(完整版)复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、ei02,则复变函数复习重点复变函数复习重点（一）复数的概念1 1复数的概念：复数的概念：z=x+iy，x,y是实数，x=Re（z）,y=Im（z）i2=-1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.2. 复数的表示复数的表示1 1）模）模: :iz=Jx2+y2；2 2）幅角）幅角：在z丰0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg（z）（多值函数）；主值arg（z）是位于（兀,兀中的幅角。3）arg（z）与arctan2之间的关系如下：当x0,yy0,argz二arctan+兀x；yy0,argz二arctan兀x=|z|(cos0+isin0)，其中0=argz，注中间一定是+

2、号。5)指数表示指数表示：z=|z|e/9，其中0=argz。(二)复数的运算1.1.加减法加减法：若z-x+iy,z=x+iy，则z+z=(x土x)+i(y土y)1112221212122.2. 乘除法乘除法：1)若z-x+iy,z-x+iy，则111222zz=(xxyy)+i(xy+xy)；1212122112arctanxargz=arctanZ；x当x0,4）三角表示三角表示：z=ei02,则zx+iy(x+iy)(xiy)1111122zx+iy(x+iy)(xiy)22222222)若z-zei0i,z-z1122xx+yy丄.yxyx。-22+I12x2+y2x2+y21z二|

3、z|ei（0i+霜）；3.3. 乘幂与方根乘幂与方根1)若z-|z(cosO+isin0)=長-|z|：fcosO+2kK+isinO+2k兀（k-0,1,2Ln-1）（有n个相异的值）Vnn丿（三）复变函数1 1复变函数：复变函数：w=f（，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2 2复初等函数复初等函数1 1）指数函数：）指数函数：ez-ex（cosy+isiny），在z平面处处可导，处处解析；且（ez）=ez。注：ez是以2,i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数对数函数：Lnz-lnz+i（argz+2k兀）（k-0,1,2L）（多值函数）

4、 ； 主值：Inz-lnz+iargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析， 且（lnz）=1；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：乘幂与幂函数：（；（abebLna（a丰0）zbebLnz（z丰0）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且。）=灰-。eiz-e-izeiz+e-izsinzcoszsinz-,cosz-,tgz-,ctgz-2i2coszsinzz乙(、=uei(01-02)zz2)若z-1(cosO+isin0)-贝寸zn-|z|n(cosnO+isinnO)-|z|neinO。4 4）三角函数三角函数：

5、2sinz,cosz在z平面内解析，z)-cosz,z)-sinz3Sinz1,cosz1不再成立；(与实函数不同)4)双曲函数双曲函数飙飙_宁,c.z_；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且(shz)=chz,(chz)=shz。四)解析函数的概念零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；五)函数可导与解析的充要条件 1 1 函数可导的充要条件函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)十iv(x,y)在z=x+iy可导ou(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，且在(x,y)处满足C-D条件:du_QvQu_QvOxdydydx此时，有f，(z)_色+

6、住。dxdx2.函数解析的充要条件函数解析的充要条件：f(z)_u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析注：有界性1 1复变函数的导数复变函数的导数1)1)2)2 2点可导：点可导：f(z)=iimf(z0+Q-f(z0)；0AZTOAZ区域可导区域可导：f(z)在区域内点点可导。解析函数的概念解析函数的概念1)2)3)3 3点解析：f(z)在z及其z的邻域内可导，称f(z)在？点解析；000区域解析：f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析；若f(z)在z点不解析，称z为f(z)的奇点；00解析函数的运算法则解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为124。u(x,y)

7、和v(x,y)在(x,y)在D内可微，且满足C-D条件：色=空，du=-3v；dxdydydx此时f(J上上+i竺。dxdx注意注意：若u(x,y),v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f=u+iv一定是可导或解析的。3 3函数可导与解析的判别方法函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以fG)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形

