2019-2020年中考数学专题突破导学练第13讲二次函数的图象与性质试题

1、2019-2020年中考数学专题突破导学练第13讲二次函数的图象与性质试题【知识梳理】1二次函数如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aMO)，那么y叫做x的二次函数.几种特殊的二次函数：y=ax2(aM0)；y=ax2+c(acM0)；y=ax2+bx(abM0)；y=a(xh)2(aM0).2. 二次函数的图象二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.由y=ax2(aM0)的图象，通过平移可得到y=a(xh)2+k(aM0)的图象.3. 二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1) 抛物线y=ax2bxc的顶点是，对称轴

2、是直线，顶点必在对称轴上；(2) 若a0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y),当xV时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x=，y有最小值;若aVO，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当xV，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当乂=时，y有最大值；(3) 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c)；(4) 在二次函数y=ax2+bx+c中，令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况：当=b24ac0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐

3、标分别是和，这两点的距离为；当=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当V0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.4. 抛物线的平移抛物线y=a(xh)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(xh)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.5. 二次函数关系式的确定设一般式：y=ax2bxc(aM0).若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y=ax2+bx+c(aM0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值设交点式：y=a(xydGM0).若已知二次函数图象与x轴的两个交点的

4、坐标，则设交点式：y=a(xX)(xX2)(aM0),将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.设顶点式：y=a(xh)2+k(aMO).若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式:y=a(xh)2+k(aM0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.【考点解析】题型一二次函数的定义例1(xx河南)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是(1,4).【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点

5、式即可.【解答】解：TA(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，代入得：，解得：b=2，c=3，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4)，故答案为：(1，4).【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键.题型二二次函数的图象及性质例2.(xx贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(aM0)与二次函数y=ax2+bx+c(aM0)在同【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：A、

6、由抛物线可知，aVO,由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0,x二-0,得bVO,由直线可知，a0,b0,故本选项错误；C、由抛物线可知，aVO,x=-VO,得bVO,由直线可知，aVO,bVO,故本选项正确；D、由抛物线可知，aVO,x=-VO,得bVO,由直线可知，aVO,b0故本选项错误.故选C题型三二次函数图象与系数a,b,c的关系例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（aMO）的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在（-3,O）和（-4,O）之间，其部分图象如图所示，贝9下列结论：4a-b=O；cVO；-3a+cO；4a-2bat2+bt（t为实数）；点（-,y）,（-,y

7、）,（-,y）是该抛物线上的123点，贝yVyVy，正确的个数有（）123A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点.【分析】根据抛物线的对称轴可判断，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断,由x=-1时yO可判断，由x=-2时函数取得最大值可判断，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断.【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2,.4a-b=O,所以正确；与x轴的一个交点在（-3,。）和（-4,O）之间，由抛物线的对称性知，另一

8、个交点在（-1,O）和（O,O）之间，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即cVO,故正确；由知,x=-1时y0,且b=4a,即a-b+c=a-4a+c=-3a+c0,所以正确；由函数图象知当x=-2时,函数取得最大值,.*.4a-2b+c三at2+bt+c,即4a-2b三at2+bt(t为实数)，故错误；抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=-2,.抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，.yVyVy，故错误；132故选：B.题型四确定二次函数的解析式例4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的

9、顶点.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 直接写出点C和点D的坐标；(3) 若点P在第一象限内的抛物线上，且S=4S，求P点坐标ABPCOE注：二次函数y=ax2+bx+c(aM0)的顶点坐标为(-,)【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点.【分析】(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2) 令x=0,可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；(3) 设P(x,y)(x0,y0),根据题意列出方程即可求

10、得y,即得D点坐标.【解答】解：(1)由点A(-1,0)和点B(3,0)得，解得：，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；(2)令x=0,则y=3, C(0，3)，*.*y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, D(1,4)；(3)设P(x,y)(x0,y0),S=X1X3=,S=X4y=2y,COEABPVS=4S,2y=4X,ABPCOE y=3，-x2+2x+3=3，解得：x=0(不合题意，舍去)，x=2,12 P(2，3)题型五二次函数图象的平移例5将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物y=(x+1)2+1Cy=2(x-1)2+1Dy=2(x+1

