、讨论向量的表示(重点是几何表示 、定义特殊的向量、研究特殊的关系(特别是相等向量. 在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中, 主要强调了/让学生参与到定义概念的活动中来0, 不轻易打断学生的思维和活动, 恰时恰点地/以问题引导学习0, 在/追问(质疑

19、反思0的过程中深化概念的理解3. 4 /创造性地使用教材0的前提是深刻理解教材本次课改提出/用教材教0/创造性地使用教材0的理念, 这对教师理解和处理教材提出了更高要求. 我们认为, 深刻理解教材的编写意图是/创造性地使用教材0的前提./平行向量0、/共线向量0等概念, 教材是这样呈现的:先介绍概念, 然后以一个例子作为概念的应用与巩固; /相反向量0在向量的减法运算中给出. 教科书按知识的逻辑顺序呈现, 无疑是正确的. 如果按教材顺序组织教学, 一定能顺利完成任务, 学生也会掌握得不错. 但这是/教师告诉, 提醒注意, 练习巩固0的办法, 学生的主动思维无法调动. 因此我们根据教材的基本思路

20、, 先让学生研究问题4, 目的是给学生参与概括概念本质特征的机会, 实实在在地经历概念的形成过程. 观察过程中, 必然要利用向量的定义, 要从/方向0和/大小0两个方面展开思考. 于是, 平行向量(共线向量 就很容易被概括出来; 相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然. 教师适时介入, 强化本质特征、规范概念表达, 与学生一起完成概念的定义.值得指出的是, 这样处理教材, 自然而然地要求学生联系相关概念. 比如, 由图形呈现的/平行直线段0自然产生了/平行向量0; 再增加长度相等、方向相同或相反, 就产生了相等向量或相反向量. 属差决定了向量之间的区别, 就有了引入新概念的必要性. 这里,

21、学生还经历了对向量的关系进行分类的思考:以是否平行为标准, 一类是共线向量(平行向量 , 另一类是不共线向量(不平行向量 , 这是由向量的/方向0属性决定的. 如何区分不平行的向量? 又有了引入新概念的必要性, 这就是向量的夹角(这是后话.总之, 这样处理教材后, 我们构建了一个真正的问题情境, 学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法. 从课堂小结看, 这一目标已经实现. 学生不仅能说出具体知识, 而且还能准确地说出/分成三个部分0 向量的表示、特殊向量、特殊关系(说成向量的性质. 这些是课本中找不到的, 需要具有一定概括能力.3. , (2010 年 第

22、49 卷 第1期 数学通报 33 如案例 2, 通过归纳猜想 , 探究猜想的证明 , 值得 思考 . 而案例 7 则不具备这一原则 . ( 6 时代性 强调这一点是为着使教学跟上日益变化的社 会发展, 一方面教学必须快速反映客观现实, 与时 俱进 ; 另一方面通过富有时代气息的案例教学, 引 导学生更好地关注现实社会 , 培养奉献社会的责 任感 . 富有时代感的数学案例教学 , 具有鲜活生动 的教学特色, 能充分显示数学教学的强大生命力 . 如案例 2 符合人教 A 版教材的要求 , 容易与学生 的思维产生共鸣 . 而案例 6 和案例 7 则相反( 适合 老教材, 不适合人教 A 版教材 .

23、通过以上分析, 笔者以为案例 2 ( 教材上的案 例 是最理想的数学归纳法新课引入教学设计案 例. 同时也验证了陶维林教授的一句话 : / 这部分 教材是写得比较好的, 大家只要按照教材教就可 以了0 . 我的理解是: 在教了这部分内容之后, 你就 ( 上接第 29 页 不过分纠缠于细节 本课的教学中, 大多数教师都不恰当地在 / 零 向量与任意向量平行0 上狠下功夫 , 原因是 / 这是 考试中的一个陷阱0 . 我们认为这是对零向量的意 义和作用理解不到位的表现. 首先 , 规定/ 零向量与任意向量平行0 是完善 概念系统的需要. / 平行向量0 是向量间的关系定 义, 自然应针对全体向量而

24、言, 不能排斥零向量 . 因此 , 需要对平行向量的概念加以补充定义. 由于 零向量的长度为零方向任意, 因此, 规定/ 零向量 与任意向量平行0 也在情理之中. 其次 , 就像数 0 的作用在于运算一样, 零向量 的作用在于运算及其表达的几何意义 . 例如, A B, CD, EF 都是非零向量 , 如果 A B + CD = 0 , 则 A B 与CD 是 相反 向量 ; 如果 A B + CD + EF = 0, 则 A B , CD, E F 首尾相接围成三角形 ; 等. 这些 结论 在解决几何问题时作用很大. 因此 , 孤立地讨论零向量与任意向量平行没 有多少意义, 更不应作为考题津

25、津乐道地考学生 . 本节课上 , 我们只明确了这一规定 , 没有耗费过多 笔墨 . 否则 , 把注意力吸引到这里, 就把简单问题 复杂化了 . 4 结束语 : 追求概念教学的本来面目 我们在/ 中学数学核心概念、 思想方法结构体 会慢慢地感觉到这部分教材写得好 , 并且好在哪 里. 这正是这次课题会议给我的切身体会! 参考文献 1 章建跃 . 课题为载体 , 有效 促进教 师专业 化成长 暨 / 中学 数学核心概念、 思想方 法结构体 系及其 教学设 计的理 论与实 践0 第八次课题会成果综述 . 2 / 中学数学核心概念、 思想方法结构体系及其 教学设计的理论 与实践0 第八次课题会反思材料 . 3 4 5 钱 珮玲 , 马波等. 高中数学新课程教学法 . 北 京: 高等教育出版 社 , 2007 年 3 月第 1 版 . 曹才翰 , 章建跃. 中学数学教学概论 . 北