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1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面1、已知柱面的准线为:0225)2()3() 1(222zyxzyx且(1)母线平行于x轴; (2)母线平行于直线czyx,,试求这些柱面的方程。解: (1)从方程0225)2()3() 1(222zyxzyx中消去x,得到:25)2()3()3(222zyyz即:0235622zyyzzy此即为要求的柱面方程。(2)取准线上一点),(0000zyxM,过0M且平行于直线czyx的直线方程为:zztyytxxzztyytxx000000而0M在准线上,所以02225)2()3() 1(222tzyxztytx上式中消去t后得到:0268882
2、3222zyxxyzyx此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为zxzyx222,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。解:由题意知:母线平行于矢量2, 0, 1任取准线上一点),(0000zyxM,过0M的母线方程为:tzzyytxxtzzyytxx22000000而0M在准线上,所以:)2(2)2(22tztxtzytx消去t,得到:010204254222zxxzzyx此即为所求的方程。3、求过三条平行直线211, 11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程。解:过原点且垂直于已知三直线的平面为0zyx:它与已知直线的交点为)34,31,31(),1, 0, 1( ,0, 0, 0,这三
3、点所定的在平面0zyx上的圆的圆心为)1513,1511,152(0M,圆的方程为:07598)1513()1511()152(222zyxzyx此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),(1111zyxM,且方向为1, 1, 1的直线方程为:tzztyytxxtzztyytxx111111将此式代入准线方程,并消去t得到:013112)(5222zyxzxyzxyzyx此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为)(),(),()(uzuyuxu ,母线的方向平行于矢量ZYXS,,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:SvuYx)(与ZvuzzYvuyyXvuxx)()()(
4、式中的vu,为参数。证明:对柱面上任一点),(zyxM,过M的母线与准线交于点)(),(),(uzuyuxM,则,SvMM即SvMOOM亦即SvuYY)(,SvuYY)(此即为柱面的矢量式参数方程。又若将上述方程用分量表达,即: ZYXvuzuyuxzyx,)(),(),(,ZvuzzYvuyyXvuxx)()()(此即为柱面的坐标式参数方程。 4.2 锥面1、求顶点在原点,准线为01, 0122zyzx的锥面方程。解:设为锥面上任一点),(zyxM,过M与O的直线为:zZyYxX设其与准线交于),(000ZYX,即存在t,使ztZytYxtX000,,将它们代入准线方程,并消去参数t,得:0
5、)()(222yzyzzx即:0222zyx此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为)2,1,3(,准线为0, 1222zyxzyx,试求它的方程。解:设),(zyxM为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:221133zZyYxX令它与准线交于),(000ZYX,即存在t,使tzZtyYtxX)2(2) !(1)3(3000将它们代入准线方程,并消去t得:044441026753222zyxxzyzxyzyx此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解: (这里仅求、卦限内的圆锥面,其余类推)圆锥的轴l与kji,等角,故l的方向数为1:1:1与l垂直的平面之一令为1zyx平
6、面1zyx在所求的锥面的交线为一圆, 该圆上已知三点) 1 ,0 ,0(),0 ,1 ,0(),0 ,0 ,1 (,该圆的圆心为)31,31,31(,故该圆的方程为:1)32()31()31()31(2222zyxzyx它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点),(zyxM,过M与顶点O的母线为:zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX,即存在t,使ztZytYxtX000,,将它们代入准线方程,并消去t得:0zxyzxy此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为)4, 2, 1 (,轴与平面022zyx垂直,且经过点) 1, 2, 3(的圆锥面的方程。解:轴线的方程为:142221zyx过
