解析几何第四版吕林根课后习习题答案第四章

1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面1、已知柱面的准线为：0225)2()3() 1(222zyxzyx且（1）母线平行于x轴； （2）母线平行于直线czyx,，试求这些柱面的方程。解： （1）从方程0225)2()3() 1(222zyxzyx中消去x，得到：25)2()3()3(222zyyz即：0235622zyyzzy此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点),(0000zyxM，过0M且平行于直线czyx的直线方程为：zztyytxxzztyytxx000000而0M在准线上，所以02225)2()3() 1(222tzyxztytx上式中消去t后得到：0268882

2、3222zyxxyzyx此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为zxzyx222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量2, 0, 1任取准线上一点),(0000zyxM，过0M的母线方程为：tzzyytxxtzzyytxx22000000而0M在准线上，所以：)2(2)2(22tztxtzytx消去t，得到：010204254222zxxzzyx此即为所求的方程。3、求过三条平行直线211, 11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0zyx：它与已知直线的交点为)34,31,31(),1, 0, 1( ,0, 0, 0，这三

3、点所定的在平面0zyx上的圆的圆心为)1513,1511,152(0M，圆的方程为：07598)1513()1511()152(222zyxzyx此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),(1111zyxM，且方向为1, 1, 1的直线方程为：tzztyytxxtzztyytxx111111将此式代入准线方程，并消去t得到：013112)(5222zyxzxyzxyzyx此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为)(),(),()(uzuyuxu ，母线的方向平行于矢量ZYXS,，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：SvuYx)(与ZvuzzYvuyyXvuxx)()()(

4、式中的vu,为参数。证明：对柱面上任一点),(zyxM，过M的母线与准线交于点)(),(),(uzuyuxM，则，SvMM即SvMOOM亦即SvuYY)(，SvuYY)(此即为柱面的矢量式参数方程。又若将上述方程用分量表达，即： ZYXvuzuyuxzyx,)(),(),(,ZvuzzYvuyyXvuxx)()()(此即为柱面的坐标式参数方程。 4.2 锥面1、求顶点在原点，准线为01, 0122zyzx的锥面方程。解：设为锥面上任一点),(zyxM，过M与O的直线为：zZyYxX设其与准线交于),(000ZYX，即存在t，使ztZytYxtX000,，将它们代入准线方程，并消去参数t，得：0

5、)()(222yzyzzx即：0222zyx此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为)2,1,3(，准线为0, 1222zyxzyx，试求它的方程。解：设),(zyxM为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133zZyYxX令它与准线交于),(000ZYX，即存在t，使tzZtyYtxX)2(2) !(1)3(3000将它们代入准线方程，并消去t得：044441026753222zyxxzyzxyzyx此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解： （这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴l与kji,等角，故l的方向数为1:1:1与l垂直的平面之一令为1zyx平

6、面1zyx在所求的锥面的交线为一圆， 该圆上已知三点) 1 ,0 ,0(),0 ,1 ,0(),0 ,0 ,1 (，该圆的圆心为)31,31,31(，故该圆的方程为：1)32()31()31()31(2222zyxzyx它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点),(zyxM，过M与顶点O的母线为：zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使ztZytYxtX000,，将它们代入准线方程，并消去t得：0zxyzxy此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为)4, 2, 1 (，轴与平面022zyx垂直，且经过点) 1, 2, 3(的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：142221zyx过

7、点) 1, 2, 3(且垂直于轴的平面为：0) 1()2(2)3(2zyx即：01122zyx该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与) 1, 2, 3(的距离为：3116) 1937()2920()3911(222d要求圆锥面的准线为：011229116)937()920()911(222zyxzyx对锥面上任一点),(zyxM，过该点与顶点的母线为：442211zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX，即存在t，使,) 1(10txX,)2(20tyYtzZ)4(40将它们代入准线方程，并消去t得：01299252516518525210412515122zyxzxyzx

8、yzyx6、已知锥面的准线为)(),(),()(uzuyuxu ，顶点A决定的径矢为0000,zyx，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：0( )(1)vuv 与000( )(1)( )(1)( )(1)xvx uv xyvy uv yzvz uv z式中，vu,为参数。证 明 ： 对 锥 面 上 任 一 点),(zyxM， 令OM ， 它 与 顶 点A的 连 线 交 准 线 于( ( ), ( ), ( )Mx uy uz u ，即OM( )u 。/AMAM ，且0AM （顶点不在准线上）AMvAM 即00( ( )vu 亦即0( )(1)vuv 此为锥面的矢量式参数方程。若将

