2019-2020年高考数学回归课本 数列教案 旧人教版

1、2019-20202019-2020 年高考数学回归课本数列教案旧人教版年高考数学回归课本数列教案旧人教版一、基础知识一、基础知识定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1,2,3,，.数列分有穷数列和无穷数列两种，数列a的一般形式通常记作 a,a,a,，a 或 a,a,a,，a。其中n123n123na 叫做数列的首项，a 是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。1n定理 1 若 S 表示a的前 n 项和，则 S=a,当 n1 时，a=S-S.nn11nnn-1定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n,都有 a-a=d(常数)，贝a称为等差数列,n+1nnd 叫做公差。若三个数 a,b

2、,c 成等差数列，即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为 d,则 a=b-d,c=b+d.定理 2 等差数列的性质：1)通项公式 a=a+(n-1)d；2)前 n 项和公式：n1n(a+a)n(n-1),S=1n=na+d；3)a-a=(n-m)d,其中 n,m 为正整数；4)若 n+m=p+q,n212nm则 a+a=a+a；5)对任意正整数 p,q,恒有 a-a=(p-q)(a-a)；6)若 A,B 至少有一个nmpqpq21不为零，则a是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.n定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n,都有，贝a称为等比数列，q 叫做公比。n

3、定理 3 等比数列的性质：1)a=aqn-1；2)前 n 项和 S，当 q1 时，S=；当 q=1 时，S=na；n1nnn13)如果a,b,c成等比数列， 即b2=ac(b0)， 则b叫做a,c的等比中项； 4)若m+n=p+q,则aa=aa。mnpq定义 4 极限，给定数列a和实数 A,若对任意的0,存在 M,对任意的 nM(nwN N)，都有n|a-A|，则称 A 为 n+B 时数列a的极限，记作nn,定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列a的公比 q 满足|q|1,则称之为无穷递增等比n数列，其前 n 项和 S 的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。n定理 3 第一数学归纳法

4、：给定命题 p(n)，若：(1)p(no)成立；(2)当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n 三气成立。竞赛常用定理竞赛常用定理定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：(1)p(n)成立；(2)当 p(n)对一切 nWk 的自然数 n 都成立时(k 三气)可推出 p(k+1)成立，则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n三 n成立。定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 x=ax+bx，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为 a,nn-1n-2B:若 aB，则 x=can-1+cpn-1,其

5、中 c,c 由初始条件 x,x 的值确定；若 a 邙,n121212则 x=(cn+c)an-1，其中 c,c 的值由 x,x 的值确定。n121212二、方法与例题 1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1)0,3,8,15,24,35,；2)1,5, 19,65,；3)-1,0,3,8,15,。【解】1)a=n-1；2)a=3n-2n；3)a=n2-2n.n2nn例 2 已知数列a满足 a=,a+a+a=n2a,n1,求

6、通项 a.n112nnn【解】因为 a1=,又 a1+a2=22a?,所以 a2=,a3二,猜想(n 三 1).证明；1)当 n=1 时，a1=，猜想正确。2)假设当 nWk 时猜想成立。当 n=k+1 时，由归纳假设及题设，a+a+a 二(k+1)2-1ak,111k+1111111+1即1-1+1-1+1-丄223kk+1所以=k(k+2)ak+1,+3x2kx(k+1)=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)a，所以 a=k+1k+1由数学归纳法可得猜想成立，所以例 3 设 Oal,数列a满足 a=1+a,a=a+,求证：对任意 nwN,有 a1.nnn-1+n【证明】证明更强的结论：

7、1aW1+a.n1) 当 n=1 时，1a=+a+a二=1.k+ia1+a1+a1+ak由数学归纳法可得式成立，所以原命题得证。2迭代法。数列的通项 a 或前 n 项和 S 中的 n 通常是对任意 neN N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1nn或 n-1 等，这种办法通常称迭代或递推。例 4 数列a满足 a+pa+qa=0,n3,qO,求证：存在常数 c,使得a+nnn-1n-2n【证明a+(pa+a)+=a(qa)+二n+1n+1n+2n+2n+a(pq+qa)=q().nn+1n若=0，则对任意 n,+=0,取 c=0 即可.若 0,贝 9+是首项为，公式为 q 的等比数列。所以+