7、点) 1, 2, 3(且垂直于轴的平面为:0) 1()2(2)3(2zyx即:01122zyx该平面与轴的交点为)937,920,911(,它与) 1, 2, 3(的距离为:3116) 1937()2920()3911(222d要求圆锥面的准线为:011229116)937()920()911(222zyxzyx对锥面上任一点),(zyxM,过该点与顶点的母线为:442211zZyYxX令它与准线的交点为),(000ZYX,即存在t,使,) 1(10txX,)2(20tyYtzZ)4(40将它们代入准线方程,并消去t得:01299252516518525210412515122zyxzxyzx
8、yzyx6、已知锥面的准线为)(),(),()(uzuyuxu ,顶点A决定的径矢为0000,zyx,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:0( )(1)vuv 与000( )(1)( )(1)( )(1)xvx uv xyvy uv yzvz uv z式中,vu,为参数。证 明 : 对 锥 面 上 任 一 点),(zyxM, 令OM , 它 与 顶 点A的 连 线 交 准 线 于( ( ), ( ), ( )Mx uy uz u ,即OM( )u 。/AMAM ,且0AM (顶点不在准线上)AMvAM 即00( ( )vu 亦即0( )(1)vuv 此为锥面的矢量式参数方程。若将
9、矢量式参数方程用分量表示,即:000 , , ( ), ( ), ( )(1),x y zv x uy u z uvxyz000)1 ()()1 ()()1 ()(zvuvzzyvuvyyxvuvxx此为锥面的坐标式参数方程,vu,为参数。 4.3 旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:(1) ;111112xyz绕1112xyz 旋转(2) ;1211xyz 绕1112xyz 旋转(3)1133xyz绕z轴旋转;(4)空间曲线2221zxxy 绕z轴旋转。解: (1)设1111( ,)Mx y z是母线111112xyz上任一点,过1M的纬圆为:111222222111()()2()0(1)(1
10、)(1)(2)xxyyzzxyzxyz又1M在母线上。111111112xyz从(1)(3)消去111,x y z,得到:22255224444480 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面方程。(2)对母线上任一点1111( ,)Mx y z,过1M的纬圆为:111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)xxyyzzxyzxyz因1M在母线上,1111211xyz (3)从(1)(3)消去111,x y z,得到:2225523122424242446230 xyzxyyzxzxyz此为所求的旋转面的方程。(3)对母线上任一点1111( ,)Mx y z,过该点的纬圆为:
11、1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上,所以:1111133xyz(3)从(1)(3)消去111,x y z,得到:2229() 10690 xyzz此为所求的旋转面方程。(4)对母线上任一点1111( ,)Mx y z,过1M的纬圆为:1222222111(1)(2)zzxyzxyz又1M在母线上,所以2112211(1)1(2)zxxy从(1)(3)消去111,x y z,得到:221xy211101zzxz 即旋转面的方程为:221xy(01)z2、将直线01xyz绕z轴旋转,求这旋转面的方程,并就, 可能的值讨论这是什么曲面?解:先求旋转面的方程式:任取母线上一
12、点1111( ,)Mx y z,过1M的纬圆为:1222222111(1)(2)zzxyzxyz又11101xyz(3)pp)(),(),(uzuyuxMxyzO从(1)(3)消去111,x y z,得到:222220 xyz此即为所求旋转面的方程。当0,0时,旋转面为圆柱面(以z轴为轴) ;当0,0时,旋转面为圆锥面(以z轴为轴,顶点在原点) ;当,0 时,旋转面变为z轴;当0,0时,旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为( ),( ),( )xx uyy uzz u,将曲线绕z轴旋转,求旋转曲面的参数方程。解:如图,设( ( ), ( ), ( )M x uy uz u为上任一点
13、,则对经过M的纬圆上任一点( , , )p x y z,令p在xoy面上的射影为p令( ,)i op ,则opopp p ,而22( )( )opx uyu 2222( )( ) cos( )( )sinopx uyuix uyuj 而( )p pz u k 2222( )( ) cos( )( )sin( )x uyuix uyujz u k 此即为旋转面的矢量式参数方程,vu,为参数。其坐标式参数方程为:2222( )( )cos( )( )sin(02 )( )xx uy uyx uy uzz u4.4 椭球面1、做出平面20 x与椭球面22221494xyz的交线的图形。解:平面20
