标准偏差与相对标准偏差公式

1、标准偏差数学表达式:711(1)S-标准偏差（）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式1标准偏差的理论计算公式l。令测得值丨与该量n设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为丨、丨、12真值X之差为真差占o,则有O=1-X1i我们定义标准偏差（也称标准差）o为lim.匸仏-X*由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差o的常用估计一贝塞尔公式来代表真值。理论上也证明，随着测量次数的增多，算由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值L(

2、L=11-1"1乩术平均值最接近真值，当:x时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值I与算术平均值丄之差一一剩余误差(也叫残差)V来代替真差o，即ii设一组等精度测量值为1、丨、I12n则'-L通过数学推导可得真差O与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当“X时，1-'，；-：X,可见贝塞尔公式与O的定义式(1)是完全一致的。应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差o的一个估计值。它不是总体标准偏差o。因此，我们称式(2)为标准偏差o的常用估计。为了强调这一点，我们将

3、o的估计值用“S”表示。于是，将式(2)改写为在求S时，为免去求算术平均值人的麻烦，经数学推导(过程从略)有即可。标准偏差o的无偏估计数理统计中定义S?为样本方差数学上已经证明S2是总体方差02的无偏估计。即在大量重复试验中，S2围绕02散布，它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差o的无偏估计，也就是说S和o之间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏差o的无偏估计值二为即s和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数，K值见表。1aaa计算K时用到a(n+1)二n(n)=1ai血值na21购'1,0424

4、20L013260L0M331.12848；1.036225L0105701.003641.0854閱.1,031730801.00325=1.0638101.Q281邂L0064901丿002861.050915L0180501.0051100L0025由表1知，当n>30时，'乂-。因此，当n>30时，式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=3050时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时，由于K值的a影响已不可忽略，宜用式(3')，求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将O的定义式(1)中的真值X

5、用算术平均值f.代替且当n有限时就得到式(4)适用于n>50时的情况，当n>50时,n和(nT)对计算结果的影响就很小了。标准偏差o的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得丨、山匚，且它们服从正态分布，则概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为S称为标准偏差o的无偏极差估计，d为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,32其值见表2ftAdi1仏|

6、L©21.414IJ280,8861203.73510.26831*32L6S30.591J213m'.0*26542.0002.0590.4861220.262i；2.2362326ii>301芒3.8580-25962.4X)?7.534243.8950,25772.6462.7&J1；仇370253,9310.25482惨I2.8470,3513014.G860245g:皿2.9700337354.2190.237103A623,0780:325404.3220.2311133173.17303154544150.2261214643.2580.30750

7、4.4980.222133.606:3J360.30010050250.199143.7423.4070,2942005.4950.182155,8733.4720.2884005,8820.17016J.0003.5320.283j5006.0610J65174.1233,5880,279TOO6,2890J5918194.24343593.6403.68902750.27110006.4940454由表2知，当nW15时YV；?,因此，标准偏差Q更粗略的估计值为还可以看出，当200WnW1000时，"二幻"因而又有显然,不需查表利用式(5')和(5")

8、了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出，式的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5WnW15时，式(5)不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。当n>10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组，先求出各组的极差R、"厂"气再由各组1极差求出极差平均值盘_+R?+Rk极差平均值"和总体标准偏差的关系为需指出，此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则，分2组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差a的平均误差估计平均误

9、差的定义为恤旳+畑+阳(证明从略)从而有5E；_dK|玄*価_1)式(6)就是佩特斯公式。用该公式估计6值，由于right|Vright|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例1对标称值R=<math>um<math>的一块粗糙度样块进行检定，顺次测得以下15个a数据:和um,试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。n解：1)先求平均值匚15x100L=160+12151017一8一14I12|9I17I4-4-10I4|4|3=1.6UI2715x1Q01.6L8(<math>/zm&

10、lt;math>)2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算,首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组,每组五个,见表3。表3=0-43因每组为5个数据，按n=5由表2查得故S3=-R=0.43x0.247=0.10621(<math>fim<math>)若按常用估计即贝塞尔公式式(2')，则11亍仏L)2=0-0962<math>fim<math>)若按无偏估计公式即式(3')计算，因n=15，由表1查得Ks=,则Si=Ks=1.018x0.0962=0.09793(<math><math>

11、)若按最大似然估计公式即式(4')计算，则=(<math>|jm<math>)若按平均误差估计公式即式(6),则=1.2533x=0.1017(<math><math>)现在用式(5')对以上计算进行校核S?=盘=x0.247=CJ.0637(<math>/im<math>)可见以上算得的s、s、s、s和s没有粗大误差。1234由以上计算结果可知<<<<即s<s<s<s<s2143可见，最大似然估计值最小，常用估计值s稍大，无偏估计值s又大，平均误差估计值s1

12、4再大，极差估计值s最大。纵观这几个值，它们相当接近，最大差值仅为um。从理论上讲，用3无偏估计值和常用估计比较合适，在本例中，它们仅相差umo可以相信，随着的增大，S、S、1S、S和S之间的差别会越来越小。234就本例而言，无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差um,这说明无偏极差估计是既可以31保证一定准确度计算又简便的一种好方法。JJG102-89表面粗糙度比较样块规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%17%,a标准偏差应在标称值的4%12%之间。已得本样块二产L产均在规定范围之内，故该样块合格。标准偏差与标准差的区别标准差(StandardDeviation)各数据偏离平均数的

13、距离(离均差)的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用o表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为分，B组的标准差为分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。标准偏差(StdDev,StandardDeviation)-统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些

14、值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。有人经常混用均方根误差(RMSE)与标准差(StandardDeviation)，实际上二者并不是一回事。1均方根误差均方根误差为了说明样本的离散程度。均方根误差(root-mean-squareerror)亦称标准误差，其定义为i=1,2,3,n。在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示：式中，n为测量次数；d为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计分布是正态分布，那么随机误差落在土o以内的概率为68%。2.标准差标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。标准差

15、也被称为标准偏差，或者实验标准差。均方根值也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而占空比为的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有。这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是100电阻，供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W，这相当于的直流电向100电阻供电所产生的功率。而50V直流电压向100电阻供电只能产生的250W的功率。对于电机与变压器而言，只要均方根电流不超过额

16、定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的，不会因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。均方根误差为了说明样本的离散程度。对于N1,.Nm，设N=(N1+.+Nm)/m;则均方根误差记作：t二sqrt(N八2N2)+.+(N八2Nm八2)/(m(m1)；比如两组样本：第一组有以下三个样本：3,4,5第二组有一下三个样本：2,4,6这两组的平均值都是4,但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小，均方差就是表示这个的。同样，方差、标准差(方差开根，因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。几

17、种典型平均值的求法(1)代表测量次数,(2)均方根平均值几何平均值(3)对数平均值(4)加权平均值(5)算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、xn为各次的测量值，n则算术平均值为相对标准方差的计算公式准确度精密度误差偏差绝对误差占二兀一圧或方二H-尹工忆一元:-!=1标准偏差（n>5）1B?_IA1L#V"I相对谣差5）"=忑代1CI0M卫P相对平均偏差fxloo%相对标准偏差=><100%准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用&表示。相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常

18、用百分数表示。绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。例：分析天平称量误差为,减重法需称2次，可能的最大误差为,为使称量相对误差小于%，至少应称量多少样品？解：£=1zkioo%=00002gxiaD%<o.i%戸尸ww>0.2g答：称量样品量应不小于0.2g。真值（U）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实