9、矢量式参数方程用分量表示，即：000 , , ( ), ( ), ( )(1),x y zv x uy u z uvxyz000)1 ()()1 ()()1 ()(zvuvzzyvuvyyxvuvxx此为锥面的坐标式参数方程，vu,为参数。 4.3 旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1） ；111112xyz绕1112xyz 旋转（2） ；1211xyz 绕1112xyz 旋转（3）1133xyz绕z轴旋转；（4）空间曲线2221zxxy 绕z轴旋转。解： （1）设1111( ,)Mx y z是母线111112xyz上任一点，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1

10、)(1)(2)xxyyzzxyzxyz又1M在母线上。111111112xyz从（1）（3）消去111,x y z，得到：22255224444480 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点1111( ,)Mx y z，过1M的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz因1M在母线上，1111211xyz (3)从（1）（3）消去111,x y z，得到：2225523122424242446230 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点1111( ,)Mx y z，过该点的纬圆为：

11、1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上，所以：1111133xyz（3）从（1）（3）消去111,x y z，得到：2229() 10690 xyzz此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点1111( ,)Mx y z，过1M的纬圆为：1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上，所以2112211(1)1(2)zxxy从（1）（3）消去111,x y z，得到：221xy211101zzxz 即旋转面的方程为：221xy(01)z2、将直线01xyz绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就, 可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一

12、点1111( ,)Mx y z，过1M的纬圆为：1222222111(1)(2)zzxyzxyz又11101xyz（3）pp)(),(),(uzuyuxMxyzO从（1）（3）消去111,x y z，得到：222220 xyz此即为所求旋转面的方程。当0,0时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴） ；当0,0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点） ；当,0 时，旋转面变为z轴；当0,0时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为( ),( ),( )xx uyy uzz u，将曲线绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设( ( ), ( ), ( )M x uy uz u为上任一点

13、，则对经过M的纬圆上任一点( , , )p x y z，令p在xoy面上的射影为p令( ,)i op ，则opopp p ，而22( )( )opx uyu 2222( )( ) cos( )( )sinopx uyuix uyuj 而( )p pz u k 2222( )( ) cos( )( )sin( )x uyuix uyujz u k 此即为旋转面的矢量式参数方程，vu,为参数。其坐标式参数方程为：2222( )( )cos( )( )sin(02 )( )xx uy uyx uy uzz u4.4 椭球面1、做出平面20 x与椭球面22221494xyz的交线的图形。解：平面20

14、x与椭球面22221494xyz的交线为：zyxzx O2239442yzx，即22127342yzx椭图形为2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x 的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点( , , )M x y z，要求的轨迹为，则2222221( , , )(1)4344122M x y zxyzxxyz即：2221433xyz此即为的方程。3、由椭球面2222221xyzabc的中心（即原点） ，沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，设定方向的方向余弦分别为, , ，试证：22222221rabc证明：沿定方向 , , 到曲面上一点，该点的坐标为,rrr 该点在曲面上

15、2222222221rrrabc即22222221rabc4、由椭球面2222221xyzabc的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,p pp，设112233,opr opr opr，试证：222222123111111rrrabc证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)iiiiirabc其中,iii 是iop 的方向余弦。若将(1,2,3)iop i 所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123, 是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦， 从而2221231， 同理，2221231，2221231所以，2222222221231231232222221232221111

16、11()()()111rrrabcabc即：222222123111111rrrabc5、一直线分别交坐标面,yoz zox xoy于三点, ,A B C，当直线变动时，直线上的三定点, ,A B C也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p，它与三点的距离分别为, ,a b c，当直线按照这样的规定（即保持, ,A B C分别在三坐标面上）变动，试求p点的轨迹。解：设112233(0,), (,0,),(,0)Ay zB xzC xy，则知：2 121331221,x zz yxyzzzz2 1211221(,0)x zz yCzzzz又设( , , )p x y z，,pAa pBb

17、 pCc 22221122222222222 1211221()()(1)()()(2)()()(3)xyyzzaxxyzzbx zz yxyzczzzz又p在AB的连线上，111121yyzzxxyzz（4）从（1）（4）消去1122,y z xz，得到2222221xyzabc此为点的轨迹方程。6、已知椭球面2222221()xyzcababc，试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。解：设要求的平面为：0yz它与椭球面的交线为：（*）22222210 xyzabcyz若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a，从而交线上的点都在球面：2222xyza上即有：22222

