常见统计分布及其特点

1、【附录一】常见分布汇总一、二项分布二项分布(BinomialDistribution),即重复n次的伯努利试验(BernoulliExperiment),用E表示随机试验的结果，如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=l-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是。二上)二(1-巧曲=b(k,p)(血二09199对，二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中入为np。通常当nM10,pW0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。2、特点期望和方差均为入。3、应用(固定速率出现的事物。)一一在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫

2、、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率入(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),aWxWb则称随机变量X服从a,b上的均匀分布，记为XUa,b。四、指数分布ExponentialDistribution1、概念x>0<0D.352、特点一一无记忆性（1）这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。EX=；DX=$（2）无记忆性当s,t±O时有P（Ts+t|T>t）=P（Ts）即，如果T是某一元件的寿命，已知元

3、件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。3、应用在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normaldistribution1、概念2(J2f2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础）中心极限定理：设从均值为卩、方差为。2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为卩、方差为o'2/n的正态分布。3、特点一一在总体的随机抽样中广泛存在。4、应用一一正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础定理一

4、：设XI，X2，X3.。Xn是来自正态总体N（卩，§2）的样本，则有样本均值XN（u，62/n）总体方差常常未知，用t分布较多六、x2卡方分布（与方差有关）chi-squaredistribution1、概念若n个相互独立的随机变量21、2、En，均服从标准正态分布（也称独立同Q心分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和匸1构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-squaredistribution）,其中参数n称为自由度【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来。用RSS/52，所得的变量就是标准正态分布，就服

5、从卡方分布。f竺土空f閨紆二倍叭-（0,otherwise.2、卡方分布的特点22（1）分布的均值为自由度n,记为E（：）=n。（这个容易证明）21（2）_分布的方差为2倍的自由度（2n），记为=2n。2j（3）如果互相独立，贝y：（独立可加减）服从廿分布，自由度门匸；服从厂分布，自由度为门匸3、图形特点l|g二<L|o,WK0X11n>21-EninA亠U.IUJ1II,m2M246Hin山34-rJT4、应用定理二，设XI,X2，X3.。Xn是来自正态总体N（卩，§2）的样本，则有样本均值XN（u，S2/n）（n1）S2（1、X2（n-1）§2（1）正态分布

6、以及卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验。七、t学生分布（用样本方差s来标准化）Student'st-distribution1、概念（适用于§2未知）【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n的正态分布。由于在实际工作中，往往0是未知的，常用s作为。的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布（u变换指把变量转换为标准正态分布）【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同2、特点1）与

7、标准正态分布曲线相比，自由度v越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=g时，t分布曲线为标准正态分布曲线。定理三：设XI，X2，X3.。Xn是来自正态总体N（卩，§2）的样本，则有样本均值XN（u，§2/n），S为样本方差X卩SA.nt(n-1)【注意】S是样本方差。中心极限定理说的是样本均值的方差。X八、F分布F-distribution1、概念F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一

8、统计量的分布2、特点(1) 它是一种非对称分布；(2) 它有两个自由度，即n1-1和n2-1,相应的分布记为卩(n1-1,n2-1),n1-1通常称为分子自由度，n2-1通常称为分母自由度；(3) F分布是一个以自由度：时丨一八和-J1为参数的分布族，不同的自由度决定了F分布的形状。才r(4) F分布的倒数性质：(5) 残差平方和之比通常与F分布有关。九、逻辑分布logistic(分类评定模型)最早应用最广的离散选择模型1、概念F(t)=11+e-te-1(1+e-t)2F(t)1-F(t)2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。Logistic分布由尺度和位置参数描

9、述oLogistic分布没有形状参数，也就是说其概率密度函数只有一个形状。下列图形显示了不同参数值对Logistic分布的效应。尺度参数的效应位置参数的效应十、伽马分布1、概念伽玛分布(GammaDistribution)是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数a称为形状参数(shapeparameter),B称为尺度参数(scaleparameter)。假设随机变量X为等到第a件事发生所需之等候时间，密度函数为f(zrAfa)=-za-le-Axfx>0.r(a)EX=aAfVar(x)=aA2.特征函数为申也二卩-if網.伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率