数学人教版八年级下册数学活动——折纸做60度,30度,15度的角

1、第十八章数学活动折纸做60°，30°，15°的角学校：厦门集美中学授课人：秦冲一、教学目标知识与技能：1、能折出60°，30°，15°等特殊度数的角；2、通过折纸活动，进一步加深对轴对称、等腰三角形、等边三角形性质的理解；过程与方法：探索折60°、30°、15°的角，经历折叠、观察、猜想、论证、交流、反思等数学活动过程，发展学生对几何图形的认识，引导学生从不同角度寻找解决问题的策略，培养学生动手能力、创新能力、合作意识；情感与态度：在折纸活动中感受数学活动的乐趣，提高学生学习数学的兴趣，发展学生对几何图形

2、的认知能力、演绎推理能力，进一步提升数学活动经验。二、教学重难点重点：让学生学会折纸做60°，30°，15°等特殊角，培养学生的动手能力并在动手过程中培养学生思考探究的习惯，养成合作交流意识；难点：让学生通过自己的尝试和思考折出特殊度数的角。三、学情分析学生经过之前的学习，已经初步掌握了平行四边形相关的性质和推理论证方法。本节内容围绕特殊的平行四边形展开，通过折纸做特殊度数的角，再得到与之相应的一系列角度。本节课既有动手操作，又有一定的趣味性，还可以巩固学生对矩形性质、垂直平分线性质等知识的理解运用，有效锻炼学生的动手操作能力、观察发现能力以及推理论证能力。四、教

3、学过程（一）创设情境，引入新课折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程里要用到轴对称等数学知识。怎么样把生活中的折纸和数学结合起来呢？今天让我们一起探究，走进折纸的世界。（二）提出问题，深度思考课题引入：在没有圆规、三角尺、量角器的情况下，又需要作60°、30°、15°的角，怎么得到呢？本节课就来进行折纸活动，探索解决这一问题的途径。问题1利用一张矩形的纸片，怎么折出一个45°的角？（学生分组折叠，学生很快会折出来，引导学生分析，得出结论：对折可以平分一个角。）问题2用矩形纸片还能折出哪些度数的角？（从简单的折纸游戏出发，提高

4、学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°、67.5°、112.5°等度数的角。由此引导学生发现上面的结论。此过程也让学生感受折纸可以得到角的倍分关系。）小结：在折纸过程中，怎样得到不同度数的角？1、通过对折平分一个角；2、通过寻找余角或补角；3、通过角与角的组合；4、通过三角形或者四边形内角和。（三）动手操作，实验探究问题3你能试着用矩形纸片折出30°角吗？学生先折叠，交流、讨论，再由各小组代表展示本小组折叠方法。）（1）方法引导: 直接折30°角有难度，可以考虑间接获得。学生答：可以先用矩形纸片折60°角，通过互余关系得到3

5、0°角。 如何折60°角？引导学生思考：等边三角形中含有60°角。学生答：可以先折等边三角形！（2）方法窥探也就是如果折一个等边三角形，问题就解决了，怎样得到等边三角形呢？（3）突破重难点引导学生发现可以先折等腰三角形：折叠纸片，使点A落在矩形纸片内部某点N，折痕经过点B，得到折痕BM。由折叠的轴对称性可得AB=BN.因此ABN是等腰三角形。由得到的等腰三角形，怎样进一步折出等边三角形呢?（4）解决问题（安排小组交流，利用几何画板进行动态演示。）方法如右图所示：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使

6、折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到线段BN.问题4在右图中，AABN是等边三角形,（1）操作的依据是什么？MC（请学生作答：垂直平分线的性质定理）（2）观察所得的ZABM，ZMBN和ZNBC，这三个角有什么关系?（请学生思考并作答：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°）（四）引发猜想，理论验证（学生自主写出证明过程）已知：将矩形ABCD沿EF对折，折叠AB使点A落在折痕EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时，得到了线段BN.证明：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°.证明：连接AN.经折叠，AB=BN,ZABM=ZNBM,且EF垂直平分AB.MV点N在线段EF上，

7、AN=BN.AB=BN=AN，ABN是等边三角形.ZABN=60°,.ZNBC=30°,ZABM=ZNBM=30°,ZABM=ZNBM=ZNBC=30思考：还能用什么样的方法证明？DFB（问题设计的目的在于让学生对所学知识的清晰，能对知识间的练习融会贯通，体现数学学习的灵活性。（五）继续实践，探索新知（1）你能用矩形纸片折出15°角吗？（学生自主折叠，请同学回答折叠方法并展示。(2)60°,120°以及150°角呢？（请学生作答，其实答案就在折好图纸中。（3）还可以得到多少度的角？（引导学生小组讨论，得出结果）小结：发现通过

8、折30°角的过程，可以同时产生15°45°,60°,75°,105°,120°,135°,150°,165°角，这些角都是15°的倍数。（六）知识运用，解决问题（通过补充练习，锻炼学生对所学知识的灵活运用能力）O练1如图，面积为1的正方形ABCD中，M，N分别为AD、BC的中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ.那么，以PQ为边长的正方形的面积等于多少？解：连接BP，PC.正方形ABCD面积为1，则BC=1.经折叠，BP=BC=1，ZBPQ=ZC=90°

9、,ZPBQ=ZCBQ.点M，N分别为AD、BC的中点，.MN垂直平分BC.V点P在MN上，PB=PC.*.PB=PC=BP，BCP是等边三角形.ZPBC=60°，.ZPBQ=ZCBQ=30°.在RtPBQ中，设PQ=x，则BQ=2x，则x2+1=（2x匕，得x2=1,以PQ为边长的正方形的面积等于-.33练2：如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM.（1）当AN平分ZMAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；解：（1）经折叠，ZDAM=ZMAN,当AN平分ZMAB时，ZMAN=ZNAB,ZDA

10、M=ZMAN=ZNAB，又VZDAM+ZMAN+ZNAB=90°，.ZDAM=ZMAN=ZNAB=30°.在RtADM中，设DM=x，贝VAM=2x，贝Vx2+32二(2x)2x=p'3_，dm/3-(2)过点N作NE丄CD于点E,过点N作NF丄AB于点F，连接DN，交AM于点O.经折叠，AD=AN，MD=MN，故AM垂直平分DN.在R/ADM中,IADDM=2am'do,又AM"AD2+DM2.'32+12=，10DO=3.1010DN=巫5在RtAOD中,M0=7DM2DO2=V1Q在MND中，2DN.g2DME3312°EN=,°NF=3-=-,555S=-AB-NF=-x4x12=24.WN2255练3：如图，四边形ABCD为矩形纸片，把矩形纸片折叠，使点BI刚好落在CD边的中点E处，折痕为AF,若CD=6，求AF.解：经折叠，AE=AB，ZAEF=ZB=90°，ZBAF=ZEAF.VCD=6，E为CD中点，.ED=3，AE=AB=CD=6.在RtADE，中取AE中点H，连接DH.贝UDH=AH=EH=3.DH=EH=ED，.ADEH是等边三角形，ZDHE=60ZDAH+ZADH=60。且ZDAH=ZADH，.ZDAE