8、=qn.取即可.综上，结论成立。例 5 已知 a=0,a=5a+,求证：a 都是整数，neN N.1n+1nn+【证明】因为 a=0,a=1，所以由题设知当 n1 时 aa.12n+1n又由 a=5a+移项、平方得n+1na2一10aa+a2一1=0.n+1nn+1n当 n2 时，把式中的 n 换成 n-1 得a2-10aa+a2-1=0，即nnn 一1n 一1a2一10aa+a2一1=0.n+1nn+1n因为 aa，所以式和式说明 a,a 是方程 X2-10ax+-1=0 的两个不等根。由韦达-1+1-1+1定理得 a+a=10a(n22).+1-1再由 a=0,a=1 及式可知，当 neN

9、 N 时，a 都是整数。12+3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。已知 a=(n=1,2,)，求 S=a+a+a.n9912992X2100+4n+4100-n因，为a+a=+=n100-n4100X2+2100(4n+4100-n)所以 S 二(a+a)=X992n100一 n2n=1例 6【解12100992100992101例 7 求和：+解】一般地，k(k+1)(k+2)=1)k+2一 k2k(k+1)(k+2)21k(k+1)(k+1)(k+2)丿所以 Sn=n11111=一+一+11+一n(n+1)(n+1)(n+2)所以是首项为，公比为 2 的等比数

10、列。所以，所以,例 8 已知数列a满足 a=a=1,a=a+a,S 为数列的前 n 项和，求证:n12n+2n+1nnS2。n112358a因为S=+-+-+-+-+n,n22232425262n11235a所以一+-+-+。2n2222422n+1111r1、aa由-得三=+n-2n-2n22V22n-22n所以。又因为 S0,-2所以 S,所以，n所以 S0，由可知对任意 neN,0 且lg+x-%2n+4x+2n+1=2lg【证明】由递推公式可知，数列a前几项为 1,1,2,3,5,8,13。n(2+迈)(2+迈)2n-1(2、：2)2n1注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基

11、础训练题三、基础训练题1. 数列x满足 x=2,X=S+(n+l)，其中 S 为x前 n 项和，当 n2 时，x=,n1n+1nnnn2. 数列x满足 x=,x 二，则x的通项 x=.n1n+1nn3. 数列x满足 x=1,x=+2n-1(n22)，则x的通项 x=.n1nnn4. 等差数列a满足 3a=5a，且 a0,S 为前 n 项之和，则当 S 最大时，n=.n8131nn5. 等比数列a前 n 项之和记为 S,若 S=10，S=70，则 S=.nn1030406. 数列x满足 x=x-x(n 三 2),x=a,x=b,S=x+x+x，则 S=.nn+1nn-112n12n1007. 数

12、列a中，S=a+a+a 二 n24n+1 贝则|a|+|a|+a|=.nn12n1210 xxx若一i二2=3x+1x+3x+5123n等差数列a，b的前 n 项和分别为 S 和 T,若，则=,nnnn若 n!=n(n1)21,则=.11. 若a是无穷等比数列，a 为正整数，且满足 a+a=4&logaloga+logaloga+nn5622232225logaloga+logaloga=36,求的通项。2226252612. 已知数列 a 是公差不为零的等差数列， 数列 是公比为 q 的等比数列， 且 b=1,b=5,n12b=17,求：(1)q 的值；(2)数列b的前 n 项和 S

13、。3nn(1)I2 丿(1A-x1)则 axx=.xx2已知数列a满足 a=1,a 二 a+2a+3a+(n-1)a(n22),则a的通项 a=.n1n123n1nn3. 若 a=n2+,且a是递增数列，则实数的取值范围是.nn4. 设正项等比数列a的首项 a=,前 n 项和为 S,且 2 吧(2】。+1)S+S=0,则n1n302010a=.n5. 已知，则 a 的取值范围是.6._数列a满足 a=3a+n(nwN+)，存在个a 值，使a成等差数列；存在nn+1n1n个 a 值，使a成等比数列。1n7._ 已知(nGN+),贝在数列an的前 50 项中，最大项与最小项分别是.解得xxTinn

