2019-2020年高中数学第二册(上)不等式的性质

1、2019-20202019-2020 年高中数学第二册年高中数学第二册( (上上) )不等式的性质不等式的性质教学目的：教学目的：1. 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小教学重点：教学重点：比较两实数大小.教学难点：教学难点：差值比较法：作差一变形一判断差值的符号.教学过程教学过程：一一、引入引入：世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等式的问题，本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.二、讲解新课：二、讲解新课：1判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数 a、b

2、,在 ab,a=b,aVb 三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是：由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了.2.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明：(1)不等号的种类：、b,cd,是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：ab,cb0,m0,试比较与的大小。例例 4 4 设且 aHb,比较与的大小.例例 5 5 已知 xy,且 yHO,比较与 1的大小。例例 6 6 比较 a2+b2+c2与 ab+bc+ca的大小.例例 7 7 已知 x、y均为正数，设 M=,N=，试比较 M 和 N 的大小。四、课堂练习

3、四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号：(1) (+)26+2；(2) ()2(1)2；(3)；(4)当 ab0 时，logalogb.2. 选择题若 aV0,lVbVO,则有()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a3. 比较大小：(1) (x+5)(x+7)与(x+6)2；(2) log 与 log.4. 如果 x0,比较(一 1)2与(+1)2的大小.5. 已知 aH0,比较(a2+a+1)(a22a+1)与(a2+a+1)(a2a+1)的大小.五、作业五、作业：习题 6.113.补充：1. 已知，比较与的大小2.比较 2sin 与 sin2 的大小(

4、0vb,那么 bva,如果 bva，那么 ab.(对称性)即：abba；bb 证明：aba-b0由正数的相反数是负数，得-(a-b)v0即 b-ab，且 bc，那么 ac.(传递性)即 ab，bcac证明：ab，bca-b0，b-c0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+(b-c)0 即 a-c0ac点评：(1)根据定理 1,定理 2 还可以表示为：cvb,bvacva(2)不等式的传递性可以推广到 n 个的情形定理 3：如果 ab,那么 a+cb+c.即 aba+cb+c证明：ab,a-b0,(a+c)-(b+c)0 即 a+cb+c点评：(1)定理 3 的逆命题也成立；(2)利用定理 3

5、 可以得出：如果 a+bc，那么 ac-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后,可以把它从边移到另一边.推论：如果 ab,且 cd，那么 a+cb+d.(相加法则)即 ab,cda+cb+d.证法一：abna+cb+cna+cb+dcdnb+cb+dJ证法二：abnab0ab+cd0a+cb+dcdncd0J点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向；例例 1 1 已知 ab,cvd,求证：a-cb-d.(相减法则)证明：Tab,cVd*.*ab0,dc0(ac)(bd)=(a-b)+(d-c)0(两个正数的和

6、仍为正数)故acbd.定理 4：如果 ab,且 c0,那么 acbc；如果 ab,且 cvO,那么 acvbc.证明：ac-bc=(a-b)caba-b0当 c0时,(a-b)c0 即 acbc.当 c0时,(a-b)c0 即 acb0,且 cd0,那么 acbd.(相乘法则)证明：又由、可得.说明：(1)所有的字母都表示正数,如果仅有,就推不出的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.例例 2 2 已知 ab,ab0,求证：例例 3 3 已知 abO,Ovcvd，求证

7、:四、作业四、作业：习题 6.146.不等式的性质不等式的性质( (3 3) )教学目的：教学目的：1熟练掌握定理 1，2，3，4 的应用；2掌握并会证明定理 4 推论 2；3掌握反证法证明定理 5.教学重点：教学重点：定理 4 推论 2，定理 5 的证明.教学难点：教学难点：定理 4 的应用.教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1同向不等式与异向不等式.2不等式的性质：定理 1，2，3，4 及定理 3、4 推论 1.二、讲解新课：二、讲解新课：定理 4 推论 2若ab0,贝【Janbn(nGN且n1)说明：(1)推论 2 是推论 1 的特殊情形；(2)应强调学生注意 nN 的条件.