14、x与椭球面22221494xyz的交线为:zyxzx O2239442yzx,即22127342yzx椭图形为2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x 的距离的一半,试求此动点的轨迹。解:设动点( , , )M x y z,要求的轨迹为,则2222221( , , )(1)4344122M x y zxyzxxyz即:2221433xyz此即为的方程。3、由椭球面2222221xyzabc的中心(即原点) ,沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r,设定方向的方向余弦分别为, , ,试证:22222221rabc证明:沿定方向 , , 到曲面上一点,该点的坐标为,rrr 该点在曲面上
15、2222222221rrrabc即22222221rabc4、由椭球面2222221xyzabc的中心,引三条两两相互垂直的射线,分别交曲面123,p pp,设112233,opr opr opr,试证:222222123111111rrrabc证明:利用上题结果,有22222221(1,2,3)iiiiirabc其中,iii 是iop 的方向余弦。若将(1,2,3)iop i 所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴,则123, 是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦, 从而2221231, 同理,2221231,2221231所以,2222222221231231232222221232221111
16、11()()()111rrrabcabc即:222222123111111rrrabc5、一直线分别交坐标面,yoz zox xoy于三点, ,A B C,当直线变动时,直线上的三定点, ,A B C也分别在三个坐标面上变动,另外,直线上有第四点p,它与三点的距离分别为, ,a b c,当直线按照这样的规定(即保持, ,A B C分别在三坐标面上)变动,试求p点的轨迹。解:设112233(0,), (,0,),(,0)Ay zB xzC xy,则知:2 121331221,x zz yxyzzzz2 1211221(,0)x zz yCzzzz又设( , , )p x y z,,pAa pBb
17、 pCc 22221122222222222 1211221()()(1)()()(2)()()(3)xyyzzaxxyzzbx zz yxyzczzzz又p在AB的连线上,111121yyzzxxyzz(4)从(1)(4)消去1122,y z xz,得到2222221xyzabc此为点的轨迹方程。6、已知椭球面2222221()xyzcababc,试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。解:设要求的平面为:0yz它与椭球面的交线为:(*)22222210 xyzabcyz若(*)为圆,因(*)以原点为对称,故圆心在原点,所以圆的半径为a,从而交线上的点都在球面:2222xyza上即有:22222
18、222211 ()z azzabc亦即:2222222(1)0aazbc22222210aabc 即:22222(1)1aabc2222222acbcbazxyOzxyO2222baccba 满足要求的平面方程为:22220bacyzcba 4.5 双曲面1、画出以下双曲面的图形:(1)22211694xyz;(2)22211649xyz 解:图形如下:2、给定方程2221 (0)xyzABCABC试问当取异于, ,A B C的各种数值时,它表示怎样的曲面?解:对方程2221 (0)xyzABCABC(*)1、当A时, (*)不表示任何实图形;2、当AB时, (*)表示双叶双曲面;3、当BC时
19、, (*)表示单叶双曲面;4、当C时, (*)表示椭球面。3、 已知单叶双曲面2221494xyz, 试求平面的方程, 使这平面平行于yoz面 (或xoz面)且与曲面的交线是一对相交直线。解:设所求的平面为xk,则该平面与单叶双曲面的交线为:(*)2221494xyzxkxyzmlO),(11cyxA亦即2221944yzkxk 为使交线(*)为二相交直线,则须:2104k,即2k 所以,要求的平面方程为:2x 同理, 平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线, 则该平面为:3y 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x 的距离的两倍,试求这动点的轨迹。解:设动点(