14、-T并且尸尸+于8,则x1=8.9.10四、高考水平训练题四、高考水平训练题c1x+21.已知函数f(x)二0,q0)且 p+q=1 时，nnnn1nn11(1)求证：a0,b0 且 a+b=1(neN)；(2)求证：a+1=；(3)求数列nnnnn13. 是否存在常数 a,b,c,使题设等式122+232+n(n+l)2=(an2+bn+c)对于一切自然数 n 都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项和为 972，这样的数列共有个。2. 设数列x满足 x=1,x=，则通项 x=.n1nn3. 设数列a满足

15、 a=3,a0，且，则通项 a=.n1nn4. 已知数列 a,a,a,，a,满足关系式(3-a)(6+a)=18,且 a=3,则二.012+105. 等比数列 a+log3,a+log3,a+log3 的公比为=.2486. 各项均为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有项.7.数列a满足 a=2,a=6,且=2,则12a+、:aalim12n=.nT8n2&数列a称为等差比数列，当且仅当此数列满足 a=0,a-qa构成公比为 q 的等比0+1数列，q 称为此等差比数列的差比。那么，由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时

16、，项数最多有项.a9.设 heN N，数列a定义为：a=1,a=1,an+1(an+1-1)=六六、联赛二试水平联赛二试水平训练题训练题1. 设 a 为下述自然数 N 的个数：N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4,求n证：a 是完全平方数，这里 n=1,2,.2n2. 设 a,a,，a 表示整数 1,2,，n 的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质12n的排列数目：a=1;la.-a.|W2,i=1,2,nT。1ii+1试问 f(xx)能否被 3 整除？3.设数列a和b满足 a=1,b=0，且nn00Ia=7a+6b-3,/n+1nnb=8a+7b-4,n=0,1,

17、2,.n+1nn求证：a(n=0,1,2,)是完全平方数。n4. 无穷正实数数列x具有以下性质：x=1,x.x.(i=0,1,2,)，n0i+1i(1) 求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个 n1,使三 3.999 均成立；(2) 寻求这样的一个数列使不等式4 对任一 n 均成立。5. 设 x,x,x 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-xk|(k=3,4,n).试12nkk-1k-2问这样的序列最多有多少项？a为偶数n。问：对于怎样的 ha为奇数6. 设 a=a=，且当 n=3,4,5,时，a=,12n(i)求数列an的通项公式；(ii)求证：是整数的平方。7. 整

18、数列 u,U,u,u,满足 u=1，且对每个正整数 n,uu=ku，这里 k 是某个固定的01230n+1n-1u正整数。如果 u=xx，求 k 的所有可能的值。xx8. 求证：存在无穷有界数列x，使得对任何不同的 m,k,有|x-xj 三nmk9. 已知 n 个正整数 a,a,a 和实数 q,其中 0q1,求证：n 个实数 b,b,b 和满01n01n足：(1)ab(k=l,2,，n)；kk2)q(k=1,2,n)；(3) b+b+b(a+a+a).12n01n2019-20202019-2020 年高考数学回归课本极限与导数教案旧人教版年高考数学回归课本极限与导数教案旧人教版一、基础知识1

19、. 极限定义：(1)若数列u满足，对任意给定的正数，总存在正数 m,当 nm 且 nNn时，恒有|U-A|成立(A 为常数)，则称 A 为数列 u 当 n 趋向于无穷大时的极限，记为,nn另外=A 表示 x 大于 xo且趋向于 xo时 f(x)极限为 A,称右极限。 类似地表示 x 小于 xo且趋向于 X 时 f(x)的左极限。02. 极限的四则运算：如果 f(x)=a,g(x)=b，那么f(x)g(x)=ab,f(x)g(x)=ab,3连续:如果函数 f(x)在 x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称 f(x)在 x=x0处连续。4. 最大值最小值定理：如果 f

20、(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么 f(x)在a,b上有最大值和最小值。5. 导数：若函数 f(x)在 x0 附近有定义，当自变量 x 在 x0处取得一个增量 4x 时(4x 充分小)，因变量 y 也随之取得增量 4y(Ay=f(x0+Ax)-f(x0).若存在，则称 f(x)在 x处可导，此极限值称为 f(x)在点 x0处的导数(或变化率)，记作(x0)或或:即xff(x)在区间 I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点 x0处导数(x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处切线的斜率。6. 几个常用函数的导数:(1)=0(c 为常