8、如果 ab0，那么 anbn(nN,且 nl)。定理 5 若ab0,则nanb(nGN且n1)点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难贝反”我们用反证法来证明定理 5， 因为反面有两种情形， 即和， 所以不能仅仅否定了， 就“归谬”了事， 而必须进行“穷举”.证明：假定不大于，这有两种情况：，或者.由推论 2和定理 1，当时，有；当时，显然有这些都同已知条件矛盾所以.点评：反证法证题思路是：反设结论 f 找出矛盾 f 肯定结论.三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 已知 ab0,cvO,求证：例例 2 2 已知 a,b,x,y是正数，且，xy.求证：例例 3 3 已知函数 f(

9、x)=ax2-c,-4f(1)-1,-1f(2)b,cdna+cb+d(定理 3 推论，同向不等式相加)(5)*ab,cb-d(异向不等式相减)(6)(7)(定理 4，乘法单调性)(8) ab0,cd0nacbd(定理 4 推论 1，同向不等式相乘)(9)*ab0,0c-(异向不等式相除)cd(10)*(倒数关系)(11)ab0nanbn(n(=乙且n1)(定理 4 推论 2,平方法则)(12)ab0nnanb(neZ,且 n1)(开方法贝U)五、作业五、作业：选择题：如果 ab0,cd0,则下列不等式中不正确的是Aa-db-cBCa+db+cDacbd2.如果 a、b 为非 0 实数，则不等

10、式成立的充要条件是A.ab 且 ab0B.a0C.ab,ab0 或 ab0D.a2b-ab2bc 时，下列不等式恒成立的是A.abacB.(a-b)|c-b|0C.a|c|b|c|D.|ab|bc|4.已知 a、b 为实数，则“a+b2”是“a、b 中至少有一个大于 1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分也不必要条件5. logm2logn2的充要条件是A.nm1 或 1mn0B.1mn0C.nm1 或 1nm0 或 m1n0;D.mn1二填空题：6._若-lvxvyvO,则，的大小关系为。7设角 a、P 满足，则 a-p 的取值范围为。8.若实数 ab,则 a2

11、-abba-b2.(填上不等号)9._已知 abc， 且 a+b+c=O,则 b2- -4ac 的值的符号为。三解答题10.如果 a,b0 求证：不等式的性质不等式的性质(4)(4)教学目的：教学目的：熟练掌握不等式的基本性质；教学重点难点：教学重点难点：不等式的基本性质的应用.教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：不等式的基本性质.二、例题：二、例题：例 1已知，求证：例 2若，求不等式同时成立的条件例 3设，求证例 4比较与的大小例 5.若-6vav8,2vbv3,分别求 2a+b,a-b,的范围.例 6若求证：例 7.设函数 f(x)的图象为一条开口向上的抛物线，已知 x、y 均

12、为正数，p0,q0 且 p+q=1,求证 f(px+qy)vpf(x)+qf(y).三、作业三、作业同步练习 060142019-20202019-2020 年高中数学第二册年高中数学第二册( (上上) )不等式的解法举不等式的解法举教学目的：1掌握分式不等式向整式不等式的转化；2进一步熟悉并掌握数轴标根法；3掌握分式不等式基本解法教学重点：分式不等式解法教学难点：分式不等式向整式不等式的转化授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：,我们学习了一元一次不等式(组);高一，我们又学习了一元二次不等式及形如|x|a或|x|0)的不等式，已经掌握了这几类不等式(组)的基本

13、解法，从本节开始，我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法教学过程：一、复习引入：解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想1 一元一次不等式ax+b0(1)若a0 时，则其解集为x|x-(2)若a0 时，则其解集为x|x0,其解集为 RbW0,其解集为2 一元二次不等式0(a#0)高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为:0 或0)的形式,而且我们已经知道，一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式4二b2-4ac0,设方程=0 的二根为x,x(x0 时，其解集为x|xx；(a0 时

