2019学年高二数学北师大版选修1-2学案：4.2复数的四则运算

1、复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法-学习目标导航-1.理解共轭复数的概念.(重点)2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)基础初探教材整理1复数的加法与减法阅读教材P77“例1”以上部分，完成下列问题.1.复数的加法设a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意两个复数，定义复数的加法如下:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2.复数的减法设a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意两个复数，定义复数的减法如下:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.- 休验 q11复数Z1=2i,z2=22i，贝U Z1+z2等于()【答

2、案】C教材整理2复数的乘法与除法阅读教材P78“练习”以下P80,完成下列问题.阶段1认知颇习质礎3iZ1+Z2=2+2+5i.A.0【解析】1.复数的乘法法则设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，贝Uziz2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数zi,Z2,Z3C,有交换律Ziz2=Z2_zi结合律(ziz2) Z3=zi(z2z3)乘法对加法的分配律zi(z2+23)=ziz+zlz33共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数复数z的共轭复数用z来表示，即z=a+bi，贝Uz=ab

3、i.4.复数的除法法则zia+bi ac+bd bcad设zi=a+bi,石c+di(c+di半0)，则z2二c+i二?i.-徽休验-(1+i)2谿=-【解析】V(1+i)2-齐2j亨一5+寮314【答案】5+等质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2: _解惑：_疑问3： _解惑：_阶段2小组合作型C.iD. iIII杳擁*复数的加法与减法运算114 3例(i)3+2i+(2D32i =_；(2)已知复数z满足z+13i=52i，求z;(3)已知复数z满足|z|+z=1+3i，求乙【精彩点拨】(1)根据复数的加法与减法法则计算.设z=a+bi(

4、a,bR),根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移 项求解.(3)设z=x+yi(x,yR)，则|z匸,x2+y2,再根据复数相等求解.11431413【自主解答】(1) 3+2i+(2i)32i=3+23+21+2i【答案】1+i(2)法一：设z=x+yi(x，yR)，因为z+13i=52i，所以x+yi+(13i)=52i，即x+1=5且y3= 2，解得x=4，y=1，所以z=4+i.法二：因为z+13i=52i，所以z=(52i)(13i)=4+i.(3)设z=x+yi(x，yR)，则|z|=;x2+y2，又|z|+z=1+3i，所以x2+y2+x+x= 4，解得所以z= 4+3i

5、.y=3，I -1.复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z=a+bi(a，bR).I-再练一题1. (1)复数(1i)(2+i)+3i等于()类型1yi=1+3i，由复数相等得,x2+y2+x=1，y=3，I【解析】(1i)-(2+i)+3i=(12)+(-i-i+3i)= 1+i.故选A.【答案】A已知|z匸3,且z+3i是纯虚数，则z=_.【解析】 设z=x+yi(x,yR),.：x2+y2=3，且z+3i=x+yi+3i=x+x=0,(y+

6、3)i是纯虚数，贝Uc cy+3工0,由可得y=3.二z=3i.【答案】3iIII杳擁*复数的乘法与除法运算例 已知复数zi=1+i,z2=3-2i.试计算：(1) zi和z1;(2) z1勺2和Z2临1.【精彩点拨】按照复数的乘法和除法法则进行.【自主解答】(1)Z1z2=3-2i+3i-2i2=5+i. z1=(1+i)22=(2i)2=4i2= 4.1+i 3+2i 1+5i 15=+i3-2i 3+2i 1313+13i5-12i 1-i1+i 1-i717i7 17亍名师I1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.3

7、常用公式11+i1i(1)1_ i；口_i；市 _L1+i(2)z1切二3二I再练一题2.满足=i(i为虚数单位)的复数z=()A.1+1i11.i22i若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位)，则|z|=()A.1B.2C. , 2D.：3【解析】z+i(1)z_i，z+i_zi，.i_z(i1).-丄-i1i_1 _1 1.z_i1_ 1+i1i_亍_22i.2i 2i 1i .(2)-z(1+i)_2i，z_1+i_2_1+i，|z|_j12+12_2.【答案】(1)BC探究共研型III侏合峯共轭复数的应用探究1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数 吗？【提示

8、】 若z_a+bi(a,bR),贝U z_abi，则z+z_2aR.因此，和一 定是实数；而zz_2bi.当b_0时，两共轭复数的差是实数，而当bM0时，两 共轭复数的差是纯虚数.探究2若Z1与z2是共轭复数，则|Z1|与|z2|之间有什么关系？【提示】|Z1|_|z2|.例 已知zC，z为z的共轭复数，若z -z3i z_1+3i，求乙【精彩点拨】 设z_a+bi(a，bR)，则z_abi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【自主解答】 设z_a+bi(a，bR)，则7_abi，(a，bR)，11.iC.廉究点A. 3+iB. 1+3i由题意得(a+bi)(a

9、bi)3i(abi)=1+3i, 即a2+b23b3ai1+3i,1.设Z12+i,Z215i，则Z1+Z2I为()A. .5+26B.5C.25D.37【解析】|Z1+Z2|1(2+i)+(15i)|34i|32+ 425.【答案】B2.已知i是虚数单位，则(一1+i)(2i)()则有a2+b23b1,3a3,解得a1,a1,b3.所以z 1或z 1+3i.再练一题3已知复数Z1(1+i)(1+bi)，Z2a+2i1i,其中a,bR.若Z1与z2互为共轭复数，求a,b的值.【解】Z1(1+i)(1+bi) 1bi+ib(b1)+(1b)i,a+2i a+2i 1+i a+ai+2i2 a2