18、222211 ()z azzabc亦即：2222222(1)0aazbc22222210aabc 即：22222(1)1aabc2222222acbcbazxyOzxyO2222baccba 满足要求的平面方程为：22220bacyzcba 4.5 双曲面1、画出以下双曲面的图形：（1）22211694xyz；（2）22211649xyz 解：图形如下：2、给定方程2221 (0)xyzABCABC试问当取异于, ,A B C的各种数值时，它表示怎样的曲面？解：对方程2221 (0)xyzABCABC（*）1、当A时， （*）不表示任何实图形；2、当AB时， （*）表示双叶双曲面；3、当BC时

19、， （*）表示单叶双曲面；4、当C时， （*）表示椭球面。3、 已知单叶双曲面2221494xyz， 试求平面的方程， 使这平面平行于yoz面 （或xoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为xk，则该平面与单叶双曲面的交线为：（*）2221494xyzxkxyzmlO),(11cyxA亦即2221944yzkxk 为使交线（*）为二相交直线，则须：2104k，即2k 所以，要求的平面方程为：2x 同理， 平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线， 则该平面为：3y 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x 的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：设动点(

20、, , )M x y z，所求轨迹为，则2222222( , , )(4)21(4)4(1)M x y zxyzxxyzx亦即：222141212xyz此为的轨迹方程。5、试求单叶双曲面22211645xyz与平面230 xz的交线对xoy平面的射影柱面。解：题中所设的交线为：22211645230 xyzxz从此方程中消去z，得到：2220241160 xyx此即为要求的射影柱面方程。6、设直线l与m为互不垂直的两条异面直线，C是l与m的公垂线的中点，,A B两点分别在直线l，m上滑动，且90ACB，试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。证明：以l，m的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令x轴

21、与l，m的夹角均为，公垂线的长为2c，若设tg，则l，m的方程分别为：0:yxlzc0:yxmzc 令11( , )A x y c，22(,)B xyc，则有：11220,0yxyx又ACCB，所以：22222222211221212()()(2 )xycxycxxyyc亦即212120 x xy yc（2）又设( , , )M x y z为AB上任一点，则cczyyyyxxxx2121121(3)从（1）（3）中消去2211,yxyx，得：222222222)1 ()1 (czyx即：111222222222czcycx(4)l不垂直m，1（4）表示单叶双曲面，即AB的轨迹是一单叶双曲面。7

22、、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：ctguzvubyvuaxsinseccossec与uczvbtguyvatguxsecsincos解：对方程：ctguzvubyvuaxsinseccossec消去参数vu,，有：1222222czbyax此即为单叶双曲面；又对方程：uczvbtguyvatguxsecsincos消去参数vu,，有：1222222czbyax此即为双叶双曲面方程。 4.6 抛物面1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，且过点)6 , 2 , 1 (和) 1 , 1,31(，求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：z

23、byax22222令确定a与b)6 , 2 , 1 (和) 1 , 1,31(均在该曲面上。有：219112412222baba从而561,536122ba所以要求的椭圆抛物面的方程为：zyx25653622即：zyx5318222、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2） 与两给定的异面直线等距离的点的轨迹， 已知两异面直线间的距离为a2， 夹角为2。解： （1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为), 0 , 0(a，而定平面即为0z，设比值常数为c，并令所求的轨迹为，则点czazyxzyxM222)

24、(),(即02)1 (22222aazzcyx此为的方程。（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：azxtgy0与azxtgy0设所求的轨迹为，则222222221110011100),(tgtgyxxaztgazytgtgyxxaztgazyzyxM即：22222222)()()()()()(yxtgazaztgyxtgazaztg经同解化简得：xyazcossin此即所要求的轨迹方程。3、画出下列方程所代表的图形：（1）19422zyx； （2）xyz ； （3）222zzyx4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：（1

25、）6,1223 , 63 , 0, 0zyxyxyxzy（2）; 1,22y，xzyx三坐标平面（3）1,21,2yxyzyx（4）1, 12222zyyx解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：221sincosuzvbuyvaux与uvzvubyvuax2)()(式中的vu,为参数。解：对方程221sincosuzvbuyvaux消去参数vu,得：zbyax22222这正是椭圆抛物面的方程。对方程uvzvubyvuax2)()(消去参数vu,得：zbyax22222这正是双曲抛物面的方程。 4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、 求下列直纹面的直母线族方程：（1）