21、数)；(2)(a 为任意常数)；(3)(4);(5);(6);(7)；(8)7. 导数的运算法则：若 u(x),v(x)在 x 处可导，且 u(x)工 0,则(1)u(x)土 v(x)=u(x)土 v(x)；(2)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)；(3)(c为8.复合函数求导法： 设函数y=f(u),u=(x)， 已知(x)在x处可导， f(u)在对应的点u(u=(x)处可导，则复合函数 y=f(x)在点 x 处可导，且(f(x)=.9导数与函数的性质： (1)若f(x)在区间I上可导， 则f(x)在I上连续； (2)若对一切xw(a,b)有，则 f(x)在(a,b)单调递

22、增；(3)若对一切 x(a,b)有，则 f(x)在(a,b)单调递减。10. 极值的必要条件：若函数 f(x)在乂处可导，且在 x 处取得极值，则0011. 极值的第一充分条件：设 f(x)在 x0 处连续，在 x0邻域(x-B,x0+6)内可导，(1)若当x(x-6,x)时，当 xW(x,x+B)时，则 f(x)在 x 处取得极小值；(2)若当 xG(x-6，00000)二 limf(X)f(%)由定义知 f(x)在点 x0连续是 f(x)在 x0可导的必要条件。若常数)；(4)；(5)学=u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u2(x)x0)时，当 xG(x0,x0+6)时，则 f(x)

23、在 x0处取得极大值。12. 极值的第二充分条件：设 f(x)在 X。的某领域(x0-6,x0+6)内一阶可导，在 x=x0处二阶可导，且。(1)若，则 f(x)在 x0处取得极小值；(2)若，则 f(x)在 x0处取得极大值。=1.14)lim*n(、n+1一*n)=limnTgnTgy.nf(a)且 f(c)=m，则 cW(a,b),且 f(c)为最大值，故，综上得证。14. Lagrange 中值定理：若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在 gW(a,b),使证明令 F(x)=f(x)-,则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且 F(a)=F(b),所以由13

24、知存在 gW(a,b)使=0,即15. 曲线凸性的充分条件： 设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数， (1)如果对任意 xWI,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的；(2)如果对任意 xWI,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16. 琴生不等式：设 a,a，,aWR+,a+a+a=1。(1)若 f(x)是a,b上的凸函12n12n数，则 x,x,xWa,b有 f(ax+ax+ax)Waf(x)+af(x)+af(x).12n1122nn1122nn二、方法与例题1.极限的求法。1)=；例 2 求下列极限：(1)(1+x)(1+x2)(1+)

25、(1+)(|x|1)；例 1求下列极限：(1)；(2)；(3)limns11+-JVn2+2yn2+n丿；(4)2)an当 a1 时，limnT81+an=lim1ng(1=1.当 0a1 时，limnT81+anlimann阿1+limanns1+0当 a=1 时，liman1+an=lim1f+1lim-+1nTVa丿=0.n(3)因为.=n2+n+-n2+2vn2+1而lim=limnTg：n2+n二1,lim11+1nTg：n2+1=lim二1,：1+丄所以lim+mg(2)；(3)。解(l)(l+x)(l+x2)(l+)(1+)(1x)(1+x)(1+x2)(1+x2n)1一 x2n

26、+11lim=lim=ns1一xnT81一x1一x=limXTII=lim2+x=1.xT11+x+x2x2一1(3)lim=limXTIJ3x一+1+xXTI(3x一y1+x)(A/3x+A/1+x)(x 一 1)(x+1)(3x+：1+x)一(x+1)(苹3x+1+x)lim=limXTI2连续性的讨论。例 3 设 f(x)在(-00， +00)内有定义， 且恒满足 f(x+1)=2f(x),又当 xG0,1)时， f(x)=x(1-x)2，试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。解当 x0,1)时，有 f(x)=x(1-x)2,在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t 则 x=t-1

27、,当 x1,2)时，利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1)，因为 tTW0,1),再由 f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-1)2,从而 tw1,2)时,有 f(t)=2(t-1)(2-1)2；同理，当 x1,2)时，令x+1=t，则当 tw2,3)时，有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-1)2.从而2(x1)(2x)2,xe1,2)f(x)=0 且)。解(1)y=cos(3x+1)-(3x+1)=3cos(3x+1).(5x2+3x、x)x(5x2+3xx)-(x)2)lim=limXT1(1x)(2+x)=limxI(x21)(*3x+1

