三角函数的图象与性质(1)

1、高一数学组高一数学组 倪杰倪杰2022年5月6日星期五4xOyy=sinxy=cosx222O下面我们借助正弦线下面我们借助正弦线(几何法几何法)来画出来画出y=sinx在在0，2上的图象上的图象. 首先，我们来作坐标为首先，我们来作坐标为(x0，sinx0)的点的点S，不，不妨设妨设x00，如图所示，在单位圆中设如图所示，在单位圆中设AP的长为的长为x0(即即AOP= x0)，则则MP= sinx0，所以点，所以点S (x0，sinx0) 是以是以AP的长为横坐标，正弦线的长为横坐标，正弦线MP 的数量的数量为纵坐标的点为纵坐标的点. S (x0，sinx0)My-x1-12O1.4.1 正

2、弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像PA 为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象出它们的图象.3 知道如何作出知道如何作出y=sinx的图象的一个点，就可以的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应于于 的角及相应的正弦线的角及相应的正弦线, 相应地相应地,把把x轴上从轴上从0到到2这一段分成这一段分成12等份，把角等份，把角x的正弦的正弦线向右平移，使它的起点与线向右平移，使它的起点与x轴上表示数轴上表示数x的点重的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既合，

3、再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数得到正弦函数y=sinx在在0，2区间上的图象，如区间上的图象，如图所示图所示. 11 . 6 3 26， ， ，-111oyxA O2232链接链接4 最后我们只要将函数最后我们只要将函数y=sinx， x 0，2的的图象向左、右平移图象向左、右平移(每次每次2个单位个单位)，就可以得到正就可以得到正弦函数弦函数y=sinx， xR的图象的图象，如图所示如图所示. 正弦函数的图象叫做正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve).正弦曲线正弦曲线-yxO1-1246-2-4-6 以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也以上是借助正弦

4、线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线.yxO1-124-235 用描点法用描点法(代数法代数法)作出正弦函数在作出正弦函数在0，2上的上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象图象，然后由周期性就可以得到整个图象.x02y=sinx010-10232(1) 列表列表(2) 描点描点(3) 连线连线-232-xy1-1O2(五点法五点法) 由上图可以看出，函数由上图可以看出，函数y=sinx，x0，2的图象上起着关键作用的点有以下五个的图象上起着关键作用的点有以下五个:(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)， (2 ，0

5、)2326 观察正弦和余弦曲线观察正弦和余弦曲线(如下图如下图) 的形状和位置的形状和位置,说出它们的异同点，说出它们的异同点，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与与y=1之间之间. 但它们的位置不同，正弦曲线交但它们的位置不同，正弦曲线交y轴轴于原点，余弦曲线交于原点，余弦曲线交y轴于点轴于点(0，1).由由cox=sin(x+ )，可知，可知y=cosx图象向左平移图象向左平移 个单个单位得到位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线 .222y=cosx图象的最高点图象的最高点(

6、 0，1)，与，与x轴的交点轴的交点( ，0)， ( ，0), 图象的最低点图象的最低点(，1).327 事实上，描出五点后，函数事实上，描出五点后，函数y=sinx，x0，2的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常下找出这五个关键点求不高时，我们常常下找出这五个关键点，然后然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，今后，我们将经常使用这种今后，我们将经常使用这种“五点五点(画图画图)法法” 例例1 画出下列函数的简图：画出下列函数的简图： (1) y=1+sinx)； (2) y=cos

7、x x0，2 )-232-xy1-1O2-232-xy1-1O28x02x02 sin2x010 1032 例例2 用用“五点法五点法”画出下列函数的简图：画出下列函数的简图：y=sin2x x0，2 ) 描点画图，然后由周期性得整个图象描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示如图所示)24342yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx两图象有何关系？两图象有何关系？9练习练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与图象与正弦曲线正弦曲线的区别和联系的区别和联系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y=s

