矩阵与行列式部分典型题精解

1、矩阵与行列式部分典型题精解矩阵与行列式部分典型题精解 一、客观题一、客观题 1 1、多项式多项式 中，中，x x4 4，x x3 3的系数的系数项和常数项分别为（项和常数项分别为（ ）。）。 1111234( )131143xxp xxxx（A A）-6-6，2 2，-6-6； （B B）-6-6，-2-2，6 6； （C C）-6-6，2 2，6 6； （D D）-6-6，-2-2，-6-6； 2 2、行列式行列式 的值为（的值为（ ） 2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd（A A）abcda

2、bcd； （B B）0 0； （C C）1 1； （D D）-1-1； 3 3、行列式行列式 的值为（的值为（ ），），其中其中 。 111sin2sin2sin2tgAtgBtgCABC2ABC（A A）tgA+tgB+tgCtgA+tgB+tgC；（；（B B）3 3；（；（C C）0 0；（；（D D）1 14 4、行列式行列式 的值为（的值为（ ）。）。 1111123414916182764（A A）1212；（；（B B）-16-16；（；（C C）1616；（；（D D）-12 -12 5 5、行列式行列式 （n2n2）的值为（的值为（ ）。）。 12231121nnnnn(A)

3、1(A)1；（；（B B）0 0；（；（C C）-1-1；（；（D D）2 2 6 6、行列式行列式 的值为（的值为（ ）。）。 30202175000202323（A A）-306-306；（；（B B）306306；（；（C C）316316；（；（D D）-316-316 7 7、（990203990203）记行列式）记行列式 为为f f（x x），则方程），则方程f f（x x）=0=0的根的个数为（的根的个数为（ ） 212322212223333245354435743xxxxxxxxxxxxxxxx（A A）1 1；（；（B B）2 2；（；（C C）3 3；（；（D D）4 4

4、 8 8、（960103960103）行列式）行列式 = =（ ） 1122334400000000abababbb（A A） ；（；（B B） ； 12341 2 3 4a a a abb b b12341 2 3 4a a a abb b b（C C） ；（；（D D） ； 121 2343 4()()a abba ab b141 4232 3()()a abba ab b9 9、（980303980303）行列式）行列式 = =（ ） 11101101101101111010、（920303920303）设）设A A是是m m阶方阵，阶方阵，B B是是n n阶方阵且阶方阵且 ,Aa,Bb

5、0,0ACB则则 （ ）。 C 1111、（890303890303）若齐次线性方程组）若齐次线性方程组 只有零解，则只有零解，则应满足（应满足（ ）。）。123123123000 xxxxxxxxx1212、行列式行列式 = =（ ） 1111111111111111xxxx1313、（910403910403）n n阶行列式阶行列式 = =（ ） abbba 1414、（960503960503）五阶行列式）五阶行列式 = =（ ） 111111111aaaaaaaaa1515、（970403970403）设）设n n阶方阵阶方阵A= A= ，则，则 = =（ ） 01111110 A16

6、16、（870403870403）（是非题）设）（是非题）设A A为为n n阶方阵，阶方阵，k k为任为任意常数，则意常数，则 。（ ） kAk A1717、（010403010403）设行列式）设行列式D= D= ，则，则第四行各元素代数余子式之和的值为第四行各元素代数余子式之和的值为（ ）。 30402222070053221818、（000403000403）设）设 ，方阵，方阵 ，n n为正整数，则为正整数，则 （ ） (1,0, 1)TTAnkEA1919、设设 是是s sr r矩阵，矩阵， 是是r rs s矩阵，矩阵，如果如果BABA= =I Ir r，则必有，则必有（ ） ijA

7、aijBb（A A）rsrs；(B)rs(B)rs；(C)rs(C)rs；(D)rs (D)rs 2020、（890303890303）A A、B B同为同为n n阶方阵，则（阶方阵，则（ ）成立。）成立。 （A A） ； （B B）ABAB+ +BABA； （C C） ； （D D） ABABABBA111()ABAB2121、（、（950103950103）设）设 ， ， 111213212223313233aaaAaaaaaa212223111213113112321333aaaBaaaaaaaaa12010100100 ,010 ,001101PP 则则（ ）成立。成立。 （A A）

