CH2第3节随机变量的分布函数

1、第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义随机变量分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质小结小结一、分布函数的定义一、分布函数的定义 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的,(x概率概率.xoxXX 设设 X 是一个是一个 r.v，称称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数 , 记作记作 F (x) .(1) 在分布函数的定义中在分布函数的定义中, X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量. (2) F(x) 是是r.v X取值

2、不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3) 对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox XX XX 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(xoxXX当当 x0 时时

3、， X x = ， 故故 F(x) =0例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解0 x12x x XXXkp0121 31 61 2求求 X 的分布函数的分布函数 F (x) .当当 1 x 2 时时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121当当 x 2 时时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 XxxX故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxx

4、xF31211202161OOO1)(xF的分布函数图的分布函数图xy设离散型设离散型 r .v X 的分布律是的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即即F(x) 是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.x则其分布函数则其分布函数二、分布函数的性质二、分布函数的性质 ,上上是是一一个个不不减减函函数数在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即对对 21F xF x 1x2xox XX 120P xXx XX 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v

5、 X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函是鉴别一个函数是否是某数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.(3) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim00 xFxFxx()F limxF x limxF x()F 0 1 (2) 0( )1F x且且试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.例例2 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解解 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2不满

6、足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不能是也不能是r.v 的分布函数的分布函数.或者或者0)(lim)(xFFx例例3 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是是不不可可能能事事件件xXP ,20时时当当 x.,02是是常常数数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP

7、因因而而; 0)( xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 ., 0, 20,2)(其其它它若若记记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上上的的积积分分在在区区间间恰恰是是非非负负函函数数xtfxF .为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不两类随机变量的分布函数图形的特点不一样一样. 在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数在这一

8、节中，我们学习了随机变量的分布函数 , 以及分布函数的性质以及分布函数的性质.练习题练习题一一. 设设在在 15 只只同同类类型型零零件件中中有有 3 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽样样，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只数数， （1）求求 X 的的分分布布函函数数， （2）画画出出分分布布函函数数的的图图形形。二二. 一一袋袋中中有有 6 只只乒乒乓乓球球，编编号号为为 1、2、3、4、5、6，在在其其中中同同时时取取三三只只，以以 X 表表示示取取出出的的三三只只球球中中的的最最小小号号码码，写写出出随随机机变变量量 X

9、的的分分布布律律及及分分布布函函数数。解：解：2 , 1 , 0 XX的所有可能取值为：的所有可能取值为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 一一. 设设在在 15 只只同同类类型型零零件件中中有有 2 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽样样，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只数数， （1）求求 X 的的分分布布函函数数， （2）画画出出分分布布函函数数的的图图形形。F(x) = P(X x) 0 XP3522 1 XP3512 2 XP351 ,0时时当当 x)(xXPxF 0 ,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP3522 ,21时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP3534 ,2时时当当 x1)( xF故故 2, 121,353410,35220, 0)(xxxxxF二二. 一一袋袋中中有有 6 只只乒乒乓乓球球，编编号号为为 1、2、3、4、5、6，在在其其中中同同时时取取三三只只，以以 X 表表示示取取出出的的三三只只球球中中的的最最小小号号码码，写写出出随随机机变变量量 X 的的分分布布律律及及分分布布函函数数。解：解：4 , 3 , 2 , 1 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：1 XP3625CC