20、, , )M x y z,所求轨迹为,则2222222( , , )(4)21(4)4(1)M x y zxyzxxyzx亦即:222141212xyz此为的轨迹方程。5、试求单叶双曲面22211645xyz与平面230 xz的交线对xoy平面的射影柱面。解:题中所设的交线为:22211645230 xyzxz从此方程中消去z,得到:2220241160 xyx此即为要求的射影柱面方程。6、设直线l与m为互不垂直的两条异面直线,C是l与m的公垂线的中点,,A B两点分别在直线l,m上滑动,且90ACB,试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。证明:以l,m的公垂线作为z轴,C作为坐标原点,再令x轴
21、与l,m的夹角均为,公垂线的长为2c,若设tg,则l,m的方程分别为:0:yxlzc0:yxmzc 令11( , )A x y c,22(,)B xyc,则有:11220,0yxyx又ACCB,所以:22222222211221212()()(2 )xycxycxxyyc亦即212120 x xy yc(2)又设( , , )M x y z为AB上任一点,则cczyyyyxxxx2121121(3)从(1)(3)中消去2211,yxyx,得:222222222)1 ()1 (czyx即:111222222222czcycx(4)l不垂直m,1(4)表示单叶双曲面,即AB的轨迹是一单叶双曲面。7
22、、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为:ctguzvubyvuaxsinseccossec与uczvbtguyvatguxsecsincos解:对方程:ctguzvubyvuaxsinseccossec消去参数vu,,有:1222222czbyax此即为单叶双曲面;又对方程:uczvbtguyvatguxsecsincos消去参数vu,,有:1222222czbyax此即为双叶双曲面方程。 4.6 抛物面1、已知椭圆抛物面的顶点在原点,对称面为xoz面与yoz面,且过点)6 , 2 , 1 (和) 1 , 1,31(,求这个椭圆抛物面的方程。解:据题意可设,要求的椭圆抛物面的方程为:z
23、byax22222令确定a与b)6 , 2 , 1 (和) 1 , 1,31(均在该曲面上。有:219112412222baba从而561,536122ba所以要求的椭圆抛物面的方程为:zyx25653622即:zyx5318222、适当选取坐标系,求下列轨迹的方程:(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹;(2) 与两给定的异面直线等距离的点的轨迹, 已知两异面直线间的距离为a2, 夹角为2。解: (1)取定平面为xoy面,过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴,则定点的坐标设为), 0 , 0(a,而定平面即为0z,设比值常数为c,并令所求的轨迹为,则点czazyxzyxM222)
24、(),(即02)1 (22222aazzcyx此为的方程。(2)取二异面直线的公垂线为轴,中点的坐标为原点;再取x轴,使其与二异面直线的夹角相等,则二异面直线的方程为:azxtgy0与azxtgy0设所求的轨迹为,则222222221110011100),(tgtgyxxaztgazytgtgyxxaztgazyzyxM即:22222222)()()()()()(yxtgazaztgyxtgazaztg经同解化简得:xyazcossin此即所要求的轨迹方程。3、画出下列方程所代表的图形:(1)19422zyx; (2)xyz ; (3)222zzyx4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形:(1
25、)6,1223 , 63 , 0, 0zyxyxyxzy(2); 1,22y,xzyx三坐标平面(3)1,21,2yxyzyx(4)1, 12222zyyx解:略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:221sincosuzvbuyvaux与uvzvubyvuax2)()(式中的vu,为参数。解:对方程221sincosuzvbuyvaux消去参数vu,得:zbyax22222这正是椭圆抛物面的方程。对方程uvzvubyvuax2)()(消去参数vu,得:zbyax22222这正是双曲抛物面的方程。 4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、 求下列直纹面的直母线族方程:(1)
26、0222zyx(2)axyz 解: (1)从原方程得:222yzx即:yyzxzx)(亦即:ytzxtyzxtzxyyzx)(为了避免取极限,将上方程写成:sytzxtyzxs)()((1)若将原方程变形为:222xzy,则可得到:uxzyvvxzyu)()((2)若令)(21stu,)(21stv,则(2)便是(1)原曲面的直母线族是(1) ,其中ts,不全为零。(2)原方程变形为:ayxz亦即:tayxztayxtz(1)由axyz得:saxsyz(2)(1) (2)即这原曲面的两组直母线族方程。2、 求下列直线族所成的曲面(式中的为参数)(1)0112zyx;(2)442442zyxzy