26、0222zyx（2）axyz 解： （1）从原方程得：222yzx即：yyzxzx)(亦即：ytzxtyzxtzxyyzx)(为了避免取极限，将上方程写成：sytzxtyzxs)()(（1）若将原方程变形为：222xzy，则可得到：uxzyvvxzyu)()(（2）若令)(21stu，)(21stv，则（2）便是（1）原曲面的直母线族是（1） ，其中ts,不全为零。（2）原方程变形为：ayxz亦即：tayxztayxtz（1）由axyz得：saxsyz（2）（1） （2）即这原曲面的两组直母线族方程。2、 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）（1）0112zyx；（2）442442zyxzy

27、x解： （1）原方程等价于zyx2从此式中消去，得：yxz2此即为直母线（1）所形成的曲面。（2）从原方程中消去得：1416222zyx此即为（2）的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面zyx41622上，求平行于平面0423zyx的直母线。解：双曲抛物面zyx41622的两族直母线为：zyxuuyx)24(24及zyxvvyx)24(24第一族直母线的方向矢量为：, 1, 2u第二族直母线的方向矢量为：, 1 , 2v据题意，要求的直母线应满足：204232104232vvuu要求的直母线方程为：zyxyx24124及224224zyxyx4、试证单叶双曲面1222222czbyax的任意

28、一条直母线在xoy面上的射影，一定是其腰圆的切线。证明：单叶双曲面的腰圆为012222zbyax两直母线为：)1 (1)1 (byvczaxbyvczax它在xoy面内的射影为 ：0)1(12zvvbyvvax（2）将（2）的第一式代入（1）的第一式得：44)1(1222byvvbyvv即：0)1()1(2)1(1222222vvyvvbyvvb上述方程的判别式为：0)1()1(4)1(42222222vvvvbvvb（2）与（1）相比，证毕。5、 求与两直线11236zyx与214283zyx相交， 而且与平面0532 yx平行的直线的轨迹。解：设动直线与二已知直线分别交于),(),(111

29、000zyxzyx，则11236000zyx，214283111zyx又动直线与平面0532 yx平行，所以，0)(3)(21010yyxx对动直线上任一点),(zyxM，有：010010010zzzzyyyyxxxx从（1）（4）消去111000,zyxzyx，得到：zyx449226、求与下列三条直线zyx1，zyx1与524132zyx都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线zyx1及直线zyx1不妨设其与第一条直线交于), 1 (p注), 1 (p与第二条直线的平面为：0)() 1(zyx过p与直线524132zyx的平面为0)() 1(3)(3) 1(zyxzyx动直

30、线的方程为：0)() 1(3)(3) 1(0)() 1(zyxzyxzyx从上式中消去参数，得：1222zyx此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明：单叶双曲面1222222czbyax的一族直母线为：)1 ()()1 ()(byuczaxvbyvczaxu过该族中一条直母线的平面为：0)1 ()()1 ()(byuczaxvtbyvczaxus即：0)1 ()()1 ()(bytuczaxtvbysvczaxsu（1）另一族直母线为：)1 ()()1 ()(bymc

31、zaxnbynczaxm过该族中一条直母线的平面为：0)1 ()()1 ()(bymczaxnlbynczaxmk即0)1 ()()1 ()(bymlczaxnlbyknczaxkm（2）对照（1） 、 （2）得，只要令vltnuksm,，得（2）便是（1）了亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线，同理，对v族的直母线也有类似性质。对双曲抛物面：zbyax22222其族直母线为：zbyaxuubyax)(2（*）取其中的一条（即取定u） ，显然平面ubyax2通过直母线（*） ，但该平面不通过v族直母线中的任何一条，这是因为：v族直母线zvbyaxwbyax)(的方向矢量为2,

32、1,1abvab而02201111ababvabba平面ubyax2不能通过v族中的任何直母线。8、试求单叶双曲面1222222czbyax上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u母线和一条v母线，所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：)1 ()()1 ()(bywczaxubyuczaxw)1 ()()1 ()(bytczaxvbyvczaxt将两方程化为标准式，得：)(22)(2)(22222222wucuwwuzbuwywuauwwuax)(2)(2)(2)(22222222tvcvttvazbvtytvavtvtax由此求出二直线的交点坐标为：utvwwtuvczutvwutvwbyutvwwtuvax)(,)(,)(又二直线垂直，0)(4)(22