8、；（；（B B） ； （C C） ；（；（D D） ； 12APPB2 1AP PB12PP AB21P PAB二、非客观题二、非客观题1 1、（利用高等数学求解行列式）（利用高等数学求解行列式）设设n n阶行列式阶行列式detAdetA的元的元素素a aijij都是变数都是变数t t的可微函数，试证明行列式的微分可作如下计算：的可微函数，试证明行列式的微分可作如下计算：12,1(det)(1)detdetdet( )(det)ninijiji jdAAAAdtAAidatdAAdtdt其中为对 的第 行求导,而其余行不变所得到的方阵(i=1,2,n)(2)证明证明：（：（1 1）由行列式的定

9、义）由行列式的定义 121212()12det(1)( )( )( )nnnj jjjjnjj jjAat atat于是有于是有 121212()12(d e t)(1)( )( )( )nnnjjjjjn jjjjdAatatatd t121212()121(1)( )( )( )( )ninnnj jjjjijnjj jjiat atatat12112()111(1)( )( )ninnnjjjjijn jijjjniiatataA注：这里用微积分中一元函数求导的性质：注：这里用微积分中一元函数求导的性质： ( )( )( )( ), ( )( )( ) ( )( )( )f tg tf

10、tg tf t g tf t g tf t g t（2 2）把）把A Ai i按按i i行展开有：行展开有： 11( )1( )( )( )niiiijijininij tijjAat Aat Aat AaA故故 1,1(d e t)( )nniijijiijdAAatAd t2 2、( (用五种方法）用五种方法）计算计算n n阶行列式的值阶行列式的值 nxaaaxaaaaax 解法一（解法一（降阶法）降阶法）：先用：先用第第1 1行的（行的（-1-1）倍加到各行上去）倍加到各行上去，12,3,inRRin1(1) ()nxna xa000000 xaaaxxaaxxa 12 ,3 ,jCCj

11、n (1)000000 xnaaax ax a 然后再然后再把第把第j j列（列（j=2j=2，nn）加到第）加到第1 1列上去列上去，即，即解法二解法二（加边法）：（加边法）：即根据行列式的行展开表达式，我们可以在原有行列式的基即根据行列式的行展开表达式，我们可以在原有行列式的基础上增加一行和一列，使其变为础上增加一行和一列，使其变为n+1n+1阶行列式，于是：阶行列式，于是： 12,3,111101000000000100000iRRninnaaaaaxaaxaaxxaxaaxxa1()2 ,3 ,1100100100iaRRxainanxaxaxa 1(1) ()nxna xa解法三解法

12、三（分项找递推公式法）（分项找递推公式法）：即类似于级数理论中找：即类似于级数理论中找 的关系式。由的关系式。由行列式的特点，把第一列写成两项和的形式，然后按第行列式的特点，把第一列写成两项和的形式，然后按第1 1列拆开成两个行列式，列拆开成两个行列式，于是有于是有 1nn与00nnnxaaaaaaxaaxaaaaxaaax等号右边的第一个行列式的第等号右边的第一个行列式的第1 1列除（列除（1 1，1 1）元外全为零，而（）元外全为零，而（1 1，1 1）元的余子）元的余子式是一个与原行列式完全相同的行列式，故其值为式是一个与原行列式完全相同的行列式，故其值为 ，等号右边第二个，等号右边第二

13、个行列式把第行列式把第1 1行乘于（行乘于（-1-1）后加到第）后加到第i i行（行（i=2i=2，3 3，nn）上去，除对角线外全是）上去，除对角线外全是0 0，即即 1()nxa12000()000nnaaxaaxaxa故得到递推公式：故得到递推公式： 11()()nnnxaa xa 按此递推公式继续做下去，有按此递推公式继续做下去，有 21221222211()()()()()(2) ()()()(2) ()(1) ()nnnnnnnnnxaxaa xaa xaxana xaxaxanxna xaxaa解法四解法四（待定系数法）（待定系数法）：由已知，知：由已知，知 是一个是一个x的多项

14、式，记为的多项式，记为 。 是是一个实系数多项式，故其在复数域中有一个实系数多项式，故其在复数域中有n个根，设为个根，设为 ，即有，即有 。 n( )f x( )f x12,nxxx12( )()()()nf xxxxxxx显然， ( )0(0);( (1) )0(0)f axafna nn当时,又当x=-(n-1)a时故 ( )(),(1) .f xxaxna中有因式再利用行列式的微商，知再利用行列式的微商，知 说明说明a至少为二重根，进一步计算可知：至少为二重根，进一步计算可知： ( )0,xafx(2)( )0,( )0nx ax afxfx故故a a是（是（n-1n-1）重根。）重根。 于是知于是知 1( )()(1) nnf xxaxna