概率论与数理统计：方差的性质

1、方差的性质由于方差也是一种期望，由期望的性质，可得到方差的几条重要性质：性质1设C为常数，则D(C)=0.证明D(C)=E(C2)-E(C)2=C2-C2=0.性质2设X为随机变量，k为常数，则D(kX)=k2D(X)证明D(kX)=E(kX)2-E(kX)2=k2E(X2)-E(X)2=k2D(X).性M3设X与Y是两个随机变量，则D(X土Y)=D(X)+D(Y)土2EXE(X)Y-E(Y).特别地，(1) 对于常数C,D(X土C)=D(X).(2) 若X与Y相互独立，则D(X土Y)=D(X)+D(Y).(3) 若随机变量X,X,X相互独立，则有D(Ecx)=1LC2D(X),其中C.12n

2、iiiiii=li=1(i=1,2,n)为常数.试验证E(XY)=E(X)E(Y)，但X和Y是不独立的.证明D(X土Y)=E(X土Y)-E(X土Y)2=E(X-E(X)土(Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2±2EX-E(X)Y-E(Y)特别地，对于常数C,由于E(C)=C，则D(X±C)=D(X).(2)由于EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y),若x与Y相互独立，由数学期望的性质知E(XY)=E(X)E(Y),即上式右端为0

3、,于是D(X土Y)=D(X)+D(Y).(3)利用性质2及上述结论容易得证.，性质4D(X)=0的充分必要条件是存在常数C,使得PX=C=1.证明假设存在一个常数C，使得：PX=C=1，则E(X)=C，而且P(X-C)2=0=1，因而D(X)=E(X-C)2=0.反之，假设D(X)=0，即EX-E(X)2=0.若记Y=XE(X)2，则Y只取非负值，因其均值为0，从而只能是PY=0=1,也就是PX-E(X)2=0=1，取C=E(X)，则有P(X-C)2=0=1，因此PX=C=1.例4.35(二项分布)设随机变量Xb(n,p)，求D(X).解设X,X,X独立同分布，且12nPX=1=p，PX=0=

4、1-p，i=1,2,n，ii则X=X+X+Xb(n,p),12n由方差性质3知，D(X)=D(X+X+12+X)=nD(X)ni(i=1,2,n),D(X.)=p(1p),i=1,2,n，因此D(X)=np(l-p).例4.36设随机变量x和Y相互独立，且XN(720,302),YN(640,252),求Z=2X+Y的分布.解随机变量z服从正态分布，由于E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2x720+640=2080D(Z)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4x302+252=4225因而ZN(2080,4225)例4.37一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的

5、概率相应为0.1，0.2,0.3，假设各部件相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求数学期望E(X)和方差D(X)。解：1,先引入新随机变量X.=仁i0,第i个部件需要调整第i个部件无需调整则X=£X,X相互独立iii=1由X服从“0-1”分布，故E(X)=p，D(X)=p(1-p)，i=1,2,3，iiiiii即E(X)=0.1，D(X)=0.09，E(X)=0.2，D(X)=0.16，E(X)=0.3，11223D(X)=0.213故E(X)=E(X)+E(X)+E(X)=0.1+0.2+0.3=0.6123D(X)=D(X)+D(X)+D(X)=0.09+0.16+0.21=0.46123注利用性质来计算数学期望和方差往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。4.2.4随机变量的标准化设随机变量X具有数学期望E(X)=卩和方差D(X)=b2丰0，记X*=兰二匕,则有OE(X*)二丄E(X-卩)=丄E(X)-卩=0,X-U11D(X*)=D()=D(X-卩)=D(X)=1.GG2G2X*称为X的标准化随机变量,上述过程称随机变量X的标准化.例4.38已知随机变量XN(-3,1),YN(2,1)，且X与Y相互独立，设Z=X-2Y+7,求E(Z),D(Z).解：由题，E(X)-