8、式给出，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质Jf（z）dz二limYfG）Az，c是光滑曲线。c、kkk=1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 2复变函数积分的性质复变函数积分的性质DJf(z)dz=-Jf(z)dzC-i与c的方向相反)；cc-12)Jaf(z)+Bg(z力dz=aJf(z)dz+PJg(z)dz,a,p是常数；ccc3)若曲线c由c与c连接而成，则Jf(z)dz=Jf(z)dz+Jf(z)dz。cc1c21 1复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：53 3复变函数积分的一般计算法复变函数积分的一般计算法D化为线积分：Jf(z)dz=Judx-vdy+i

9、jvdx+udy；(常用于理论证明)ccc2)参数方法：设曲线c:z=z(t)(atP)，其中对应曲线c的起点，0对应曲线c的终点、，则Jf(z)dz卩fz(t)zf(t)dt。ca(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 1 柯西一古萨基本定理柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一一闭曲线，则血(z)dz=0c2.2.复合闭路定理复合闭路定理：设fQ)Q)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c,c丄c是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不12n相交，并且以c,c丄c为边界的区域全含于D内，贝寸12n1tif(z)dz=工血(z)dz,其中c与与C均取正向；kck

10、=1c2tf(z)dz二0，其中r由c及c-i(k二1,2,Ln)所组成的复合闭路。r3 3闭路变形原理闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值， 只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。4 4解析函数沿非闭曲线的积分解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数，则Jz2f(z)dz二G(z)-G(z)(z,zeB)2112z1说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5 5。柯西积分公式柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简

11、6单闭曲线，。的内部完全属于D，z为c内任意一点，则07NOdz=2兀if(z)cZ-Z006.6.高阶导数公式高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为Nf(z)dz二丸f(n)(z)(n=1,2L)c(zz)n+in!00其中c为f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线，0而且它的内部完全属于D。7.重要结论重要结论：1)若f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法Jf(z)dz卩fz(t力zQt)dta设f(z)在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，Nf(z)dz=0cc是D内的一条非闭曲线，z,z对应曲线c的起点和终点，则有1

12、2Jf(z)dz=Jz2f(z)dz=F(z)F(z)21cz1设f(z)在区域D内不解析Ndz=2兀 if(z)曲线曲线c内仅有一个奇点内仅有一个奇点：cz-0Nf(z)dz=岂c(zz)n+1n!0曲线c内有多于一个奇点：Nf(z) )dz丄Nf(z) )dz(c内只有一个奇ick=1ckN1dz=严n=0(za)n+i0,n丰丰0c线)8.8.复变函数积分的计算方法复变函数积分的计算方法(c是包含a的任意正向简单闭曲c2)3)f(z)在c内解析)吕f(n)(z)8zk或：Jf(z)dz二2兀i工Resf(z),zk留数基本定理)k=1若被积函数不能表示成f(，则须改用第五章留数定理来计(

13、Zz)n+1o算。(八)解析函数与调和函数的关系1 1 调和函数调和函数的概念：的概念：若二元实函数申(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足空+空=,dx2dy29(x,y)为D内的调和函数。2 2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系解析函数f(z)=u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。3 已知解析函数已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数的实部或虚部，求解析函数f(z)=u+iv的方法。的方法。1)偏微分法偏微分法

14、：若已知实部u=u(x,y)，利用CR条件，得竺，竺；dxdy对空旦旦两边积分，得v=dy+g(x)dydxdx*)再对(*)式两边对x求偏导，得空=2仃dxdxIdx丿+g，(x)(*)由CR条件，色=竺，得竺=2卩当y+g，(x)，可求出dydxdydxg(x)；910代入(*)式，可求得虚部v4+g(x)。dx2)线积分法线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R条件可得故虚部为v=J(x，y)-dUdx+包 dy+c；(x0,y0)dydx由于该积分与路径无关，可选取简单路径(如折线)计算它，其中(x,y)与(x,y)是解析区域中的两点。003)不定积分法不定积分法：若已知实部u