10、a+2,1i 1i 1+i22+2i,由于Z1和Z2互为共轭复数，所以有b1解得a 2,构建体系学业分层测评(十三)C. 3+3iD. 1+i【解析】(1+i)(2i)二1+3i.【答案】B3._设复数zi=1+i,72=x+ 2i(xR),若ziz2R,贝Ux =_.【解析】TZ1=1+i,z2=x+2i(xR), Z1Z2=(1+i)(x+2i)=(x2)+(x+2)i.TZ1Z2R,.x+2=0，即卩x= 2.【答案】224._若=a+bi(i为虚数单位，a,bR)，则a+b =_ .1i22 1+i【解析】 因为-r= : . .=1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,1i

11、 1i 1+i所以a+b=2.【答案】25.已知复数z满足|z|=;5,且(12i)z是实数，求z .【解】 设z=a+bi(a,bR),则(12i)z=(12i) (a+bi)=(a+2b)+(b2a)i,又因为(12i)z是实数，所以b2a=0, 即卩b=2a,又|z=5,所以a2+b2=5, 解得a= ,b=吃， z=1+2i或12i, 7=12i或1+2i, 1 = 1 2i).我还有这些不足：(1)_我的课下提升方案：(1)_（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1.实数x,y满足zi=y+xi,Z2=yix,且zi-z2=2,则xy的值是()A.1B.2C.2D. 1解析ziz2

12、=y+xi(yix)=x+y+(xy)i=2,x+y=2,-x=y = 1.xy=0,xy=1.【答案】A2.已知复数z+3i3=33i，贝U z=()A.0B.6iC.6D.66i【解析】Tz+3i3=33i,z=(33i)(3i3)=66i.【答案】D3.复数乙二中-ai,aR，且2=申，则a的值为()A.1B.21 1C.2D.4【解析】 由乙二中一ai,aR，得 =于22xxai+(ai)2=3a2. 3【答案】Cai，因为=孕，所以解得a=舟舟. .4.A,B分别是复数Z1,z2在复平面内对应的点，0是原点，若|z1+Z2|=0Z2|,则三角形AOB定是（）B直角三角形D等腰直角三角

13、形则|zi+Z2|=|OA+OBI,|ziZ2|=|0A-OBI,依题意有|OA+OB|=|OA-OB|.以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形.AOB是直角三角形.【答案】BC.1_3+i_ -仰+i_i 1-V3iz_1-3i1 2_1-,3i2_1-, 3i21_i 1+苗 _ 亚+i1-；3i_4_-4+4【解析】复数zi对应向量OA,复数Z2对应向量OB.5已知复数z=1-：3i2z是z的共轭复数，则Zz等于（）A等腰三角形【解析】4【答案】A、填空题z_-446.复数1+2i3-4i2一的值是【解析】1+2i2_-3+4i3-4i_3-4i【答案】-17.已知a+2i_b+i（a

14、,bR）,其中i为虚数单位，则a+b_【解析】Va+2ib+i, a+2i=(b+i)i= 1+bi,二a=1, b=2,二a+b=1.【答案】18已知复数z满足z+|z匸2+ &,则复数z=【解】 法一：设z=a+bi(a,bR).则|z|=a2+b2,代入方程得a+bi+a2+b2=2+8i.-z= 15+&.法二：原式可化为z=2|zi+8i,R , 2|z|是z的实部， 于是|z|= 一2|z|2+82, 即|z|2=684|z|+ 园2,二园=17.代入z=2|z|+&,得z=15+&.【答案】15+ &三、解答题9.在复平面内A,B,C三点对

15、应的复数分别为1,2+i, 1+2i.（1）求AB,BC,AC对应的复数；判断ABC的形状；求求ABC的面积.【解】（1）AB对应的复数为2+i1=1+i,BC对应的复数为1+2i（2+i）=3+i,AC对应的复数为一1+2i1= 2+2i. V|AB=. 2,|BC|=. 10,AC|=8=2 2,|ABf+ |AC|2=|BC|2,AABC为直角三角形.a+a2+b2=2,b=8,a=15解得b=8,1(3)SMBC=2X.2X2 2= 2.10.已知复数z满足z=(1+3i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w=z+ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实 数a的取值范围.【解】(1)z=1+i+3i+34= 2+4i,所以复数z的共轭复数为一24i.(2)w= 2+(4+a)i，复数w对应向量为(一2,4+a)，其模为-.4+4+a3 4 5=20+8a+a2又复数z所对应向量为(一2,4)，其模为2,5由复数w对应向量的模不大于复 数z所对应向量的模，得20+8a+a220,a2+8a0,a(a+8)0,所以实数a的取值范围是一8a2 2x+2y=2 23=4 2,3当且仅当x=2y=3时，2x+4y取得最小值4,2.【答案】C7+ai3若复数z= 丁皂的实部为3,则z的虚部为_:2i7+ai 7+ai 2+i2i=2i 2+i14