常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望%p力差01分布B(bp)P职二项分布B(n,p)P:=PX=i=l-p)(=12.)Yipqq泊松分布P(入)pz=PX=/=e'2(z=0丄23.)Xk均匀分布U(必)畑=丄或心亠等b_a加a+b2(i)212正态分布N2)-"呼f(x)=e2g3(-oo<x<+oo.cr>0)<2710K指数分布E(X)z2x.x>0/(x)=05x<0121尹，分布，Z2(w)兀耳湘互独立，且都服从标准正态分布N(0：l)宀/+/+丈n2w分布，3YX-N(0J)Yx2(n)t=-=0宀心)H2概率与数理

2、统计重点摘要Xu1、正态分布的计算：F(x)=P(X<x)=O()。o2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Y=f(X)的概率密度：f(y)=fx(x)h(y)|h'(y)|。(参见P6672)3、分布函数F(x，y)=J"J，f(u,v)dudv具有以下基本性质：gg、是变量x,y的非降函数；(2)、0<F(x,y)<1，对于任意固定的x,y有：F(g,y)=F(x,g)=0；、F(x,y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(x,y),(x,y),x<x,y<y，有下述不等式成立：11221212F(x,y)F(x,y

3、)F(x,y)+F(x,y)>0221221114、一个重要的分布函数：F(x,y)=(+arctan)(+arctan)的概率密度为22223f(x,y)=62(x2+4)(y2+9)5、二维随机变量的边缘分布：=J+g边缘概率密度：XYg=J+gf(x,y)dyf(x,y)dxg边缘分布函数：F(x)=F(x,+g)=XJxJ+gf(u,y)dyduFY(y)=F(+g,y)=gygJ+gf(x,v)dxdvgg二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性：若F(x，y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X,Y相互独立。简称X与Y独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度

4、：f(z)二n”f(x)f(z-x)dx=i+xZ-”XY-”YX8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z=aX+bYN(a卩+bp,a2Q2+b2Q2)。12129、期望的性质：(3)、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；、若X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。10、方差：D(X)=E(X2)-(E(X)2。若X，Y不相关，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)，否则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)，若X，Y独立，则Cov(X,Y)=0，

5、此时称：X与Y不相关。12、相关系数p=Cov(X,Y)=Cov(X,Y)相关系数：pxy=时初乙叽DY)'Pxy<1，当且仅当X与Y存在线性关系时|Pxy1,当b>0;=1，且PXYT-1,当b<0。13、k阶原点矩：vk=E(Xk)，k阶中心矩：卩k=E(X-E(X)k。14、切比雪夫不等式：P勺X-E(X)|>e<DX),或P勺X-E(X)|<e<£21-。贝努利大数定律：limP£2nt0p<8»=1。15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因Pn工1i=1X-|L1<£)>1-

6、G2，所以limP2“toXp<£>=1。16、独立同分布序列的中心极限定理：(1) 、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Z=£X的分布近似于正态分布N(2)。nii=111£np1_nnj2q2(2) 、对于X,X，X的平均值X=一乙X，有E(X)=乙E(X)=p，D(X)=£D(X)=，即独立同分布的随机12nnininn2in2ni=1i=1i=1C2变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布N(卩,)n(3)、由上可知：limPa<Z<b=O(b)一(a)nPa<Z<b(b)一(a)。nnns17、棣莫弗一拉

7、普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意x,limPm-np苛<xi=其中q=1一p。(1)、当n充分大时，m近似服从正态分布，N(np,npq)。mpq(2)、当n充分大时，一近似服从正态分布，N(p,)。nn18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间2已知x一H厂u=寸nx一u=.,x+u亠VnJn222未知t=X一卩亦sssx一t(n一1),x+1(n一1)yjn亠jn22C2卩未知(n一1)s2X2=2(n一1)s2(n一1)s2X2(n1)'X2(n1)da2X卩一卩122=212未知+(X一y)_(卩一卩)/nnt=112sVn+nw*12其中s2=("1-1)S12+(n2-D叮wn+n一112(xy)土t(n+n一2)sJ丄+丄a12