15、=u(x,y)，根据解析函数的导数公式和C一R条件得知，dudvdudu+iidxdydxdy将此式右端表示成z的函数U(z)，由于f(z)仍为解析函数，故f(z)=fU(zjdz+c(C为实常数)注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u九)复数项级数1 1复数列的极限复数列的极限D复数列仏a+ib(n-1,2L)收敛于复数a+bi的充要条件为nnnlimaa,limbb(同时成立)nnnsns2)复数列仏收敛。实数列仏,b同时收敛。nnndv=Qv7dv,dx+dydxdydudu，dydx广(z)=112 2复数项级数复数项级数复数项级数乙 Q-a+ib)收敛的充要条件是级数三a与艺b同n

16、nn0n0时收敛；2)级数收敛的必要条件是ns1)nnnnn01212注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1.幂级数的概念幂级数的概念：表达式艺c（z-z）n或艺CZn为幂级数。n0nn=0n=02 2幂级数的敛散性幂级数的敛散性幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。根值法li叭刊丰0，则收敛半径R=丄；nsn九如果x=0，则R=g；说明在整个复平面上处处收敛；如果h=g，则R=0；说明仅在z=z或z=0点收敛；0注： 若幂级数有缺项时， 不能直接套用公式求收敛半径。 （如艺2”）3 3幂级数幂级数

17、的性质的性质1）代数性质代数性质：设艺aZn2bZn的收敛半径分别为R与R,记nn12n=0n=0R=min（R,R）,1 1）幂级数的收敛定理一）幂级数的收敛定理一阿贝尔定理阿贝尔定理（AbelAbel）: :如果幂级数艺czn在z丰0n0n=0iz|z|的一切z，该级数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足IZ|z|处收敛，那么对满足z02 2）幂级数的收敛域幂级数的收敛域圆域圆域的一切z，级数必发散。3 3） 收敛半径的求法：收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果limnTgcn+1cn=九北0，则收敛半径R=-cz2nnn=013则当izR时，有n=0n=0(艺azn)(艺bz

18、n)=S(ab+ab+L+ab)znnnn0n-110nn=0n=0n=02)复合性质复合性质：设当|r时，f(g)=Sagn，当|ZR时，g=g(z)解析n=0且|g(z)r，则当|zR时，fg(z)=Sag(z)n。nn=03)分析运算性质分析运算性质：设幂级数Sazn的收敛半径为R丰0，则nn=0其和函数f(z)=Sazn是收敛圆内的解析函数；nn=0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f，(z)=Snazn-1nn=0zR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；R(十一)幂函数的泰勒展开幂函数的泰勒展开 1.1.泰勒展开泰勒展开：设函数f(z)在圆域|z-z|R内解析，则在此圆域内f(z

19、)可以展开成幂级数f(z)=Ff(n)(z0)(z一z) )；并且此展开式是唯一的。n!0n=0注：若f(z)在z解析，则f(z)在z的泰勒展开式成立的圆域的收敛00半径R=azn+n线性运算)乘积运算)Jzf(z)dz=S0anzn+1n+114其中R为从z到f(z)的距z最近一个奇点a之间的距离。15直接法：直接求出c丄f(n)(z)，于是f(z)-yc(z-z)n。nn!0n0n0间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。十二)幂函数的洛朗展开1.1.洛朗级数洛朗级数的概念：的概念：y8c(z-z)n，含正幂项和负幂项。n0n-82

20、 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域Rz-zR1c为圆环域内绕z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆0环域内，有f(z)yc(z-z)n，且展开式唯一。n0n-83 3解析函数的洛朗展开法：解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。1-zn03)sinzyz2n+1zz3z5+-L+(-1)n+LL+z2n+1+Lz1z2n-1-z2z4+L(-1)n+z2n+Lz(2n)!2!4!(2n)!2)z180zn1+z+z2+L+zn+L2 2常用函数在常用函数在z-0的泰勒展开式的泰勒展开式0y11z2z3T2Tez=z1+z+L+L1)3 3解析函数展开成泰勒级数的方