8、inxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的图象可由的图象可由正弦曲线正弦曲线向下平移向下平移1个单位个单位.10y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与与正弦曲线正弦曲线的区别和联系的区别和联系: (2) y=2sinx. y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标纵坐标变为原来的变为原来的2倍，横坐标不变倍，横坐标不变.112. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与与余弦曲线余弦曲线的区别和联系的区别

9、和联系: (1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).3y=1+cosx的图象可由的图象可由余弦曲线余弦曲线向上平移向上平移1个单位个单位.可由可由余弦曲线余弦曲线上每一点向左平移上每一点向左平移 个单位得到个单位得到.3y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )33xyO2-2112周期性的有关概念：周期性的有关概念：那么函数那么函数f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数 (periodic function)，非零常数非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期(period). 一般地对于函数一般地对于函数f(x)，如果存在如果存在

10、一个非零常数一个非零常数T，使得定义域内的，使得定义域内的每一个每一个x值，都满足值，都满足f(x+T)= f(x)最小正周期：最小正周期：对一个周期函数对一个周期函数f(x)的所有周期中存的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期数的最小正周期.正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (kz且且k0) 都是它们的周期，它们最小的正周期都是都是它们的周期，它们最小的正周期都是2;正切函数也是周期函数，其最小的正周期是正切函数也是周期函数，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦

11、函数、余弦函数的性质13说明说明: : 当函数对于当函数对于自变量的一切值自变量的一切值每增加或减少每增加或减少一个定值一个定值，函数值就重复出现时函数值就重复出现时，这个函数就叫这个函数就叫做周期函数做周期函数.设设f(x)是定义在实数集是定义在实数集 D上的函数上的函数，若存在一个若存在一个 常数常数T( T0)，具有下列性质具有下列性质: (1)对于对于任何的任何的 xD，有有(xT)D； (2)对于对于任何的任何的 xD，有有f(x+T)=f(x)成立，则成立，则f(x) 叫做周期函数叫做周期函数.若若函数函数f(x)不是当不是当x取定义域内的取定义域内的“每一个值每一个值”时时，都有

12、都有f(x+T)= f(x)成立，则成立，则T就不是就不是f(x)周期周期. 今后本书所说的周期，如果不加特别说明，今后本书所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小的正周期一般都是指函数的最小的正周期.14要重视要重视 “ T0”且为常数这一条件，且为常数这一条件， 若若T=0，则则f(x+T)=f(x)恒成立，函数值不变没有恒成立，函数值不变没有研究价值；若研究价值；若T为变数，则失去了周期的意义为变数，则失去了周期的意义.一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中其中A，为常数，且为常数，且A0，0)的周期的周期2T =若函数若函数y=f(x)的周期

13、为的周期为T，则，则y=Af(x+)的周期的周期为为 ，(其中其中A，为常数为常数, 且且A0，0)T|若在若在函数的定义域内至少能找到一个函数的定义域内至少能找到一个x ，使，使f(x+T)= f(x)不成立，我们就断然函数不成立，我们就断然函数f(x) 不是周期不是周期函数或函数或T不是函数不是函数f(x)的周期的周期.15y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定义域定义域值值 域域周期性周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx

14、16 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx 是是奇函数奇函数cos(x)= cosx y=cosx是偶函数是偶函数定义域关于定义域关于 原点对称原点对称y=sinx17 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx101012322增增区间为区间为 ， 其值从其值从1增至增至1.2 2 ，减区间为减区间为 ， 其值从其值从1增至增至 1.322，3+2k+2k(kz)22， +2k+2k(kz)22， 18 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=

15、cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx1010122 ？增增区间为区间为，0 ，其值从其值从1增至增至1.减区间为减区间为0 ， ，其值从其值从1增至增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)19 正弦、余弦函数的对称轴、对称中心正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx对称轴对称轴对称中心对称中心y=sinxy=cosx函数函数轴、中心轴、中心x =+kkz2，()x=kkz，（）k0（ ， ）k02（， ）20 x02cosx101012cosx20202232(1) 先用先用“五点法五点法”画一个周期