27、x解: (1)原方程等价于zyx2从此式中消去,得:yxz2此即为直母线(1)所形成的曲面。(2)从原方程中消去得:1416222zyx此即为(2)的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面zyx41622上,求平行于平面0423zyx的直母线。解:双曲抛物面zyx41622的两族直母线为:zyxuuyx)24(24及zyxvvyx)24(24第一族直母线的方向矢量为:, 1, 2u第二族直母线的方向矢量为:, 1 , 2v据题意,要求的直母线应满足:204232104232vvuu要求的直母线方程为:zyxyx24124及224224zyxyx4、试证单叶双曲面1222222czbyax的任意
28、一条直母线在xoy面上的射影,一定是其腰圆的切线。证明:单叶双曲面的腰圆为012222zbyax两直母线为:)1 (1)1 (byvczaxbyvczax它在xoy面内的射影为 :0)1(12zvvbyvvax(2)将(2)的第一式代入(1)的第一式得:44)1(1222byvvbyvv即:0)1()1(2)1(1222222vvyvvbyvvb上述方程的判别式为:0)1()1(4)1(42222222vvvvbvvb(2)与(1)相比,证毕。5、 求与两直线11236zyx与214283zyx相交, 而且与平面0532 yx平行的直线的轨迹。解:设动直线与二已知直线分别交于),(),(111
29、000zyxzyx,则11236000zyx,214283111zyx又动直线与平面0532 yx平行,所以,0)(3)(21010yyxx对动直线上任一点),(zyxM,有:010010010zzzzyyyyxxxx从(1)(4)消去111000,zyxzyx,得到:zyx449226、求与下列三条直线zyx1,zyx1与524132zyx都共面的直线所构成的曲面。解:动直线不可能同时平行于直线zyx1及直线zyx1不妨设其与第一条直线交于), 1 (p注), 1 (p与第二条直线的平面为:0)() 1(zyx过p与直线524132zyx的平面为0)() 1(3)(3) 1(zyxzyx动直
30、线的方程为:0)() 1(3)(3) 1(0)() 1(zyxzyxzyx从上式中消去参数,得:1222zyx此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线,并举一反例,说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明:单叶双曲面1222222czbyax的一族直母线为:)1 ()()1 ()(byuczaxvbyvczaxu过该族中一条直母线的平面为:0)1 ()()1 ()(byuczaxvtbyvczaxus即:0)1 ()()1 ()(bytuczaxtvbysvczaxsu(1)另一族直母线为:)1 ()()1 ()(bymc
31、zaxnbynczaxm过该族中一条直母线的平面为:0)1 ()()1 ()(bymczaxnlbynczaxmk即0)1 ()()1 ()(bymlczaxnlbyknczaxkm(2)对照(1) 、 (2)得,只要令vltnuksm,,得(2)便是(1)了亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线,同理,对v族的直母线也有类似性质。对双曲抛物面:zbyax22222其族直母线为:zbyaxuubyax)(2(*)取其中的一条(即取定u) ,显然平面ubyax2通过直母线(*) ,但该平面不通过v族直母线中的任何一条,这是因为:v族直母线zvbyaxwbyax)(的方向矢量为2,
32、1,1abvab而02201111ababvabba平面ubyax2不能通过v族中的任何直母线。8、试求单叶双曲面1222222czbyax上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。解:由于过单叶双曲面上每点仅有一条u母线和一条v母线,所以它的同族直母线不能相交,设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为:)1 ()()1 ()(bywczaxubyuczaxw)1 ()()1 ()(bytczaxvbyvczaxt将两方程化为标准式,得:)(22)(2)(22222222wucuwwuzbuwywuauwwuax)(2)(2)(2)(22222222tvcvttvazbvtytvavtvtax由此求出二直线的交点坐标为:utvwwtuvczutvwutvwbyutvwwtuvax)(,)(,)(又二直线垂直,0)(4)(22
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