11、)2+1【考点】H6：二次函数图象与几何变换.分析】根据平移规律，可得答案解答】解：由图象，得y=2x2-2，由平移规律，得y=2(x-1)2+1，故选：C.题型六二次函数与不等式的关系例6【中考热点】I7八、八、(XX山东滨州)如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.(1)求直线y=kx+b的函数解析式；(2) 若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3) 若点E在抛物线y=-x2+2x+l的对称轴上移

12、动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值.【考点】HF：二次函数综合题.【分析】(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；(2) 过P作PH丄AB于点H,过H作HQ丄x轴，过P作PQ丄y轴，两垂线交于点Q,则可证明厶PHQsBAO,设H(m,m+3),利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；(3) 设C点关于抛物线对称轴的对称点为C，由对称的性质可得CE=CE,则可知当F、E、C三点一线且CF与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C点的坐标，利用(2)中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小

13、值.【解答】解：(1) 由题意可得，解得，直线解析式为y=x+3；(2) 如图1,过P作PH丄AB于点H,过H作HQ丄x轴，过P作PQ丄y轴，两垂线交于点Q,.ZPHQ+ZAHQ=ZBA0+ZAB0=90,.ZPHQ=ZBAO,且ZA0B=ZPQH=90,.PQHsABOA,设H(m,m+3),则PQ=x-m,HQ=m+3-(-x2+2x+1),TA(-4,0),B(0,3),.OA=4,OB=3,AB=5，且PH=d,整理消去m可得d=x2-x+=(x-)2+.d与x的函数关系式为d=(x-)2+.o,当乂=时，d有最小值，此时y=-()2+2X+1=,当d取得最小值时P点坐标为(，)；(3

14、)如图2,设C点关于抛物线对称轴的对称点为C,由对称的性质可得CE=CE,.CE+EF=CE+EF,.当F、E、C三点一线且CF与AB垂直时CE+EF最小，VC(0,1),C(2,1),由(2)可知当x=2时，d=X(2-)2+=,即CE+EF的最小值为.【达标检测】一选择题：1. (xx玉林)对于函数y=-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是()A. 开口向下B.对称轴是x=mC.最大值为0D.与y轴不相交【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值.【分析】根据二次函数的性质即可一一判断.【解答】解：对于函数y=-2(x-m)2的图象，Va=-2V0,开口向下，对称轴x=m，顶点

15、坐标为(m,0),函数有最大值0,故A、B、C正确，故选D.【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题中考常考题型.2. (xx贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(aMO)与二次函数y=ax2+bx+c(aMO)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()ABD【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，aVO,由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0,x二-0,得bVO,由直线可知，a0,b0,故本选项错误；C、由抛

16、物线可知，aVO,x=-VO,得bVO,由直线可知，aVO,bVO,故本选项正确；D、由抛物线可知，aVO,x=-VO,得bVO,由直线可知，aVO,b0故本选项错误.故选C3. 将二次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是（）A.B.C.D.【考点】二次函数平移【分析】利用二次函数平移规律：将抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标;值正右移,负左移；值正上移,负下移,概括成八字诀“左加右减,上加下减”,求出即可。【解答】解：变为顶点式.沿轴向右平移2个单位长度故选D4. （xx乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（-1,O）,且对称轴为直线x=1,有下列结论：ab

17、cVO；1Oa+3b+cO；抛物线经过点（4,y）与点（-3,y）,则yy；无论a,1212b,c取何值，抛物线都经过同一个点（-,O）；am2+bm+a三O,其中所有正确的结论是_.【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断；由x=3时的函数值及a0可判断；由抛物线的增减性可判断；由当x=-时，y=a（-）2+b（-）+c=且a-b+c=O可判断；由x=1时函数y取得最小值及b=-2a可判断.【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a0,顶点在y轴右侧，则bVO,抛物线与y轴交于负半轴，则cVO,/.abc0,故错误；T抛物线y=ax2+

