函数的奇偶性 (4)

1、观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|1偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxf 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有 ，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 )()(x

2、fxf有什么共同特征吗？你能发现两个函数图象的图象（下图），和观察函数xxfxxf1)()() 1 (1) 1()2(2)2() 3(3) 3(ffffff)1(1)1()2(21)2()3(31)3(ffffff2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有 ，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 )()(xfxfxoy3xy 4 4、如果一个函数、如果一个函数f(x)f(x)是奇函数或偶函数，那么是奇函数或偶函数，那么我们就说函数我们就说函数f(x)f(x)具有具有奇偶性奇偶性.3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇

3、、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若 为奇函数，则为奇函数，则 有成立有成立. . 若若 为偶函数，则为偶函数，则 有成立有成立. .)()(xfxf)()(xfxf)(xf)(xf1 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质；2.2.定义域关于原点对称定义域关于原点对称注意：注意： 图形特征例5、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解

4、：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断是否恒、再判断是否恒成立成立.)()()()(xfxfxfxf或4.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原

5、反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性图片性质创新提高ABDEA1B1C1D1E1CHOxy例2 已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x) 在y轴左边的图象。练习： 已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x) 在y轴左边的图象。OxyABCDEA1B1C1D1E1本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称既奇又偶函数 非奇非偶函数判断下列函数奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=5解:f(-x)=(-x)3+2(-x)