21、法解析函数展开成泰勒级数的方法1)2)内处处解析，2*4*4利用洛朗级数求围线积分：设利用洛朗级数求围线积分：设f(z)在rz-zR内的任何一条正向简单闭曲线，则Jf(zz0c为f(z)在-1rz-zR内解析，c为=2兀ic。其中-1c内洛朗展开式中丄的系数。z-zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z)-1的系0厂z-zoR16数。十三)孤立奇点的概念与分类1 1。孤立奇点的定义孤立奇点的定义：f(z)在？点不解析，但在z的0zz1,c丰0;0-m3)本性奇点：展开式中含无穷多项z-z的负幂项;cmm0f(z)=(z-z)c-(z-z)01020+c+c(z-z)+c(z-

22、z)2+L0+c(z-z)m-l+c(z-z)m+L1000g(z)(z-z)m0在z解析，f(z)=Lc+m(z-z)m0172)零、级数判别的充要条件其中9(z)在z解析，09(z人0,m为正整数，0称z为f(z)的m级零点;018f(n)(z)=0,(n二1,2,Lm1)0f(m)(z)鼻003)零点与极点的关系：z是f(z)的m级零点oz是丄的m级极点;00f(z)若z=a分别是Hz)与屮(z)的m级与n级零点，则屮ID当时是申(z)的级极占；mm(n)十五)留数的概念1 1 留数留数的定义：的定义：设z为f(z)的孤立奇点，f(z)在？的去心邻域000zz5内解析，c为该域内包含z的

23、任一正向简单闭曲线，则称小0积分丄Nf(z)dz为f(z)在z的留数(或残留)，记作2兀ic0Resf(z),z=Nf(z)02兀icz是f(z)的m级零点on时，z二a是心的m-n级零点;dz192 2 留数的计算方法留数的计算方法若z是f(z)的孤立奇点，则Resf(z),z=c，其中c为f(z)在0011z的去心邻域内洛朗展开式中(zz)1的系数。001)1)可去奇点处的留数：可去奇点处的留数：若乙。是f ) )的可去奇点，则Resf(z),z=0202)2)m级极点处的留数级极点处的留数法则法则1 1若z是f(z)的m级极点，则0Q(z)=0,Q，(z)H0，则ResP(Z),z=00

24、Q(z)oQ(z)0留数基本定理设f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z,zL,z外处处解析，c12n为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则Jf(z)dz=2兀 i艺Resf(z),zcn=1说明说明： 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f(z)在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲dm-1Resf(z),z=lim(z-z)mf(z力0(m-1)!zTz0dzm-10特别地，若z是fQ)的一级极点，则Resf(z),z=lim(z-z)f(z)00zTz00如果极点的实际级数比肌低，上述规则仍然有效。设f(z)=，P(z),Q(z)在z解析，P(z)H0,注：

25、注：法则法则 IIIIz0十六)21、傅里叶变换的概念Ff(t)=卜f(t)e-jwtdt=F(w)gF-1F()=丄I+gF()ejd=f(t)2兀-g二、几个常用函数的傅里叶变换Fe(t)=Fu(t)=丄+K5()jF5(t)=1F1=2兀5()三、傅里叶变换的性质位移性位移性( (时域时域) ): :Ff(tt)二ejwt0Ff(t)0位移性位移性( (频域频域) )：Fejw0tf(t)=F(w)=F(w-w)w=w-w。0位移性推论：位移性推论：Fsinwtf(t)=F(w-w)-F(w+w)02j00位移性推论：位移性推论：Fcoswtf(t)=丄F(w-w)+F(w+w)0200微分性微分性( (时域时域) )：F广(