18、bx+c过点（-1,0），且对称轴为直线x=l,:抛物线y=ax2+bx+c过点（3,0）,当x=3时，y=9a+3b+c=0,*.*a0,.10a+3b+c0,故正确；对称轴为x=1,且开口向上，.离对称轴水平距离越大，函数值越大，.yQ考点二次函数的图象及性质。解析T抛物线的开口向下，.:aV0.T=1,.：b0且a=.|2ab|=0,|2ab|=b2a抛物线与y轴的正半轴相交，c0.|3b+2c|=3b+2c.由图象可知当x=1时，yV0,即ab+c0.b+c0.|3b2c|=3b2c.P=03b2c=3b2c0,Q=b2a（3b2c）=（b2c）Q故答案为：PQ7. （xx乌鲁木齐）如

19、图，抛物线y=ax2+bx+c过点（-1,0）,且对称轴为直线x=1,有下列结论： abcVO；10a+3b+c0；抛物线经过点（4,人）与点（-3,则人汽无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点（-,0）；am2+bm+a三0,其中所有正确的结论是_【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断；由x=3时的函数值及a0可判断；由抛物线的增减性可判断；由当x=-时，y=a（-）2+b（-）+c=且a-b+c=0可判断；由x=1时函数y取得最小值及b=-2a可判断.【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a0,顶点在y轴右侧，则bV0,抛物线

20、与y轴交于负半轴，则cV0,.abc0,故错误；T抛物线y=ax2+bx+c过点（-1,0）,且对称轴为直线x=1,.抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），.当x=3时，y=9a+3b+c=0,Va0,.10a+3b+c0,故正确；对称轴为x=1,且开口向上，.离对称轴水平距离越大，函数值越大，.y-1；以上结论中正确结论的序号为.【考点】HA:抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系.【分析】根据抛物线与y轴交于点B(0,-2),可得c=-2,依此判断；由抛物线图象与x轴交于点A(-1,0),可得a-b-2=0,依此判断；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴

21、为y=,可得x=2,比较大小即可判断；从而求解.2【解答】解：由A(-10)B(0-2)得b=a-2开口向上，.a0；对称轴在y轴右侧.-0.-0.a-2V0,Aa2；.0VaV2；正确；抛物线与y轴交于点B(0,-2), c=-2,故错误；抛物线图象与x轴交于点A(-1，0), a-b-2=0,无法得到0a-l,故正确.2故答案为：.三解答题：9. (xx乌鲁木齐)如图，抛物线y=ax2+bx+c(aMO)与直线y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0).(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD丄x轴

22、于点D,交直线AB于点E. 当PE=2ED时，求P点坐标； 是否存在点P使ABEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明【考点】HF：二次函数综合题.【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2) 可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标【解答】解：（1）.点B（4，m）在直线y=x+l上,.m=4+l=5,B（4

23、，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，:抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）设P（x,-x2+4x+5）,则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|-x2+4x+5-（x+1）|=|-x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，.|-x2+3x+4|=2|x+1|，当-x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=-1或x=2，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去,.P（2，9）；当-x2+3x+4=-2（x+1）时，解得x=-1或x=6，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，.P（6，-7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，-7）； 设P（x,-x2+4

24、x+5）,则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），.BE=|x-4|，CE=，BC=，当ABEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x-4|=,解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x-4|=，解得x=4+或x=4-，此时P点坐标为（4+,-4-8）或（4-,4-8）；当CE=BC时，贝4，解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P,其坐标为（,）或（4+,-4-8）或（4-,4-8）或（0,5）.10. （xx张家界）已知抛物线s的顶点为A（-1,4）,与y轴的交点为D（0,3）.（1）求c的解析式；1(2)若直线l：y=x+m与c仅有唯一的交点，求m的值；11(3) 若抛物线c关于y轴对称的抛物线记作c，平行于x轴的直线记作l:y=n.试结合122图形回答：当n为何值时，l与c和c共有：两个交点；三个交点；四个交点；212(4) 若c与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使APAB为等腰三角形.25-【