28、+x)2(1-x)XTI(2)y=x2所以a+2b+1=0,0,解得23161)10 x+3x5x2+3x+寸x2jx 丿x2(3)y二 ecos2x-(cos2x)=ecos2x-(-sin2x)-(2x)=-2ecos2xsin2x.I(x+px2-1)=x+i：x21(5)y=(12x)x=exin(1-2x)二 exin(1-2x)(xln(12x)二(I-2x)xln(1-2x)-y5用导数讨论函数的单调性。例 6 设 a0,求函数 f(x)=-ln(x+a)(xW(0,+B)的单调区间。x2+(2a-4)x+a+0,有 x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)

29、上单调递增;(2) 当 a=1 时， 对 xMl,有 x2+(2a-4)x+a2 0， 即， 所以 f(x)在(0,1)内单调递增， 在(1,+8)内递增，又 f(x)在 x=1 处连续，因此 f(x)在(0,+s)内递增；(3)当 0a1 时,令，即 x2+(2a-4)x+a20，解得 x2-a-或 x2-a+，因此,f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+00)内也单调递增，而当 2-aYx2-a+时，x2+(2a-4)x+f(0)=0,即 sinx+tanx2x.7. 利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 xi=1 和 x 2 处都取得极值， 试

30、求 a 与 b 的值， 并指出这时 f(x)在 xi与 x2处是取得极大值还是极小值。解因为 f(x)在(0,+o)上连续，可导，又 f(x)在 xi=1,x2=2 处取得极值，所以，又+2bx+1,4)解1x+a(x0)因为 x0,a0,所以 x2+(2a-4)x+a20；1cosx+一cos2xI12.cosx-cos2x因为 0cosx1)所以cosx2121(x1)(2x)所以f(x)=lnxx2+X,f(x)=x+1=363x33x所以当 x(0,1)时，所以 f(x)在(0,1上递减；当 xe(1,2)时，所以 f(x)在1,2上递增；当XW(2,+8)时，所以 f(x)在2,+8

31、)上递减。综上可知 f(x)在 xi=1 处取得极小值，在 x2=2 处取得极大值。例 9 设 x0,n,yW0,1,试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。解首先，当 x0,n,yW0,1时，,/、cosx(xtanxV兀、g(x)=(x丰-)当时，因为 cosx0,tanxx，所以;当时，因为 cosx0,tanx0,x-tanx0，所以；又因为 g(x)在(0,n)上连续，所以 g(x)在(0,n)上单调递减。又因为 0(1-y)xxn，所以 g(1-y)xg(x),即，又因为，所以当 xW(0,n),yW(0,1)时，f(x,y)0.其次，

32、当 x=0 时，f(x,y)=0；当 x=n 时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)n20.当 y=1 时，f(x,y)二-sinx+sinx=0；当 y=1 时，f(x,y)=sinx20.综上，当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=n 且 y=1 时，f(x,y)取最小值 0。三、基础训练题1=.2已知，则 a-b=42+(1)nI5.计算lim+lim&x2+1px21)=.nsnxT+86._ 若f(x)是定义在(-8,+8)上的偶函数，且存在，贝 y.f(2+h)f(2h)7.- 函数 f(x)在(-8,+8)上可导，且，则lim=.h02h8._ 若曲线f(x,y)=

33、(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2xsin(1y)x(1y)xsinx+xy2(1y)2sinxsin(1y)x+(1y)x令 g(x)=,2y1(1y)2sinx=(1-y)2xx23limns1+cos2(n+1)33x24x+1+limnT833x2x2+2f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0，则点 P 坐标为.9. 函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是.10._ 函数的导数为.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数 a.12.求 sin29。的近似值。13.设 0ba，求证：四、高考水平练习题1计算=.2计算.3函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是.。4函数的导数是.5函数 f(x)在 x0邻域内可导，a,b 为实常数，若，则十f(x+aAx)-f(x-bAx)limoo=.AXTOAx6函数 f(x)=ex(sinx+cosx),x 的值域为.7.过抛物线 X2=2py 上一点(x0,y0)的切线方程为.8._ 当 x0 时，比较大小：ln(x+l)x.9函数 f(x)=x5-5x4+5x3+