16、的图象，列表画一个周期的图象，列表: 例例1 用用“五点法五点法”画出下列函数的简图：画出下列函数的简图： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描点画图，然后由周期性得整个图象描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示如图所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx两图象有何关系？两图象有何关系？21 例例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合：的集合： (1) y=cos ；x3 解解 函数的函数的y=cos 的最大值为的最大值为1，x3 因为使因为使cosz取得最大值的取得最大值的z的集合为的集合

17、为: z|z=2k，kz，x3 令令z = ， 由于由于 =2k，得得 x= 6k.x3 所以，使函数所以，使函数 y=cos 取得最大值时自变量取得最大值时自变量x 的集的集 合为合为: z | z = 6k，kz.x3 练习练习 函数函数y=sinx 的值域是的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.2(x)63121322，312，B22 解解 函数的函数的y=2sin2x 的最大值为的最大值为2(1)=3， 因为使因为使sinz取得最小值的取得最小值的z的集合为的集合为: z|z=-+2k kz2， 令令z =2x，由于由于2x= +2k，得得2xk .4 所以，使函数所以

18、，使函数y=2sin2x 取得最小值时自变量取得最小值时自变量x 的集合为的集合为:x|xkkz.4 ， 例例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合：的集合： (2) y=2sin2x. 练习练习 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量求下列函数的最小值及取得最小值时自变量 x 的集合：的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cosx.3(1) x|x=+2k kz2，；(2) x|x=6k kz，；23例例3不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0 (1) sin( ) sin( ) ; (2

19、) cos( ) cos( ) 1810235174又又 y=sinx 在在 上是增函数，上是增函数，2 2 ，23233(2)cos()coscos555，3045，又又 y=cosx 在在0，上是减函数上是减函数210182 解解(1)sin()sin(1018）sin()sin()0.1810即 1717cos()coscos444，3coscos543coscos054 ，2317cos()cos()0.5424 (1) sin2500 sin2600 ; (2) cos cos158149练习练习1不求值，分别比较下列各组中两个三角函不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小数值

20、的大小: (1) sin2500 与与 sin2600 ; (2) cos 与与 cos158149练习练习2 利用函数的性质，比较下列各题中两个三利用函数的性质，比较下列各题中两个三角函数值的大小角函数值的大小: (1) sin103045与与 sin sin164030 ; (2) sin5080与与 sin1440 ; (3) cos7600与与 cos(7700)； (4) cos 与与 cos .47()444()9 (4) cos cos47()444().9(1)sin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)25解解 (1) y=2sin(x

21、 ) = 2sinx，例例4 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得3222232kxk，71212kxk，所以单调增区间为所以单调增区间为:12(kz).512kk， 函数在函数在 上单调递增上单调递增.32k2k kz22，（）函数在函数在 上单调递减，上单调递减，2k2k kz22，（）单调减区间为单调减区间为:7(kz).1212kk，26例例4 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得32222

22、32kxk，71212kxk，所以单调增区间为所以单调增区间为:12(kz).512kk，32k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，单调减区间为单调减区间为:7(kz).1212kk，解解 (2) 令令z=2x + ，函数函数y=sinz的单调增区间为的单调增区间为:3函数函数y=sinz的单调减区间为的单调减区间为:2732kx+2k2kx2k24244 ， 所以单调增区间为所以单调增区间为:32k2k 44+， +352kx+2k2kx2k24244，(3) y = sin(x + )；432k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，解解 (3) 令令z=x + ，函数函数y=sinz的单调增区间为的单调增区间为:4函数函数y=sinz的单调减区间为的单调减区间为:52k2k 44+， + 所以单调减区间为所以单调减区间为:281.了解正弦函数图象了解正弦函数图象( (代数描点法、几何描点代数描点法、几何描点法法) )、余弦函数图象、余弦函数图象( (代数描点