14、，其解集为x|xx0 时，其解集为x|x#-,xER；倉80 时，其解集为若 A A0 时，其解集为 R；a0 时，其解集为类似地,可以讨论O(aHO)的解集3不等式|x|a(a0)的解集1|x|0)的解集为：x|-axa(a0)的解集为：x|xa或x0f(x)g(x)0；(2)0f(x)g(x)0；(3)20；(4)W0三、讲解范例：例 1 解不等式|1分析:不等式|x|0)的解集是x|-axa，这时，我们用替换|x|0)的解集中的x,原不等式转化为-11即解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集解：原不等式可转化为-11 即解不等式，得解集为x|lx4；解不等式，得解集为x|x3原不等式的

15、解集是不等式和不等式的解集的交集,即x|lx4Ax|x3=x|lx2,或 3x4故原不等式的解集是：x|lx2,或 3x0_或Jx2-3x+20,x2-3x-30.因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为(X23x+2)(X22x3)V0即(x+1)(x1)(x2)(x.3)V0令（x+1）（x1）（x2）（x可得零点x=1 或 1，或 2 或 3，将数轴分成五部分(如图)由数轴标根法可得所求不等式解集为：x|lVxVl 或 2VxV3说明：(1)让学生注意数轴标根法适用条件；(2)让学生思考 W0 的等价变形

16、例 3 解不等式1分析：首先转化成右端为 0 的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解解：原不等式等价变形为：10通分整理得：0 等价变形为：x22x3)(x23x2)即(x1)(x1)(x2)(x由数轴标根法可得所求不等为：x|xV1 或 1VxV2 或x3说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解四、课堂练习：1 解下列不等式:(1)|3x-4|W19；(2)|+4|3；(3)30+7x-2x20；(5)6X2+X-2W0答案:(1)由|3x-4|W194-19W3xW4+19-5WxW,原不等式解集为x|-5WxW(2)原不等式即|x+7|6x-1,原不等式的解集为x|x

17、-1(3)原不等式即2x2-7x-300 方程 2x2-7x-30=0 的两根为x=-,x=6 原不等式的解集为x|x-或x6(4)JA A=25-4816；(2)|x2-3x+1|16X264X|-4X4Ux|x8原不等式的解集为:x|x-8 或-4x8(2)原不等式-5X2-3X+15x2-3x-40(-1x4ofn-lx0 xwR故原不等式的解集为x|-1x43 解下列不等式:(1)20；(2)x(x3)(x+1)(x2)WO答案：(1)20nxw(-1U2,3)U(4,+s)(2)x(x3)(x+1)(x2)W0式解集五、小结：一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,

18、要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集形如|m(m0)的不等式的解法，关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解六、课后作业：1. 解关于x的不等式解：将原不等式展开，整理得：讨论：当时，当时，若0 时；若0 时不合a=0 也不合a0A二(a-1)2-4a(a-1)0Ia01nna035.若函数 f(x)=.；kx26kx+(k+8)

19、的定义域为 R,求实数k的取值范围解： 显然k=0 时满足而k0时不满足必有：a0F0n0k1A二 36k2-4k(k+8)0J2n-1x1 或 2x3x2-2x-30-1x3x2-3x*20解二：(列表法)原不等式可化为列表(略)注意：按根的由小到大排列解三：(标根法)作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于 0(还是小于 0)取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”8解不等式解：原不等式化为(x+3)(x+42)(x-、0原不等式的解为9解不等式(x

20、2-4x-5)(x2+x+2)0解：恒成立，.原不等式等价于即-1x510解不等式(x+2)2(x-1)3(x+1)(x-2)0解：原不等式等价于且原不等式的解为x11x2或2x-1 或 x-2右原题目改为(x+2)2(x1)3(x+1)(x2)0呢？11.解不等式(x+5)(x+2)(x-1)(x-4)-80解：原不等式等价于(x2+x一20)(x2+x一2)+800即(x2+x)2-22(x2+x)+1200(x2+x-12)(x2+x-10)0k 的取值范围是0,1-1x2x312解不等式解：原不等式等价于，.原不等式的解为:13k为何值时，下式恒成立：解：原不等式可化为：2x2+(62k)x+(3k)0，而4x2+6x+3原不等式等价于2x2+(62k)x+(3k)0由A二(62k)24x2x(3k)0得 1k0；(2)2-3x0|x|2-2|